2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)求質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動的三角函數(shù)解析式

試卷第=page77頁，共=sectionpages77頁試卷第=page66頁，共=sectionpages77頁2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)

求質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動的三角函數(shù)解析式例1．多選題。如圖是半徑為的水車，一個水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時秒，經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，），則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時，點(diǎn)到軸距離最大為C．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減D．當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為例2．某大型商場，在氣溫超過時，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào)，如圖是該市夏季一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：時）的大致變化曲線，該曲線滿足函數(shù)關(guān)系.(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)（1）結(jié)論判斷，該商場中央空調(diào)在本天內(nèi)何時開啟？何時關(guān)閉？例3．位于大連森林動物園的“大連浪漫之星”摩天輪享有“大連觀光新地標(biāo)，浪漫打卡新高度”的美稱.如圖，摩天輪的輪徑（直徑）為70米，座艙距離地面的最大高度可達(dá)80米，摩天輪的圓周上均勻地安裝著30個座艙，并且運(yùn)行時按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要18分鐘.如圖，想要觀光的乘客需先從地面上樓梯至乘降點(diǎn)，在乘降點(diǎn)處進(jìn)入座艙后開始觀光，再次回到乘降點(diǎn)時觀光結(jié)束.本題中座艙都被視為圓周上的點(diǎn)，每個座艙高度忽略不計(jì).(1)甲乙兩名游客分別坐在兩個不同的座艙內(nèi)，他們之間間隔4個座艙，求劣弧的弧長（單位：米）；(2)設(shè)游客從乘降點(diǎn)處進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動分鐘后距離地面的高度為米，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于時間的函數(shù)解析式；(3)若游客在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪轉(zhuǎn)動一周能有多長時間使（1）中的甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.例4．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉(zhuǎn)一周的時長為2min，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關(guān)系為．(1)求A，ω，φ，b的值；(2)盛水筒出水后至少經(jīng)過多長時間就可以到達(dá)最高點(diǎn)？例5．如圖，一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每40s轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2m，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位：m)(在水面下則d為負(fù)數(shù))，若以盛水筒P剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則d與時間t(單位：s)之間的關(guān)系為．(1)求的值；(2)盛水筒出水后至少經(jīng)過多長時間就可到達(dá)最高點(diǎn)？例6．如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．(1)已知在時刻t（單位：min）時點(diǎn)P距離地面的高度（其中，，，求函數(shù)解析式及2023min時點(diǎn)P距離地面的高度；(2)當(dāng)點(diǎn)P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時間可以看到公園的全貌？例7．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色．某摩天輪的半徑為40米，中心點(diǎn)距離地面50米，摩天輪上均勻設(shè)置了12個座艙．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，游客在座艙離地面最近時的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉(zhuǎn)一周需要3分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時．(1)經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；(2)若游客甲乘坐摩天輪轉(zhuǎn)動一周，在這一圈內(nèi)有多長時間，游客距離地面的高度超過70米？(3)當(dāng)你登上摩天輪分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，問你的朋友登上摩天輪多少時間后，你與你的朋友與地面的距離之差最大？并求出最大值．練習(xí)1．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）.某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為45米，最低點(diǎn)距離地面5米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個座艙（如圖2）.