人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二單元《一元一次函數(shù)-方程和不等式》測試(答案解析)

一、選擇題1．現(xiàn)有以下結(jié)論：①函數(shù)的最小值是；②若、且，則；③的最小值是；④函數(shù)的最小值為.其中，正確的有（）個A． B． C． D．2．如果兩個正方形的邊長之和為，那么它們的面積之和的最小值是（）A． B． C． D．3．已知a>0，b>0，a+b=1，則下列等式可能成立的是（）A． B．C． D．4．若正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A．1 B． C． D．5．若正數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（）A．有最大值 B．有最小值C．有最小值 D．有最大值6．在區(qū)間上，不等式有解，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．對于實數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，那么不等式成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知，，，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．610．下列結(jié)論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則11．已知，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．612．在中，角、、的對邊分別為、、，已知且，則的最小值（）A． B．2 C． D．4二、填空題13．設(shè)m，，，，若“對于一切實數(shù)x，”是“對于一切實數(shù)x，”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是___________.14．正數(shù)a，b滿足，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______．15．已知實數(shù)滿足，若，則的最小值為__________．16．設(shè)，，則的最小值為_________.17．已知“命題”是“命題”成立的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為________.18．若命題“對任意實數(shù)，且，不等式恒成立”為假命題，則的取值范圍為_______.19．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為___________.20．已知向量，向量滿足，則的最小值為______.三、解答題21．在數(shù)學(xué)探究活動中，某興趣小組合作制作一個工藝品，設(shè)計了如圖所示的一個窗戶，其中矩形的三邊，，由長為8厘米的材料彎折而成，邊的長為厘米（）；曲線是一段拋物線，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其解析式為，記窗戶的高（點到邊的距離）為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）要使得窗戶的高最小，邊應(yīng)設(shè)計成多少厘米？（3）要使得窗戶的高與長的比值達到最小，邊應(yīng)設(shè)計成多少厘米？22．解關(guān)于的不等式.23．已知．（Ⅰ）關(guān)于x的方程有且只有正根，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若對恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．24．已知正實數(shù)x，y滿足．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．25．已知正數(shù)滿足.（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）求證：.26．解關(guān)于的不等式：.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】取，可判斷①的正誤；利用基本不等式可判斷②③④的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，，①錯誤；對于②，若，且，說明，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，顯然成立，②正確；對于③，，當(dāng)且僅時取等號，即，顯然這樣的不存在，所以結(jié)論不正確，③錯誤；對于④，因為，所以，函數(shù)的最大值為，所以結(jié)論不正確，④錯誤.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.2．B解析：B【分析】設(shè)兩個正方形的邊長分別為、，可得，利用基本不等式可求得兩個正方形的面積之和的最小值.【詳解】設(shè)兩個正方形的邊長分別為、，則，且，由基本不等式可得，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，兩個正方形的面積之和的最小值為.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.3．D解析：D【分析】根據(jù)已知條件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判斷A、B；由已知條件可知，則，因此，可判斷C；由平方差公式可得，與聯(lián)立可求出滿足條件的a、b，故D可能成立.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，，，則不可能成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故不可能成立；，，，（由A可知），則不可能成立；，聯(lián)立，解得，滿足條件，D成立.故選：D4．D解析：D【分析】已知等式變形為，然后用“1”的代換求出的最小值即可得．【詳解】∵x，y均為正數(shù)，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，所求最大值為．故選：D．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方5．B解析：B【分析】利用基本不等式分析的最值，注意取等條件的分析，由此得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，取等號時，所以有最大值，所以A，C錯誤；又因為，取等號時，所以有最小值，所以B正確，D錯誤，故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.6．C解析：C【分析】令，對二次項系數(shù)分三種情況討論，再對二次函數(shù)的對稱軸分類討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，最后取并集即可；【詳解】解：令當(dāng)時，原不等式為，解得，滿足條件；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，只需，即解得當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，當(dāng)，即時，只需，即無解；當(dāng)，即時，只需，即解得；當(dāng)，即時，只需，即解得；綜上可得故選：C【點睛】本題考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布問題，解答的關(guān)鍵是對對稱軸即二次項系數(shù)分類討論，分別求出各種情況的參數(shù)的取值范圍，最后取并集；7．B解析：B【分析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，再根據(jù)求解出的范圍.【詳解】因為對于任意，恒成立，所以對恒成立，所以，，又因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：B.