數(shù)學(xué)分析試題（二年級第一學(xué)期）

（三十二）數(shù)學(xué)分析試題（二年級第一學(xué)期）

-敘述題（每小題10分，共30分）

1敘述含參變量反常積分/（X，y）dx-致收斂的Cauchy收斂原理。

2敘述Green公式的內(nèi)容及意義。

3

4敘述n重積分的概念。

二計算題（每小題10分，共50分）

1.計算積分/=rx<y-ydx,?為橢圓2x2+3/=],沿逆時針方向。

23x2+4y2

2.已知z=/（xz,z-y）,其中/Q，,v）存在著關(guān)于兩個變元的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求z

關(guān)于的二階偏導(dǎo)數(shù)。

3.求橢球體二+上+J=1的體積。

a2b2c2

4.若/為右半單位圓周，求Jlylds

5.計算含參變量積分/(a)=『ln(l-2acosx+a2MX(時＜1)的值。

三討論題(每小題10分，共20分)

1若積分在參數(shù)的已知值的某鄰域內(nèi)一致收斂，則稱此積分對參數(shù)的已知值一致收斂。

試討論積分

gadx

\2x2

f+a

在每一個固定的。處的??致收斂性。

2討論函數(shù)/(y)=fdx的連續(xù)性,其中/(x)在［0,1］上是正的連續(xù)函數(shù)。

J)x+y

數(shù)學(xué)分析試題（二年級第一學(xué)期）答案1

-敘述題（每小題10分，共30分）

1含參變量反常積分關(guān)于y在［c,即上一致收斂的充要條件為：對于任意

給定的￡>0,存在與y無關(guān)的正數(shù)人），使得對于任意的A',A>，

|￡f（x,y）dx<￡,yw［c,d］成立。

2Green公式：設(shè)。為平面上由光滑或分段光滑的簡單閉曲線所圍的單連通區(qū)域。如

果函數(shù)P（x,y）,Q（x,y）在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么

\Pdx+Qdy=卜?-當(dāng)）dxdy,

dDD°二

其中。。取正向，即誘導(dǎo)正向。

Green公式說明了有界閉區(qū)域上的二重積分與沿區(qū)域邊界的第二類曲線積分的關(guān)系。

3.設(shè)。為R"上的零邊界區(qū)域，函數(shù)“=/（幻在。上有界。將。用曲面網(wǎng)分成“個

小區(qū)域AQi,A。?，…，A。“（稱為。的?個分劃），記△匕為A。,的體積，并記所有的

小區(qū)域A。j的最大直徑為/I。在每個AQ,.上任取一點(diǎn)七，若幾趨于零時，和式

/=￡/3,）△匕

/=1

的極限存在且與區(qū)域的分法和點(diǎn)X,的取法無關(guān)，則稱/（X）在Q上可積，并稱此極限為

/（x）在有界閉區(qū)域。上的〃重積分，記為

QTi=l

二計算題（每小題10分，共50分）

6]

1解令/:x=——COSE,y=-sinr,則

32

產(chǎn)g2.2x1V3

|$(cost+sint)dt=.TC.

2解令〃=xz,v=z-y,則

dudzdvdzdudzdvdz

z+x——=——=x——=----[A.

dxdxdxdx9dydy,dydy

—dz=d-f--d-u-1-d-f-d-v-,—dz=-d-f-d-u-1-d-f--dv-

dxdudxdvdxdydudydvdy

故

22222

dz=dfdu1df(duY)^av|df(dv\

dx2-dudx2du2[dx)dvdx2dv2[dx)

d2z_dfd2u+d2f僅〃]2+d2v+d2fdv\

dy2dudy2du2\dy]dvdy2dv2^dy}

2222

dfdudf(。〃丫d〃、dfdv?a/pvYdv}

dxdydudxdydu21&人dy\dvdxdydv2(dr人。J

22

2w包6V/

25fa++af+52

a-2522a-v

&awax5VX5V

5Xax

部畀小卜翱Z+喑)言+察停)

