決戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)九年級(jí)三輪沖刺：《圓的綜合》(五)

決戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)九年級(jí)三輪沖刺：《圓的綜合》（五）1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)F在BC邊上，過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的⊙O交AC于另一點(diǎn)D，作直徑AE，連結(jié)EF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，連結(jié)BE，BD，四邊形BDGE是平行四邊形．（1）求證：AB＝BF．（2）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，且AC＝3時(shí)，求⊙O的直徑長(zhǎng)．2．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上兩點(diǎn)，連接AD，CD．（1）如圖1，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠APB＝∠ADC，求證：BP與⊙O相切；（2）如圖2，點(diǎn)G在CD上，OF⊥AC于點(diǎn)F，連接AG并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)H，若CD為⊙O的直徑，當(dāng)∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6時(shí)，求⊙O半徑的長(zhǎng)．3．如圖，⊙O的直徑AB＝12，半徑OC⊥AB，D為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括B、C兩點(diǎn)），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E．F．（1）求EF的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，①求弧CD的度數(shù)．②若點(diǎn)P為直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出PC+PD的最小值．4．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線(xiàn)，D為⊙O上的一點(diǎn)，CD＝CB，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：CD為⊙O的切線(xiàn)；（2）若OF⊥BD于點(diǎn)F，且OF＝2，BD＝4，求圖中陰影部分的面積．5．如圖，已知BD為⊙O的直徑，AB為⊙O的一條弦，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作PO⊥AB，垂足為點(diǎn)C，且交⊙O于點(diǎn)N，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)M，連接BM、AD、AP．（1）求證：PM∥AD；（2）若∠BAP＝2∠M，求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半徑．6．如圖，AC是⊙O的直徑，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B（1）如圖1，若∠BAC＝25°，求∠P的度數(shù)．（2）如圖2，若M是劣弧AB上一點(diǎn)，∠AMB＝∠AOB，求∠P的度數(shù)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM并延長(zhǎng)分別交DE，AC于點(diǎn)F、G．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，求的值．8．如圖，△ABC內(nèi)接于以AB為直徑的⊙O，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)D，在CB上截取CE＝CD，連接AE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：AC＝CF；（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的長(zhǎng)．9．如圖，以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，∠ABC的平分線(xiàn)交⊙O于E，D為BE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DE＝FE．（1）求證：AD為⊙O切線(xiàn)；（2）若AB＝20，tan∠EBA＝，求BC的長(zhǎng)．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求證：直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD的長(zhǎng)；（3）試探究FB、FD、FA之間的關(guān)系，并證明．參考答案1．解：（1）連接AF，∵AE是⊙O的直徑，∴AF⊥EG，∵四邊形BDGE是平行四邊形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF；（2）∵當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，∴BF＝BC，∵AB＝BF，∴AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2，∴⊙O的直徑長(zhǎng)為2．2．解：（1）如圖1，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，∴∠ABC＝∠P，∴∠P+∠PAB＝90°，∴∠ABP＝90°，∴BP與⊙O相切；（2）如圖2，連接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．∵CD，AB是直徑，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC＝2OF＝6，∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，∴△AON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，AN＝BM，設(shè)OM＝ON＝a，∵∠CGB＝∠HGB，∴∠OGH＝2∠CGB，∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，∴∠BOG＝∠OGH，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG，∵AN⊥OG，∴ON＝NG＝a，∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，∴BM＝＝a，在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，∴36＝15a2+9a2，∵a＞0，∴a＝，∴MG＝CM＝3a＝，∴DG＝2a＝，∴CD＝2×+＝4，∴⊙O半徑的長(zhǎng)為2．3．解：（1）連接OD，∵⊙O的直徑AB＝12，∴圓的半徑為12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四邊形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度數(shù)為60°；②延長(zhǎng)CO交⊙O于G，l連接DG交AB于P，則PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值為6．4．（1）證明：連接OD，如圖所示：∵BC是⊙O的切線(xiàn)，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵OF⊥BD，∴BF＝BD＝2，OB＝＝＝4，∴OF＝OB，∴∠OBF＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S陰影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×4×2＝﹣4．5．（1）證明∵BD是直徑，∴∠DAB＝90°，∵PO⊥AB，∴∠DAB＝∠MCB＝90°，∴PM∥AD；（2）證明：如圖1，連接OA，∵OB＝OM，∴∠M＝∠OBM，∴∠BON＝2∠M，∵∠BAP＝2∠M，∴∠BON＝∠BAP，∵PO⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴∠AON+∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BON＝∠AON，∴∠BAP＝∠AON，∴∠BAP+∠OAC＝90°，∴∠OAP＝90°，∵OA是半徑，∴PA是⊙O的切線(xiàn)；（3）解：如圖2，連接BN，則∠MBN＝90°．∵tan∠M＝，∴，設(shè)BC＝x，CM＝2x，∵M(jìn)N是⊙O直徑，NM⊥AB，∴∠MBN＝∠BCN＝∠BCM＝90°，∴∠NBC＝∠M＝90°﹣∠BNC，∴△MBC∽△BNC，∴，∴BC2＝NC?MC，∴，∴，∴，∴，∵O是BD的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，AD＝6，∴OC＝，解得：x＝4，∴MO＝x＝×4＝5，∴⊙O的半徑為5．6．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵PA為切線(xiàn)，∴CA⊥PA．∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠P＝180°﹣2∠PAB＝50°；（2）在弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD，BD，∴∠AOB＝2∠ADB，∵∠AMB+∠ADB＝180°，∠AMB＝∠AOB，∴∠ADB+2∠ADB＝180°，∴∠ADB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．7．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，在Rt△ADC中，DC＝AC?tan30°＝6×＝2；（2）∵∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，∴BC＝AC?tan60°＝6×＝6，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵點(diǎn)M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，∴DM＝AM，在△DFM和△AGM中，，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝＝＝＝．8．（1）證明：∵AD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠DAB＝90°，∴∠CAD+∠CAB＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B，∵CE＝CD，∴AE＝AD，∴∠CAE＝∠CAD＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CAE＝∠F，∴AC＝CF；（2）解：由（1）可知，sin∠CAE＝sin∠CAD＝sinB＝．∵AB＝4，∴在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝5，∴在Rt△ACD中，CD＝，∴DE＝，BE＝，∵∠CEF＝∠AEB，∠B＝∠F，∴△CEF～△AEB．∴．∴EF＝．9．（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵AB為直徑，∴AE⊥BD，∵DE＝FE，∴∠3＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠4＝∠2，∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠2+∠BAE＝90°∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD⊥AB，∴AD為⊙O切線(xiàn)；（2）解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵tan∠EBA＝，∴設(shè)AE＝3k，BE＝4k，則AB＝5k＝20，∴AE＝12，BE＝16，連接OE交AC于點(diǎn)G，如圖，∵∠1＝∠2，∴＝，∴OE⊥AC，∵∠3＝∠2，∴tan∠EBA＝tan∠3＝，∴設(shè)AG＝4x，EG＝3x，∴AE＝5x＝12，∴x＝，∴AG＝，∵OG∥BC，∴AC＝2AG＝，∴BC＝＝．10．（1）證明：如圖1，連接AE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