開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，游客在座艙離地面最近時的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙.摩天輪轉(zhuǎn)一周需要10分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時.設(shè)經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知.（，，）.(1)試求的解析式.(2)求游客甲坐上摩天輪轉(zhuǎn)第一圈的過程中離地面高度為15米時的時刻.2．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個座艙（如圖2）.開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，游客在座艙離地面最近時的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙.摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時.(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，求的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個座艙，從甲進(jìn)入座艙開始計(jì)時，在摩天輪轉(zhuǎn)動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值及此時的時間.3．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為130米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，每30分鐘轉(zhuǎn)一圈．已知游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，設(shè)游客距離地面的高度（單位：米）關(guān)于進(jìn)艙時間（單位：分鐘）的函數(shù)解析式為（其中）．(1)求；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間游客距離地面的高度不小于100米？4．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動．如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動3圈．規(guī)定：盛水筒對應(yīng)的點(diǎn)從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計(jì)算時間，且以水輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)盛水筒從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所經(jīng)過的時間為（單位：），且此時點(diǎn)距離水面的高度為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)）(1)求與時間之間的關(guān)系．(2)求點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時間為多少?在轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，點(diǎn)在水中的時間是多少?(3)若在上的值域?yàn)?，求的取值范圍?．如圖，一個水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn))開始計(jì)算時間.(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時間？6．深圳別稱“鵬城”，“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳，是目前亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.已知某摩天輪的直徑為，最高點(diǎn)距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，摩天輪運(yùn)行時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)游客甲從最低點(diǎn)坐上摩天輪的座艙，轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)已知游客在距離地面時的高度能夠獲得最佳視覺效果，記某游客從坐上摩天輪后達(dá)到最佳視覺效果的時刻依次為，求．答案第=page1313頁，共=sectionpages1313頁答案第=page1212頁，共=sectionpages1313頁參考答案：例1．ABD【思路】求出的解析式，判斷的單調(diào)性和最值，從而可判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】水車的半徑，函數(shù)的最小正周期，所以，由，解得，且，所以，故A正確；，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，取得最小值，故此時點(diǎn)到軸的距離為6，故B正確；當(dāng)時，，所以在上先增后減，故C錯誤；當(dāng)時，，此時點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD.例2．(1)(2)10時開，18時關(guān)【思路】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知周期，進(jìn)而根據(jù)求得的值；結(jié)合函數(shù)的最大值和最小值，可求得，代入最低點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，進(jìn)而得函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)題意，令，解不等式，結(jié)合的取值范圍即可求得開啟和關(guān)閉中央空調(diào)時間．【詳解】（1）由圖知，，所以，解得：.由圖知，，，所以：，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：，得，即：，又因?yàn)?，得，所以?（2）依題意，令，可得，所以：，解得：令，得，，故中央空調(diào)應(yīng)在上午10時開啟，下午18時關(guān)閉．3．