dudxoxJdu<ox)dvydxJdvyoxJ

2222

dzzdfdudf(du\dfdvd-f(gvV

dy2dudy2du2dvdy2dv~[②,

H歸+%⑷+更立+"但_J

du[dy2)a?2t^yjSvdy2dv2[dy)

d2z_dfd2ud2f(6wVduydfd2vd2f(dv\加)

dxdydudxdy3“21ax人d)Jdvdxdy+涯

_5(dzd2z]d2f(&丫dzydfd"

du(OydxdyJA"(Sx人力Jdvdxdy

+宴紅陛

dv2dxydyJ

3解由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。

作廣義極坐標(biāo)變換

x=arcos8,y=hrsinO(6f>0,/?>0,0<r<oo,0<^<2^r)o

這時橢球面化為

(arcos0)2("sin。)2

+

又

。(覆》)=%x\acos。-arsin0

e——abr，

D(r,。)-yry0\\bsin0brcos0

于是

1

VJJz(x,y)K=JJz(r,e)*箸〃

8-

7C_________

22

=fj^1c71-r?abrdr-—abc[r71-rdr

2

-abc1^(--V1-r2)d[\-r2)

=-—-—abc[—(1-r2)^|o]=-abc?

223|06

所以橢球體積

4,

V=—7vabco

3

4解/的方程為：/+/=],xN0。由y，=一直，

y

ds=±yjl+y2dx-±『Idx=+pj

符號的選取應(yīng)保證dsNO,在圓弧段AC上，由于dx>0,故

而在圓弧段Q5上，由于dx<0,故

所以/=心向=[出噴+卜后卜

=[dx-[dx=2。

5解1(a)=￡ln(l-24cosx+〃2)dx。當(dāng)時，由于

1-2QCOSX+Q2>1-2時+〃2=(1-沖2>0,

故ln(l-2〃cosx+a2)為連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而可在積分號下求導(dǎo)。

“、r—2COSX+2Q,

f(a)=\--------------dx

4)1-2。cosx+。~

1r(xQ2_])

=—1+-------------dx

a[1一2acosx+a)

711—CL~dx

aa*(1+Q2)-2QCOSX

乃2%

0。

aa2

于是，當(dāng)時＜1時，I（a）=C（常數(shù)）。但是，/（0）=0,故C=0,從而/（。）=0。

三討論題（每小題10分，共20分）

1解設(shè)劭為任一不為零的數(shù)，不妨設(shè)劭＞0。取6〉0,使許一6＞0。下面證明

積分/在（劭一3,劭+b）內(nèi)一致收斂。事實(shí)上，當(dāng)〃￡（旬一氏。0+b）時，由于

1+a-xl+（a0

且積分

1r_1+（劭3_/_dx

收斂，故由Weierstrass判別法知積分

在（即-氏/+㈤內(nèi)一致收斂，從而在&點(diǎn)一致收斂。由4的任意性知積分/在每一

個a工0處一致收斂。

下面說明積分/在a=0非一致收斂。事實(shí)上，對原點(diǎn)的任何鄰域（-3,3）有：

VA〉O,有

「」^=「4穌0)。

J,l+a2x2如1+/

由于

+COdt嚴(yán)dtTC

-=----r=—,

J認(rèn)l+JA1+/22

7T

故取€）＜￡＜,,在（-b?）中必存在某個g〉0,使有

[+8dt,

-rl>

<A1+f

即

因此，積分/在a=0點(diǎn)的任何鄰域(-3,6)內(nèi)非一致收斂，從而積分/在a=0時非--

致收斂。

2.解當(dāng)y#0時，被積函數(shù)是連續(xù)的。因此，F(xiàn)(y)為連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)y=0時，，顯然有尸(0)=0o

當(dāng)y>0時，設(shè)機(jī)為/(x)在［0J上的最小值，則機(jī)>0。由于

iV1

------rdx=m-arctg—

J)x+yy

及

..1兀

limarete-,

y-?+oy2

故有

limF(y)>—>0?

