上海市虹口區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試（二模）數(shù)學(xué)試卷

虹口區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷2024.4考生注意：1.本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1．若則cos2x=_______.2．已知一個(gè)球的表面積為36，則該球的體積為_(kāi)______.3．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則弦AB的長(zhǎng)度為_(kāi)________.4．已知集合5．已知隨機(jī)變量X～B(50，p)，且E[X]＝20，則D[X]=_______.6．3個(gè)男孩和3個(gè)女孩站成一排做游戲，3個(gè)女孩不相鄰的站法種數(shù)為_(kāi)_______.7．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2,3,4,則這個(gè)三角形外接圓的直徑為_(kāi)_______.8.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為若成等差數(shù)列，則=_________.9．已知平面向量滿足若平面向量滿足則的最大值為_(kāi)________.圖1圖210．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1圖1圖2一個(gè)對(duì)稱的平面圖形（如圖2），籃球的外輪廓為圓，將籃球的表面粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)8等分，且（第10題圖）則該雙曲線的離心率為_(kāi)________.（第10題圖）11．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且若AB=AA1=2,點(diǎn)M為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B上，則線段PA，PM的長(zhǎng)度和的最小值為_(kāi)_______.12．已知關(guān)于的不等式對(duì)任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13．歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i，三角函數(shù)cosθ和sinA.B.C.D.14．設(shè)，將函數(shù)的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則（）A.函數(shù)y=是偶函數(shù) B.函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 C.函數(shù)y=在上是嚴(yán)格增函數(shù) D.函數(shù)y=在上的值域?yàn)?5．給出下列4個(gè)命題：①若事件A和事件B互斥，則②數(shù)據(jù)2,3,6,7，8,10,11,13的第70百分位數(shù)為10；=3\*GB3③已知y關(guān)于x的回歸方程為，則樣本點(diǎn)的離差為；=4\*GB3④隨機(jī)變量X的分布為則其數(shù)學(xué)期望1.6.其中正確命題的序號(hào)為（）A．①②B．①=3\*GB3③C．②=3\*GB3③D．②=4\*GB3④16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)椋瑒t對(duì)任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題B.①②都是真命題C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙相應(yīng)位置寫(xiě)出必要步驟.17．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為且，若，求正整數(shù)的最小值．18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）若平面點(diǎn)P在棱上，且平面,求直線CP與平面所成角的正弦值．19．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5457606366件數(shù)（單位：件）52146253(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差X～，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的來(lái)自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.016和0.012，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.（i）求抽取的零件為廢品的概率；（ii）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～，則，，.20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知橢圓的焦距為點(diǎn)P(0,1)在橢圓上，動(dòng)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且直線PA,PB的斜率之積為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的法向量為求直線l的方程；(3)是否存在直線l,使得為直角三角形？若存在，求出直線21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）若函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；（2）設(shè)若函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).

參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024年4月一、填空題（本大題共12題，滿分54分；第1-6題每題4分;第7-12題每題5分）1．2．36π3.64．5．126.14478．39.10．11．12.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分；第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.A14.D15.C16.B三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由條件，得，……3分解得，，故．……6分（2）由（1）可得，則……8分所以故數(shù)列是以為首項(xiàng)、8為公差的等差數(shù)列，故……11分因?yàn)?，所以，所以，所以或．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值是10．……14分18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)證：（1）連接B與CB1底相交于點(diǎn)E，因四邊形為平行四邊形，所以點(diǎn)E是B的中點(diǎn).……2分又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故為的中位線，從而……4分故由，得平面.……6分解：(2)由條件知兩兩垂直，故以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系;則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為：……8分設(shè)點(diǎn)則從而由得所以點(diǎn)……10分設(shè)平面的一個(gè)法向量為則即取得……12分設(shè)直線CP與平面所成的角為則……14分19．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)解：（1）由條件得：樣本平均數(shù)為……2分由得：……4分……6分（2）（i）設(shè)A=“隨機(jī)抽取該企業(yè)生產(chǎn)的一個(gè)零件，該零件為廢品”，“隨機(jī)抽取的一個(gè)零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”.則由題意可知……8分于是由全概率公式，得即從該企業(yè)抽取的零件為廢品的概率為0.015.……11分（ii）由條件概率公式,抽取的零件為廢品，其來(lái)自第1生產(chǎn)線的概率為：.……14分20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）解：（1）由條件知………2分所以于是橢圓的方程為………4分（2）由條件知：直線PA的斜率為，方程為則由得，所以從而………6分由于，所以直線PB的方程為同理可得所以直線l的斜率為，………8分從而直線l的方程為即……10分（3）假設(shè)存在滿足條件的直線l，并設(shè)直線PA的方程為則由得所以．………12分由于，所以直線PB的方程為同理可得故直線l的斜率為當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有可能于是若，由可得若，由可得因此，直線l的斜率為………18分21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)解：（1）不具有性質(zhì).理由：取，有.…2分具有性質(zhì).理由：對(duì)任意，，有.……4分（2）函數(shù)具有性質(zhì)，故對(duì)，，都有，而是奇函數(shù)，故，即是嚴(yán)格增函數(shù)，恒成立.……7分若，則，解得；若，則恒成立；若，則，解得.綜合上述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為……10分證明：（3）因函數(shù)的定義域?yàn)?要證明是奇函數(shù)，只要證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)即可.對(duì)任意實(shí)數(shù)設(shè)則由具有性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①……12分設(shè)當(dāng)時(shí)，由=1\*GB3①得=2\*GB3②……14分當(dāng)時(shí)，由=1\*GB3①得=3\*GB3③于是由曲線的連續(xù)性，函數(shù)在上存在零點(diǎn)即=4\*GB3④……16分由函數(shù)在上嚴(yán)格增，知：函數(shù)在上嚴(yán)格增；所以由=2\*GB3②知由=3\*GB3③知故故由=4\*GB3④得：即對(duì)任意對(duì)任意實(shí)數(shù)均有；因此，函數(shù)是奇函數(shù).……18分另證：（3）由具有性質(zhì)，知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定