高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 重點保分題 專題檢測（十八）概率、隨機(jī)變量及其分布列 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題檢測（十八）概率、隨機(jī)變量及其分布列（高考題型全能練）一、選擇題1．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3122．(2016·張掖模擬)某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(1,10)D.eq\f(2,5)3．(2016·廣州模擬)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點P，則點P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤2x的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)4．(2016·江西兩市聯(lián)考)已知集合M=｛1,2,3｝，N=｛1,2，3,4｝.定義映射f:M→N，則從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32)B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16)D.eq\f(1,4)5．不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤2，,0≤y≤4))表示的點集記為A，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y≥x2))表示的點集記為B，在A中任取一點P，則P∈B的概率為()A.eq\f(9,32)B.eq\f(7,32)C.eq\f(9,16)D.eq\f(7,16)6．先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1，2，3，4，5，6個點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，記事件A為“x＋y為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，則概率P(B|A)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,5)二、填空題7．(2016·山東高考)在[－1，1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．8．(2016·四川高考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是__________．9．某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再繼續(xù)射擊，否則一直射滿3次為止．設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的均值E(η)>eq\f(7,4)，則p的取值范圍是________．三、解答題10．(2016·全國甲卷)某險種的基本保費為a(單元：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．11．(2016·石家莊一模)某籃球隊對籃球運動員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計研究，針對籃球運動員在投籃命中時，運動員到籃筐中心的水平距離這項指標(biāo)，對某運動員進(jìn)行了若干場次的統(tǒng)計，依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖：(1)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運動員投籃命中時，他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù)；(2)在某場比賽中，考察他前4次投籃命中時到籃筐中心的水平距離的情況，并且規(guī)定：運動員投籃命中時，他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分，否則扣掉1分．用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分，將頻率視為概率，求X的分布列和均值．12．(2016·貴陽模擬)在某?？破罩R競賽前的模擬測試中，得到甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖．(1)若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學(xué)的知識說明理由；(2)若從甲的6次模擬測試成績中隨機(jī)選擇2個，記選出的成績中超過87分的個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和均值．答案一、選擇題1．解析：選A3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.2．解析：選B第一次摸出新球記為事件A，則P(A)＝eq\f(3,5)，第二次取到新球記為事件B，則P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9)，故選B.3．解析：選A依題意作出圖象如圖，則P(y≤2x)＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).4．解析：選C∵集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，N有43＝64種，∴映射f:M→N有43＝64種，∵由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).5．解析：選A聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,y＝x2，))解得x＝－1或x＝2.由幾何概型知識可知所求概率P＝eq\f(SB,SA)＝eq\f(\a\vs4\al(\i\in(－1,2,))（x＋2－x2）dx,4×4)＝eq\f(9,32).6．解析：選B正面朝上的點數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,6)＝36(種)．事件A：“x＋y為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個互斥事件，其中P(A1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3),36)＝eq\f(1,4)，P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3),36)＝eq\f(1,4)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且x≠y”，所以P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)－3,36)＝eq\f(1,6).由條件概率的計算公式，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,3).二、填空題7．解析：由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))＜3，即16k2＜9，解得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4).由幾何概型的概率計算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．解析：法一：由題意可知每次試驗不成功的概率為eq\f(1,4)，成功的概率為eq\f(3,4)，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,16).所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此試驗滿足二項分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0，1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))三、解答題10．解：(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(P（B）,P（A）)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率為eq\f(3,11).(3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.11．解：(1)設(shè)該運動員到籃筐中心的水平距離的中位數(shù)為x，∵0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5；∴x∈[4，5]．由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，∴該運動員到籃筐中心的水平距離的中位數(shù)是4.25米．(2)由頻率分布直方圖可知投籃命中時到籃筐中心距離超過4米的概率為p＝eq\f(3,5)，隨機(jī)變量X的所有可能取值為－4，－2，0，2，4.P(X＝－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,625)，P(X＝－2)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(96,625)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(216,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,625)，X的分布列為：X－4－2024Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)E(X)＝(－4)×eq\f(16,625)＋(－2)×eq\f(96,625)＋0×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋4×eq\f(81,625)＝eq\f(4,5).12．解：(1)學(xué)生甲的平均成績x甲＝eq\f(68＋76＋79＋86＋88＋95,6)＝82，學(xué)生乙的平均成績x