,v-?+o2

所以，/(y)當(dāng)y=0時不連續(xù)。

（三十三）數(shù)學(xué)分析試題（二年級第一學(xué)期）

-敘述題（每小題10分，共30分）

1敘述二重積分的概念。

2敘述Gauss公式的內(nèi)容。

3敘述Riemann引理。

二計算題（每小題10分，共50分）

1.求球面，+/+12=50與錐面/+;/=22所截出的曲線的點(diǎn)（3,4,5）處的切線

與法平面方程。

2,求平面z=O,圓柱面/+y2=2x,錐面z=卜+/2所圍成的曲頂柱體的體積。

3.計算三重積分

I=+y+z)dxdydz。

其中V:0<x<1,0<y<1,0<z<1?

4利用含參變量積分的方法計算下列積分

5計算jjldydz+y3dzdx+zidxdy,其中M為上半橢球面

M

222

—y+-y-T-4—-=1,z2O(a,b,c>0),

ab~c

定向取上側(cè).

三證明題(每小題10分，共20分)

1.若”21及xNO,yNO,證明不等式?二;)'"Nx+y

2

2.證明「鄴￡”關(guān)于〉在［。，切(0<4</?<+8)上一致收斂，但在(0,+8)上

J)x

非一致收斂.

數(shù)學(xué)分析試題(二年級第一學(xué)期)答案

-敘述題(每小題10分，共30分)

1.設(shè)。為Rz上的零邊界區(qū)域，函數(shù)z=/(x,y)在。上有界。將。用曲線網(wǎng)分成〃個

小區(qū)域公?！卑?。2，?“，八?！?稱為。的一個分劃)，記△3為AQ,的面積，并記所有的

小區(qū)域AQ,的最大直徑為2。在每個AQ,上任取一點(diǎn)(。,功)，若人趨于零時，和式

/=￡/?.，〃,)△/

1=1

的極限存在且與區(qū)域的分法和點(diǎn)(&,7)的取法無關(guān)，則稱/(X)在。上可積，并稱此極

限為/(x,y)在有界閉區(qū)域。上的二重積分，記為

I=JJ7(x,y)db=如f,7,)AO-,?

C,i=l

2.設(shè)。是A?中由光滑或分片光滑的封閉曲面所圍成的二維單連通閉區(qū)域，函數(shù)

P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)在。上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則成立等式

+半dxdydz-JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy,

這里a。的定向為外側(cè)。

3.設(shè)函數(shù)-(x)在口,切可積且絕對可積，則成立

lim[sinpxdx=lim[^/(x)cospxdx=0o

p—>+ooJvp—>+ooJJ

二計算題(每小題10分，共50分)

1求球面》2+/+22=50與錐面/+/=產(chǎn)所截出的曲線的點(diǎn)(3,4,5)處的切

線與法平面方程。

解設(shè)F(x,y,z)=x2+y2+z2-50,6。,〉a)=/+/一22。它們在(3,4,5)處的偏導(dǎo)

數(shù)和雅可比行列式之值為：

dF/dFcdFs

—=6,——=8,—=10,

dx5ydz

dG/dG0dG—

—=6,—=8,—=-10,

dxdz

和

普=76。，"出二-12。，書;0。

3(y,z)8(z,x)a(x,y)

所以曲線在(3,4,5)處的切線方程為:

x-3_y-4_2-5

-160-120-0

即

13(x-3)+4(y-4)=0,

[z=5.

法平面方程為

-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0,

即

4x-3y=0o

2求平面z=0,圓柱面/+V=2x,錐面z=舊+y2所圍成的曲頂柱體的體積。

解其體積U=1#彳+y2dxdy,其中。：/+/(？/。設(shè)x=rcos(p,y=rsin(p。

D

D:r<2cos。故

卜=[|77774也=￡如「"戶力.

O2

8W3,

=-l^cos-<pd(p

?*-

-o1^.(1-si.n2(p\)ds-m(p=—32.

