高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊第三章《3.1橢圓及其標準方程-簡單幾何性質(zhì)》

3.1.1橢圓及其標準方程1.了解橢圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．（重點）2．掌握橢圓的定義，會求橢圓的標準方程.（重點、難點）課題引入課題引入·rOA課題引入將一條無彈性的繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃直，圍繞定點旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是圓的引入：圓5課題引入數(shù)學(xué)實驗請將一根無彈性的細繩兩端分別固定在兩個定點上，用筆尖勾直繩子，使筆尖移動，觀察畫出的軌跡是什么曲線？

6課題引入請回答以下問題：視筆尖為動點，繩子兩端為兩定點，在運動過程中，動點始終滿足什么條件不變的呢？動點到兩定點距離之和為繩長7新課講授一.橢圓的定義F1F2M平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點的集合叫作橢圓。當(dāng)繩長=|F1F2|時,軌跡是當(dāng)繩長<|F1F2|時,軌跡不存在線段F1F28新課講授一.橢圓的定義F1F2M平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)

的點的集合叫作橢圓。這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點兩個焦點F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距9小試牛刀例1：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓。和點的距離之和為6的點的軌跡；（2）到點和點

的距離之和為4的點的軌跡；（3）到點和點

的距離之和為6的點的軌跡；（1）到點（4）到點和點

的距離之和為4的點的軌跡；10F1F2MxOyF1F2MxyOF1F2MxyO新課講授求圓的標準方程的步驟:(1)建系(2)設(shè)點(3)限制條件(4)代入(5)化簡檢驗對稱性簡潔性11求橢圓的標準方程的步驟:(1)建系(2)設(shè)點(3)限制條件(4)代入設(shè)M(x,y)

是橢圓上任意一點以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系。設(shè)|F1F2|=2c,（問題：接下來怎樣化簡？）則有F1(-c，0)、F2(c，0)新課講授F1F2MxOy(5)化簡檢驗11化簡移項得:兩邊平方得:新課講授13兩邊再平方，得整理得移項，整理得由橢圓定義可知這說明橢圓上的點的坐標滿足以上方程。我們還可以證明，這個方程的每一組解對應(yīng)的點都在橢圓上。新課講授橢圓的標準方程14F1F2MxOy化簡移項得:兩邊平方得:新課講授15兩邊再平方，得整理得移項，整理得1234一般地，我們把中心在原點、焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上的橢圓的方程叫作橢圓的標準方程。但是，一個橢圓，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以橢圓的標準方程還有其它形式。對“標準”的理解：F1F2MF1F2Mxoy新課講授16新課講授焦點在y軸上的橢圓的標準方程是：焦點在x

軸上的橢圓的標準方程是:F1F2MxOyF2F1MxyO17例題講解例2、判斷下列橢圓的焦點在哪個坐標軸上，并寫出焦點坐標。18例3、已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，,橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程。變式1：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點M到的距離之和為4，求該橢圓的標準方程。19例題講解總結(jié)定義標準方程圖象焦點坐標a,b,c的關(guān)系F1F2MxoyF2F1Mxyo20數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，類比的方法3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.熟悉橢圓的幾何性質(zhì)（范圍，對稱性，頂點，離心率）.（重點）2.理解離心率的大小對橢圓形狀的影響.（重點）3.通過數(shù)形結(jié)合、觀察分析、歸納出橢圓的幾何性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.（難點）橢圓的幾何性質(zhì)這節(jié)課讓我們一起先來研究：F2F1OB2B1A1A2xy1、范圍橫坐標的范圍：縱坐標的范圍：-a

x

a-b

y

b所以

由式子

知從而：-a

x

aaF2F1OB2B1A1A2xycb1、范圍容易算得：B2F2=a△B2F2O叫橢圓的特征三角形.2、對稱性（Y軸）F2F1Oxy橢圓關(guān)于y軸對稱.F2F1Oxy橢圓關(guān)于x軸對稱.2、對稱性（x軸）A2A1F2F1Oxy橢圓關(guān)于原點對稱.2、對稱性（原點）F2F1Oxy小結(jié)：對稱性橢圓關(guān)于y軸、x軸、原點對稱.所以橢圓即是軸對稱圖形也是中心對稱圖形3、頂點OB2B1A1A2xy可得x=

a在

中令y=0，從而：A1(-a，0)，A2(a，0)同理：B1(0，

-b)，B2(0，b)3、頂點OB2B1A1A2xy線段A1A2叫橢圓的長軸，線段B1B2叫橢圓的短軸，長為2a長為2b4、離心率上面橢圓的形狀有什么變化？Oxy怎樣刻畫它們的扁平程度？4、離心率Oxy顯然，a不變，b越小，橢圓越扁.也即，a不變，c越大，橢圓越扁.把橢圓的焦距與長軸長的比

稱為橢圓的離心率，用e表示，即4、離心率小結(jié)1，橢圓的離心率越大橢圓越2，橢圓的離心率的取值范圍0<e<1扁(±a，0)

(0，±b)(0，±a)

(±b，0)0<e<1()橢圓的幾何性質(zhì)-a

x

a-b

y

b-a

y

a-b

x

b橢圓方程范圍對稱性頂點離心率對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點例1、求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并畫出它的圖形.解：把方程化為標準方程:所以:a=5，b=4c=頂點坐標為(-5，0)，(5，0)，(0，4)，(0，-4)所以，長軸長2a=10，短軸長2b=8；離心率為0.6；XYO焦點坐標為(-3，0)，(3，0)例2、求符合下列條件的橢圓的標準方程:(1)經(jīng)過點(-3，0)、(0，-2)；解：易知a=3，b=2又因為長軸在x軸上，所以橢圓的標準方程為(2)長軸的長等于20，離心率等于0.6(2)由已知，2a=20，e=0.6或因為橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，所以所求橢圓的標準方程為∴a=10，c=6∴b=8練習(xí)1，求適合下列條件的橢圓的標準方程經(jīng)過點P(2，0)

Q(0，1)；(2)與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為0.8.或11422=+yx練習(xí)2：教材