【點睛】方法點睛：一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍問題的處理方法：（1）分類討論法：根據(jù)參數(shù)的臨界值作分類討論；（2）分離參數(shù)法：將自變量和參數(shù)分離開來，自變量部分構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系.8．A解析：A【分析】先由不等式得出的取值范圍，再由的定義得出的取值范圍.【詳解】不等式即為，解得，則，因此，，故選A.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，同時也考查了取整函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵要結(jié)合不等式得出的取值，考查計算能力，屬于中等題.9．B解析：B【分析】由，，，所以，結(jié)合“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，故選：B.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答合理構(gòu)造基本不等式的條件“一正、二定、三相等”，結(jié)合“1”的代換技巧是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.10．B解析：B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，不等式兩邊乘以一個正數(shù)，不等號不改變方程，故A正確.對于B選項，若，則，故B選項錯誤.對于C、D選項，不等式兩邊同時加上或者減去同一個數(shù)，不等號方向不改變，故C、D正確.綜上所述，本小題選B.【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.11．C解析：C【分析】由，得，則，利用基本不等式，即可求解．【詳解】由題意，因為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為5，故選C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．A解析：A【分析】由已知條件和三角形的面積公式得，再根據(jù)基本不等式可得，令，，（），由此函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】由已知且，得，解得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，令，，則（），而在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，以及運用函數(shù)的單調(diào)性求最值的問題，屬于中檔題.二、填空題13．【分析】先求出和恒成立時的范圍然后根據(jù)充分條件的定義求解【詳解】在上恒成立則解得在上恒成立首先都不可能恒成立因此解得∵對于一切實數(shù)x是對于一切實數(shù)x的充分條件∴解得故答案為：【點睛】思路點睛：本題考解析：【分析】先求出和恒成立時的范圍，然后根據(jù)充分條件的定義求解．【詳解】在上恒成立，則，解得，在上恒成立，首先都不可能恒成立，因此，解得，∵“對于一切實數(shù)x，”是“對于一切實數(shù)x，”的充分條件，∴，解得．故答案為：．【點睛】思路點睛：本題考查一元二次不等式恒成立問題，考查由充分條件求參數(shù)范圍，一元二次不等式恒成立問題，注意討論最高次項系數(shù)（若最高次項系數(shù)為0，則不等式不是二次不等式），充分條件與必要條件問題可以利用集合的包含關(guān)系進行求解．14．【分析】將不等式對任意實數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求出的最小值可得即求出的最大值即可【詳解】解：不等式對任意實數(shù)x恒成立則又當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立又故答案為：【點睛】方法點睛：含參數(shù)的一元二次不等解析：【分析】將不等式對任意實數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求出的最小值，可得，即，求出的最大值即可．【詳解】解：不等式對任意實數(shù)x恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，，又，．故答案為：．【點睛】方法點睛：含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單．15．9【分析】應(yīng)用基本不等式求得最小值【詳解】∵若∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故答案為：9【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時要注意其必須滿足的三個條件：（1）一正二定三相等一正就是各項必須為正數(shù)；（2）二解析：9【分析】應(yīng)用基本不等式求得最小值．【詳解】∵，若，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為：9．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方16．4【分析】兩次應(yīng)用基本不等式驗證等號能同時成立即得【詳解】由題意當(dāng)且僅當(dāng)即時上述不等式中等號同時成立故答案為：4【點睛】本題考查了基本不等式求最值考查了運算求解能力邏輯推理能力在連續(xù)運用基本不等式求解析：4【分析】兩次應(yīng)用基本不等式，，，驗證等號能同時成立即得．【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時上述不等式中等號同時成立．故答案為：4．【點睛】本題考查了基本不等式求最值，考查了運算求解能力，邏輯推理能力，在連續(xù)運用基本不等式求最值時，要注意等號能否同時成立．17．或【分析】設(shè)命題中的取值集合為命題中的取值集合為由題意可得可求的取值范圍【詳解】由不等式可得或記集合或解不等式得記集合命題是命題成立的必要不充分條件或即或故答案為：或【點睛】本題考查充分條件必要條件解析：或【分析】設(shè)命題中的取值集合為，命題中的取值集合為.由題意可得，可求的取值范圍.【詳解】由不等式，可得.或，記集合或.解不等式，得，記集合.命題是命題成立的必要不充分條件，，或，即或.故答案為：或.【點睛】本題考查充分條件、必要條件和解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.18．【分析】利用基本不等式求出的最小值可得不等式恒成立時的取值范圍再取其補集即可【詳解】若不等式對任意實數(shù)且恒成立則當(dāng)且僅當(dāng)且即時等號成立所以故命題為假命題時的取值范圍為故答案為:【點睛】本題主要考查命解析：【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得不等式恒成立時，的取值范圍，再取其補集即可.【詳解】若不等式對任意實數(shù)，且恒成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時等號成立.所以，故命題為假命題時，的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題主要考查命題的真假，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.19．3【分析】利用已知條件結(jié)合1代換構(gòu)造進而應(yīng)用基本不等式求最值即可求的最小值；【詳解】知：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅰ嗉从泄蚀鸢笧椋?【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值根據(jù)已知條件構(gòu)造基本不等式形式求最值然解析：3【分析】利用已知條件，結(jié)合“1”代換構(gòu)造，進而應(yīng)用基本不等式求最值，即可求的最小值；【詳解】知：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，∴，即有，故答案為?【點睛】本題考查了利