3—7

3解

JJ](x+y+z)dxdydz=(dxjdy](x+y+z)dz=fdxj[(x+y)z+彳]I；dy

v2

=[“'/(g+x+yMy=H(g+x)y+、]t"*=f(i+x)^=|-

4解：首先，令/=「e*dx,則/=2「e72dx，在積分『e*dx中，再令

x^ut,其中“為任意正數(shù)，即得/=21e*dx="『r內(nèi)公.再對上式兩端乘以

e~u：du,然后對“從0到+8積分，得

注意到積分次序可換，即得

由于/〉0,故I=&.

5利用廣義球面坐標(biāo)代入曲面方程就可得曲面的參數(shù)方程為

JI

x=asin0cos，，y=6sin9cos6,z=ccosp,0<0<27,0<(p<-.

易得

=besin~(pcos0,

改(pf)”

=acsin2°sin仇

次(P,e)

仇'")=basin2(pcos6,

e?e)

因此

冊辦收+yydzdx+z^dxdy

=『(〃％csin、9cos40^acsin^^sin40+c3absin(pcos(p)dO

2

=—7iabc(a2+7b2-be2).

三證明題(每小題10分，共20分)

元4-V

1.證明考慮函數(shù)2二—六在條件x+y=a(a>0,x>0,yNO)下的極值問題,

設(shè)

F(x,y)=g(x"+y")+A(x+y-a).

解方程組

，

齊n

一-X+a-o

&2-

t-1

蘇n

<-y+X-o

￥2-

竺y

O

X+〃

-一-

。

、

可得x=y=].從而=(苫2).如果》=y=0時，則結(jié)論顯然成立.

2.證明首先證「23心在[。，切上一致收斂.由于

式)X

sinxydx=「3也）<2<Z,>o,ye[a,b],

yya

因而一致有界，而l/x是X的單調(diào)減少函數(shù)且lim'=o,由于1/X與y無關(guān)，因此這個極

X->+00JQ

限關(guān)于丁是一致的，于是由Dirichlet判別法知「當(dāng)？改在y€他，句上一致收斂.

山X

再證V吧？/x在(0,+00)上非一致收斂.對于正整數(shù)〃，取y=1/”，這時

山X

「2"兀sinxy『/2”開sinx/n.2B/2””2

------dx>----sin—dx

'l7TX||4作x3n兀S\7Cn3/r

2

只要取4=——，則對于任意A。，總存在正整數(shù)〃滿足〃乃>4)，取y=i/〃，這時成立

3兀

sinxy2

dJx>—=￡（）

\rx

由Chauchy收斂原理知C任？氏在(0,+8)上非一致收斂.

1)x

(三十四)數(shù)學(xué)分析試題(二年級第一學(xué)期)

-敘述題(每小題10分，共30分)

1敘述第二類曲線積分的定義。

2敘述Parseval等式的內(nèi)容。

3敘述以2%為周期且在［-1,4］上可積函數(shù)/(%)的Fourier系數(shù)、Fourier級數(shù)及其

收斂定理。

二計算題(每小題10分，共50分)

1.求/=J(x+y)ds,此處/為聯(lián)結(jié)三點(diǎn)。(0,0),A(l,0),8(1,1)的直線段。

2.計算二重積分

I=j|(x2+y2)dxdy?

其中。是以y=x,y=x+a,y=a和y=3a(a>0)為邊的平行四邊形。

3.一頁長方形白紙，要求印刷面積占Acm*,并使所留葉邊空白為：上部與下部寬度

之和為acm,左部與右部之和為rem，試確定該頁紙的長(y)和寬(幻，使得它的總面積為

最小。

4.計算三重積分

222

222

其中丫是橢球體+2y+—y<1。

a2b2c2

y_-bx

5.計算含參變量積分-------------dx(h>a>0)的值。

x

三討論題（每小題10分，共20分）

-,試確定二階偏導(dǎo)數(shù)宜巴與包的關(guān)系。

1已知“=arccos

ydxdydydx

2討論積分「里處Mx的斂散性。

gxp+xq

數(shù)學(xué)分析試題(二年級第一學(xué)期)答案

-敘述題(每小題10分，共30分)

