北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊專題1.3直角三角形【八大題型】(原卷版+解析)

專題1.3直角三角形【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件利用HL使三角形全等】 1【題型2判斷三角形全等的依據(jù)】 2【題型3利用HL證明全等】 4【題型4利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明線段線段】 5【題型5利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明角度相等】 7【題型6利用HL解決坐標(biāo)與圖形問題】 8【題型7寫出某個命題的逆命題】 9【題型8判斷逆命題的真假】 10【知識點(diǎn)1直角三角形全等的判定】斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.【題型1添加條件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上·北京海淀·八年級校考期中）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜邊BC=a作法：（1）作射線AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線AE于點(diǎn)C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線AD于點(diǎn)B．（4）連接BC．則△ABC就是所求作的三角形．上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA【變式1-1】（2023下·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一個條件是．【變式1-2】（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，BE=CF，AB⊥AF，CD⊥DE，若添加一個條件（不再添加新的字母）后，能判定△ABF與△DCE全等，則添加的條件可以是（寫出一個條件即可）．【變式1-3】（2023下·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，EF⊥AB于點(diǎn)F，CD=EF.要根據(jù)“HL”證明Rt△ACD≌Rt△BEF

A．∠A=∠B B．∠C=∠D C．AC=BE D．AD=BF【題型2判斷三角形全等的依據(jù)】【例2】（2023上·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，用三角尺可以畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M畫OA的垂線，過點(diǎn)N畫OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P，畫射線OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP=∠BOP，那么射線OP就是∠AOB的平分線．△OMP≌△ONP的依據(jù)是（

）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【變式2-1】（2023上·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO=CO，AB=CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【變式2-2】（2023上·河北邯鄲·八年級校考期中）如圖，有兩個長度相等的滑梯靠在墻上，且墻與地面垂直，滑梯AB的高度AC與滑梯DF的水平寬EF相等，則△ABC≌△FDE的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【變式2-3】（2023下·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有Rt△ABC（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個Rt△A′B

對這兩種畫法的描述中正確的是（

）A．小趙同學(xué)作圖判定Rt△AB．小趙同學(xué)第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段BC的長C．小劉同學(xué)作圖判定Rt△AD．小劉同學(xué)第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段AC的長【題型3利用HL證明全等】【例3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、是垂足，DE=BF，求證：△ABF?△CDE．

【變式3-1】（2023上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖是Rt△ABC，根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡作出的Rt△AA．

B．

C．

D．

【變式3-2】（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)了全等三角形的判定方法后，我們知道“已知兩邊和一角分別相等的兩個三角形不一定全等”，但下列兩種情形還是成立的．

(1)第一種情形（如圖a）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，則根據(jù)______，得出△ABC≌(2)第二種情形（如圖b）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F（∠C和∠F均為鈍角），AC=DF，AB=DE，求證：△ABC≌△DEF．（提示：分別過點(diǎn)A、點(diǎn)【變式3-3】（2023上·山東聊城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于

A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【題型4利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明線段線段】【例4】（2023上·河北衡水·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF．(1)求證：AC=AE；(2)若AC=8，AB=10，求DE的長；(3)若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數(shù)量關(guān)系．【變式4-1】（2023下·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D、E，CE交AB于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACD≌(2)若AC=AF，AD=12，BE=5，則FE的長______．【變式4-2】（2023上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？【變式4-3】（2023下·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm.一條線段PQ=AB，并且P、Q兩點(diǎn)分別在線段AC和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動.問當(dāng)P點(diǎn)位于AC的什么位置時由P、Q、A點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABC全等？并說明理由．【題型5利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明角度相等】【例5】湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？【變式5-1】（2014上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期中）已知：在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．