(1)米；(2)；(3)3分鐘【思路】（1）根據(jù)給定條件，求出相鄰兩個座艙所對的圓心角，結(jié)合弧長公式即可計(jì)算得解.（2）以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)函數(shù)，由已知求出參數(shù)得解.（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系解不等式，求出最佳視覺效果時間，再求出甲乙時間間隔即可得解.【詳解】（1）依題意，摩天輪的圓周上均勻地安裝著30個座艙，則兩個相鄰座艙所對的圓心角為，由甲?乙之間間隔4個座艙，得劣弧所對的圓心角為，弧長，所以劣弧的弧長為米.（2）以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以過的水平線和豎直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)開始轉(zhuǎn)動分鐘后距離地面的高度，依題意，，則，，由轉(zhuǎn)一周需要18分鐘，得周期，解得，則，由，得，解得，因此，所以.（3）由在距離地面至少62.5米的高度能夠獲得最佳視覺效果，得，即，則，即，解得，則分鐘，于是有6分鐘的時間使游客甲有最佳視覺效果，而劣弧所對的圓心角為，則甲乙相隔的時間，有，解得分鐘，因此當(dāng)甲剛開始有最佳視覺效果時，乙需3分鐘后才有視覺效果，所以甲乙都有最佳視覺效果的時間為分鐘.例4．(1)，，(2)．【思路】（1）由題可得，結(jié)合條件可得，即得；（2）由函數(shù)最大值為，可得，即，取得答案.【詳解】（1）由圖可知，風(fēng)車水面以下最低點(diǎn)離水面深度為，所以可知，解得，．由題知，得，∴，∴，，∴．∴，，，．（2）由，得，∴，，即，．∴當(dāng)時，盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時,即盛水簡出水后至少經(jīng)過就可以到達(dá)最高點(diǎn).例5．(1)，，，；(2).【思路】（1）根據(jù)題意可確定的值，根據(jù)周期確定，由時，即可求得，即得答案；（2）由（1）可得，令其等于6，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由圖知，d的最大值為6，最小值為，即，解得，由每轉(zhuǎn)1圈，得函數(shù)的最小正周期，解得，則，又當(dāng)時，，即，則，由，得，所以，，，.（2）由（1）得，令，即，得，則，，當(dāng)時,，所以至少經(jīng)過后盛水筒P出水后就可到達(dá)最高點(diǎn)．例6．(1)，70m(2)0.5min【思路】（1）根據(jù)函數(shù)模型各個量的幾何意義，與實(shí)際問題相聯(lián)系可依次讀出A，，h和的值，的值也可以通過起始位置對應(yīng)的量代入函數(shù)模型求解，從而得出的解析式.（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解三角不等式問題即可求解.【詳解】（1）依題意，，，，則，所以，由可得，，，因?yàn)?，所?故在時刻時點(diǎn)距離地面的離度,因此，故2023min時點(diǎn)P距離地面的高度為70m.（2）由（1）知，其中,依題意，令，即，所以，解得，,則，,由，可知轉(zhuǎn)一圈中有0.5min時間可以看到公園全貌.【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)評：本題為模型的實(shí)際運(yùn)用，關(guān)鍵在于讀懂題意，抓住模型中各個字母在實(shí)際情境中代表的意義.例7．(1)，.(2)一圈內(nèi)有分鐘，游客距離地面的高度超過70米.(3)朋友登上摩天輪后分鐘或分鐘后兩者與地面的距離差最大且最大值為米.【思路】（1）根據(jù)題設(shè)可求，再根據(jù)最低點(diǎn)可求，故可求解析式；（2）求出不等式在上的解后可求時間長；（3）兩者與地面的距離之差為，結(jié)合三角變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最值及何時取最值.【詳解】（1）因?yàn)槟μ燧嗈D(zhuǎn)一周需3分鐘，故，，而時，取最小值，即，而時，取最大值即，所以，故，又，所以，而，故，故，.（2）令，故，而，故即，所以一圈內(nèi)有分鐘，游客距離地面的高度超過70米.（3）設(shè)兩者之間的高度差為，，則化簡得到，當(dāng)時即時，,,故朋友登上摩天輪后或分鐘后兩者與地面的距離差最大且最大值為米.練習(xí)1．(1)（）(2)分鐘和分鐘.【思路】（1）根據(jù)題意由的最大值和最小值可求的,根據(jù)的值可求得的值，根據(jù)周期可求得的值；（2）根據(jù)題意，列出方程，解出即可.【詳解】（1）且∴，由得∵，∴，又∴（）（2）令，∵，∴∴或∴或答：游客甲坐上摩天輪轉(zhuǎn)第一圈的過程中離地面高度為15米的時刻為第分鐘和分鐘.2．(1)，(2)5分鐘或25分鐘(3)40米，或25分鐘【思路】（1）設(shè)，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析式；（2）令，由余弦函數(shù)的性質(zhì)及的范圍計(jì)算可得；（3）設(shè)經(jīng)過分鐘后甲距離地面的高度為，則乙距離地面的高度為，，表示出，再由三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)，由題意知，又，故，∵，∴，可取，∴，故解析式為，.（2）令，則，即.因?yàn)?，則，所以或，解得或，故游客甲坐上摩天輪分鐘或分鐘時，距離地面的高度恰好為米.（3）經(jīng)過分鐘后甲距離地面的高度為，乙與甲間隔的時間為分鐘，所以乙距離地面的高度為，，則兩人離地高度差，，令，解得，又，所以當(dāng)或分鐘時，取得最大值米.3．(1)(2)10分鐘【思路】（1）結(jié)合題意，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）令，計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題意知，，有，解得，由時，，解得，又，；（2）由（1）知，，令，則．故，解得，又，，在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有分鐘游客距離地面的高度不小于100米．12．(1)；(2)，；(3).【思路】（1）根據(jù)給定信息，設(shè)出，再求出參數(shù)即可.（2）由（1）的信息，結(jié)合周期性，求出點(diǎn)在對應(yīng)條件下，點(diǎn)轉(zhuǎn)動的圓心角弧度即可計(jì)算得解.（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解即得.【詳解】（