1設(shè)L為定向的可求長連續(xù)曲線，起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為8。在曲線上每一點(diǎn)取單位切向

量7=(cosa,cos夕,cosy),使它與L的定向相一致。設(shè)

f{x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

是定義在L上的向量值函數(shù)，則稱

-ids=z)cosa+Q(x,y,z)cos￡+R(x,y,z)cosyds

LL

為/定義在L上的第二類曲線積分(如果右面的第一類曲線積分存在)。

2.函數(shù)/(x)在［-肛加可積且平方可積，則成立等式

”+￡定+公)=52。)丸

2?=1n4

3若/(x)是以2萬為周期且在［-肛乃］上可積的函數(shù)，則

1F

a〃二一f(x)cosnxdx(n=0,1,2,?-?)

71

bn=—［/(x)sinnxdx(n=1,2,…)

71

稱為函數(shù)/(x)的Fourier系數(shù)，以f(x)的Fourier系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)

8

Z(%cosnx+bnsinnx)

2n=\

稱為函數(shù)f(x)的Fourier級數(shù)，記為

~寸+Z(〃“cosnx+bHsinnx)。

n=I

收斂定理：設(shè)函數(shù)/(x)在［-肛劃上可積且絕對可積，且滿足下列兩個條件之一，則/(X)

的Fourier級數(shù)在x收斂于')。

2

(1)/(x)在某個區(qū)間［x-S,x+b］(6>0)上是分段單調(diào)函數(shù)或若干個分段單調(diào)函數(shù)

之和。

(2)/(X)在X處滿足指數(shù)為a€(0,1］的Holder條件。

二計算題(每小題10分，共50分)

1。解/=及+>)杰=也+L+L1

x+y)dso

在直線段04上y=0,ds=dx得

^x+y)dS=[xdx=-

在直線段而上x=1,杰=dy得

h(x+y)ds=[(l+y)dy=|

在直線段的上y=x,ds="/x得

Q(x+y)ds=12x42dx=41

所以/=2+后。

2.解j|(x2+y2)dxdy=￡(x2+y2)dx=14a4.

Q°

3.解由題意，目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為S=xy與x>r,y>〃，(x-r)(y-/0=A.作

Lagrange函數(shù)L=xy+2[(x-r)(y-/?)-A],則有

Lx=y+A(y-lt)=0,

<Ly=x+2(x-r)=0,

LA=(X-r)(y-/?)-A=0.

山此解得

于是有

并且易知它是極小值點(diǎn).

4.解由于

22

■dxdydz+gj"rd）收+/方皿必，

其中

22

\\\^xdydz=[a^dX\\dydZ,

這里。表示橢球面

222

b2c2a2

「22

或--2—+——-2~—41。

a~〃一

它的面積為

九(八1---T)(cjl--7)=而c(l---r-)o

\a\aa

=￡Al一)="小

于是1

=尚mbc,

同理可得

^^-^dxdydz.=-^mbc。

44

所以I=3(—71abc)=-mbc。

155

5.計算含參變量積分「—^”>”0）的值。

axbx

解因為^p-------e--=，e-,辦,所以Ldx=「公卜"力。注意至iJeR

XX

在域：xNO,aVyWb上連續(xù)。又積分「Z一沖公對a4y4b是一致收斂的。事實(shí)上,

當(dāng)xNO,aWyWb時，0<0一d<6"，但積分［）一心dx收斂。故積分。e,dx是一?