【變式5-2】（2023上·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E．

（1）△ACE與△ADE是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若∠B=28°，則∠AEC的度數(shù)為．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)連接AD，求證：AD平分∠BAC．【題型6利用HL解決坐標(biāo)與圖形問題】【例6】（2023上·福建莆田·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，A，P分別是x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，B是線段OA上一點(diǎn)，連接PB．(1)如圖1，CA⊥x軸于點(diǎn)A，BC⊥PB，D是OP上一點(diǎn)，且∠BDO=∠PBO；①求證：∠DBO=∠CBA；②若OP=OA，求證：BD+BC=BP；(2)如圖2，A5，0，B2，0，G是PB的中點(diǎn)，連接AG，M是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，PM=2AG，當(dāng)點(diǎn)【變式6-1】（2023上·廣東惠州·八年級惠州市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=CD，OA=OC=1，OB=2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．

【變式6-2】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A、B，B?23,0，(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動，速度為2個單位/秒，連接PQ、AQ，AQ交x軸于點(diǎn)D，在運(yùn)動過程中，∠BPQ始終等于150°，且DA=DQ，請用含t的代數(shù)式表示(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠BQA=2∠PBQ【變式6-3】（2023下·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0）(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上自原點(diǎn)向正半軸方向運(yùn)動的一動點(diǎn)，運(yùn)動速度為2個單位長度/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts，點(diǎn)Q為射線BA上一點(diǎn)，當(dāng)t=5時，SΔPQOSΔCDB(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△PDC為等腰直角三角形時，求t的值．【知識點(diǎn)2逆命題、逆定理】兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆命題。其中一個叫做原命題，另外一個叫做逆命題。如果定理的逆命題是正確的，那么它也是一個定理，我們把這個定理叫做原定理的逆定理?！绢}型7寫出某個命題的逆命題】【例7】（2023上·山西呂梁·八年級?？茧A段練習(xí)）把命題“等腰三角形是軸對稱圖形”的逆命題改寫成“如果…那么……”的形式：．【變式7-1】（2023上·八年級課時練習(xí)）命題：“等角的余角相等”的條件是，結(jié)論是：，逆命題是．【變式7-2】（2023下·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）命題“如果兩個數(shù)相等，那么它們的倒數(shù)相等”的逆命題是．【變式7-3】（2023·八年級單元測試）將命題“所有直角都相等”的逆命題改寫成“如果……那么……”的形式：.【題型8判斷逆命題的真假】【例8】（2023上·安徽亳州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）寫出“相等的角是內(nèi)錯角”這個命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題是不是互逆定理．【變式8-1】（2023上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期中）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，同位角相等； B．對頂角相等；C．如果a=b，那么a=b；【變式8-2】（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．有兩個角互余的三角形是直角三角形C．如果x=y，則x2=y【變式8-3】（2023下·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知△ABC，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列命題的逆命題成立的是（

）A．若∠A=∠C?∠B，則△ABC為直角三角形B．若a:b:c=3:4:5，則∠C=90°C．若△ABC為直角三角形，則∠A:∠B:∠C=5:2:3D．若a2=b+c專題1.3直角三角形【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件利用HL使三角形全等】 1【題型2判斷三角形全等的依據(jù)】 4【題型3利用HL證明全等】 6【題型4利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明線段線段】 10【題型5利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明角度相等】 15【題型6利用HL解決坐標(biāo)與圖形問題】 18【題型7寫出某個命題的逆命題】 26【題型8判斷逆命題的真假】 27【知識點(diǎn)1直角三角形全等的判定】斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.這一定理簡稱為“斜邊、直角邊”或“HL”.【題型1添加條件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上·北京海淀·八年級校考期中）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：Rt△ABC，使得斜邊BC=a作法：（1）作射線AD、AE，且AE⊥AD．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線AE于點(diǎn)C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線AD于點(diǎn)B．（4）連接BC．則△ABC就是所求作的三角形．上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．SSA【答案】A【分析】由作法可知，根據(jù)HL即可判定三角形全等．【詳解】解：題干尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是HL．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．【變式1-1】（2023下·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一個條件是．【答案】AB=AC【分析】根據(jù)題意可得，在△ABD和△ACD中，∠ADB=∠ADC=90°，AD為公共邊，則只需要添加AB=AC，即可根據(jù)HL判定全等．【詳解】解：添加的條件為：AB=AC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=AD∴Rt△ABD≌故答案為：AB=AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)HL判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是掌握一條直角邊和一條斜邊相等的兩個直角三角形全等．【變式1-2】（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，BE=CF，AB⊥AF，CD⊥DE，若添加一個條件（不再添加新的字母）后，能判定△ABF與△DCE全等，則添加的條件可以是（寫出一個條件即可）．【答案】AB=DC或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，又∵AB⊥AF，CD⊥DE，∴∠A=∠D=90°，∴當(dāng)AB=DC時，在Rt△ABF和RtBF=CEAB=DC∴Rt△ABF?當(dāng)∠AFB=∠DEC時，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DEC∴△ABF?△DCEAAS當(dāng)∠B=∠C時，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABF?DCEAAS故答案為：AB=CD或∠AFB=∠DEC或∠B=∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．題目是開放型題目，根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．【變式1-3】（2023下·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，EF⊥AB于點(diǎn)F，CD=EF.要根據(jù)“HL”證明Rt△ACD≌Rt△BEF