致收斂的。于是，利用對參數(shù)的積分公式，即得

從而得

re……dx=(dyCe--dX==

J)xL*bLy〃

三討論題（每小題10分，共20分）

1當(dāng)0<x4y時,

du_11_1

&lx2y[xy/y2jx(y-x)

Vy

d2u_1

蔽=4&修

d~U1y/x1

----=------H---------------------=------------

②&4T-2(i4y(y_J4&y-xj

于是，當(dāng)0<y時,

dxdydydx

[74x

當(dāng)0<%Wy時，u=arccosJ—=arccos-7=。

\yyjy

2.首先注意到

(XY=(l-p)-+(l-

廠(/+/)2

若max(p,<?)>1,則當(dāng)x充分大時——-——<0，從而當(dāng)X充分大時函數(shù)一前是遞

\xp+/)

減的，且這時

X八

lim-------=0。

-xp+%'

又因（cos.Wx誹也A|W1（對任何A>;r）,故］:‘osjdx收斂。

若max(p,q)<l,則恒有(一--|>0,故函數(shù)一--在xN%上是遞增的。

于是,

\xp+xq)xp+xq

V正整數(shù)〃，有

但5+;XCOSX,

I4---------dx

上.一+產(chǎn)

V2修尸+1x,

〉—I----------dx

2—g

V27171V2

>5-.萬。+乃'/---=常數(shù)>0,

8)P

故不滿足Cauchy收斂準(zhǔn)則，因此r-C°SXrfx發(fā)散。

*xp+xq

(三十五)數(shù)學(xué)系二年級《數(shù)學(xué)分析》期末考試題

一(滿分12分，每小題6分)解答題：敘述以下概念的定義：

1二元函數(shù)/(x,y)在區(qū)域。上一致連續(xù).

2二重積分.

二.(滿分16分，每小題8分)驗證或討論題：

x—y2

1f(x,y)=-----.求limlim/(x,y)和limlim/(x,y).極限y)是否

X+yx->0y-Oy->0x-?O.t->0

存在？為什么？

驗證函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，

三.(滿分48分，每小題6分)計算題：

1設(shè)函數(shù)可微，z=/(x,xy).求生|和二.

dxdy

2/（蒼y,z）=%+盯2+）/,/為從點(diǎn)與（2,-1,2）到點(diǎn)巴（一1,1,2）的方向.

求力（玲）?

3設(shè)計一個容積為4加3的長方體形無蓋水箱，使用料最省.

4^xydxdy,D:y=—x,y=2x,xy=1,xy=3.

D2

18_2

5求積分/=［三二La*.

()Inx

6\\e'yldxdy,其中。是以點(diǎn)（0,0）、（1,1）和（0,1）為頂點(diǎn)的三角形域.

D

7計算積分J(2x+sin肛)dx+—cos^rfy.其中乙為沿曲線y=1-1從

L222

點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（ln2,l）的路徑.

8V：x2+y2<2x,x2+y2<z<2(x2+y2).Z為/的表面外側(cè).計算積分

2

耳(13+y之+z)dydz+(x2+y3-cosz)dzdx+(1+y—^z)dxdy.

四.(滿分24分,每小題8分)證明題:

1于(x,y)=y.證明極限lim/(x,y)不存在.

x2+y.3。

y->0

2設(shè)函數(shù)〃(x,y)和y(九,y)可微.證明grad{uv)=ugradv+vgradu.

3設(shè)函數(shù)/在有界閉X域。上班.試證明：若在O內(nèi)任勺Wu。上

都有JJ/(x,y)dxdy=O,則在。上/(x,y)三0.

D'

（三十六）二年級《數(shù)學(xué)分析》考試題

-計算題：

,???sin（x2+y2）

1求極限hm,

（…wjl+_+/—]

1

(x2+2y)sin/+)/h0,

92

2/(x,y)=?x+y

0,x2+y2=0.

求工（0,0）和A（0,0）.

3.設(shè)函數(shù)/（M,v）有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，z=/（xy,x2n+oy2）.求d竽z、學(xué)dz

dxdy

和宜^

dxdy

4f(x,y,z)=x+y2+z3,點(diǎn)分(1,1,1),方向/:(2,-2,1).求g"/"(玲)

和/沿/的方向?qū)?shù)力（痣）.

5曲線/由方程組

'2x2+3y2+z2=9,

z2=3x2+y2

確定.求曲線Z上點(diǎn)外(1,-1,2)處的切線和法平面方程.

6求函數(shù)/(x,y)=盯在約束條件'+'=1之下的條件極值.(無須驗證駐點(diǎn)

xy

滿足極值充分條件)

二.證明題：

x~y

1f(x,y)^試證明在點(diǎn)(0,0)處/(x,y)的兩個累次極限均存在，但

x+y

二重極限卻不存在.

x2+y#0,

證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),

x2+y2=0.

偏導(dǎo)數(shù)存在，但卻不可微.

3設(shè)z=lnjx2+y2,驗證該函數(shù)滿足Zap/ace方程

d2zd2z

芯+凝0.

4設(shè)函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某鄰域有定義，且滿足條件l/(x,y)仁工2+/.

試證明/(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微.

（三十七）數(shù)學(xué)系二年級《數(shù)學(xué)分析》考試題

-（滿分12分，每小題6分）解答題：敘述以下概念的定義:

1二元函數(shù)/（x,y）在區(qū)域。上一致連續(xù).

2二重積分

二.(滿分16分，每小題8分)驗證或討論題：

2

y_V

1f(x,y)=------.求limlim/(x,y)和limlim/(x,y).極限lim/(x,y)是否

X+VXTOy->0y->0XTO.V->0

/'.yrO

存在？為什么？

2/（x,y）=；7^'/+y、。，驗證函數(shù)”,y）在點(diǎn)（00處連續(xù)，

[0,/+y2=0

偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.

三.（滿分48分，每小題6分）計算題：

1設(shè)函數(shù)/（〃，丫）可微，z=f（x,xy）.求儀和會.

dxdy

2f（x,y,z）=x+xy2+yz2,/為從點(diǎn)不（2,-1,2）到點(diǎn)小一1,1,2）的方向.

求力（4>

3設(shè)計一個容積為4機(jī)3的長方體形無蓋水箱，使用料最省.

4^xydxdy,D:y--x,y=2x,xy=1,xy=3.

D2

X8-X2,

5求積分/=J-------ax

\nx

0

6\\e-y2dxdy,其中力是以點(diǎn)（0,0）、（1,1）和（0,1）為頂點(diǎn)的三角形域.

D

7計算積分J（2x+sin^-}dx+—cos.其中L為沿曲線y=e'-1從

L222

點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（ln2,l）的路徑?

8V-x2+y2<lx,x2+y2<z<2(x2+y2).Z為，的表面外側(cè).計算積分

3

耳(x"+y之+玲dydz+(x2+V-cosz)dzdx+(x+y——z2)dxdy.

E2

四.（滿分24分，每小題8分）證明題：

1f（x,y）=—r^--.證明極限lim/（x,y）不存在.

2設(shè)函數(shù)〃(x,y)和y(x,y)可微.證明

grad(uv)=ugradv+vgradii.

3設(shè)穗/在的澗E域。上逛賣.試陽I：若在。內(nèi)fl?子區(qū)域D'uD上

都有“7(x,y)dxdy=0,則在。上/(x,y)三0.

D'

（三十八）二年級《數(shù)學(xué)分析II》考試題

?計算下列偏導(dǎo)數(shù)或全微分（共18分，每題6分）：

//、X4討討32f

I設(shè)求公’—

dxdy

2設(shè)名=sin（xcosy）,求全微分dz；

3求由方程％+2y+z—2Jxyz=0所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)學(xué)?,

ox

dz

dy

二求函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P（l,l）處從P（l,l）到。（2,—1）方向的方向?qū)?shù)。（12

分）

三(14分)設(shè)

..、xysin/+y2H0;

f(x,y)=尤工+V

0,x2+y2=0.

1求人(0,0),A.(0,0),

2證明：/(尤，y)在點(diǎn)(o,o)處可微。

四求曲面3%2+2〉2-22—1=0在點(diǎn)尸（1,1,2）處的切平面和法線方程。（16分）

五證明：半徑為R的圓的內(nèi)接三角形面枳最大者為正三角形。（14分