A．∠A=∠B B．∠C=∠D C．AC=BE D．AD=BF【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，EF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠ADC=∠BFE=90∵CD=EF，∴當(dāng)添加AC=BE時，根據(jù)“HL”判斷Rt故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．【題型2判斷三角形全等的依據(jù)】【例2】（2023上·福建泉州·八年級校考期中）如圖，用三角尺可以畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M畫OA的垂線，過點(diǎn)N畫OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P，畫射線OP．可以得到△OMP≌△ONP，所以∠AOP=∠BOP，那么射線OP就是∠AOB的平分線．△OMP≌△ONP的依據(jù)是（

）

A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，根據(jù)直角三角形全等的判定HL定理，可證△OPM≌△OPN，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【詳解】由題意知OM=ON，∠OMP=∠ONP=90°，OP=OP，在Rt△OMP和RtOM=ON∴Rt△OMP≌∴∠AOP=∠BOP，故選：C．【變式2-1】（2023上·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知AC⊥BD，垂足為O，AO=CO，AB=CD，則可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分析即可。【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°在RT△AOB和RT△COD中，AB=CDAO=CO∴△AOB≌△COD(HL)故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL判定兩個三角形全等是解決此題的關(guān)鍵?！咀兪?-2】（2023上·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，有兩個長度相等的滑梯靠在墻上，且墻與地面垂直，滑梯AB的高度AC與滑梯DF的水平寬EF相等，則△ABC≌△FDE的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【答案】D【分析】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)直角三角形全等的判定方法解題即可．【詳解】解：滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△FDE中，AB=FD∴Rt△ABC≌故選：D．【變式2-3】（2023下·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有Rt△ABC（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個Rt△A′B

對這兩種畫法的描述中正確的是（

）A．小趙同學(xué)作圖判定Rt△AB．小趙同學(xué)第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段BC的長C．小劉同學(xué)作圖判定Rt△AD．小劉同學(xué)第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段AC的長【答案】A【分析】根據(jù)演示確定作圖的具體步驟，結(jié)合全等的判定方法判斷．【詳解】由圖示知，小趙第一步為截取線段B′C′=BC，第二步為作線段C′A′=CA，判定方法為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型3利用HL證明全等】【例3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、是垂足，DE=BF，求證：△ABF?△CDE．

【答案】見解析【分析】求出∠DEC=∠BFA=90°，根據(jù)HL定理推出即可．【詳解】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF和RtAB=DCBF=DE∴Rt【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【變式3-1】（2023上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖是Rt△ABC，根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡作出的Rt△AA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)HL證明Rt△【詳解】解：選項B滿足題意；由作圖知，斜邊A1C1=AC，∴Rt△故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【變式3-2】（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)了全等三角形的判定方法后，我們知道“已知兩邊和一角分別相等的兩個三角形不一定全等”，但下列兩種情形還是成立的．

(1)第一種情形（如圖a）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，則根據(jù)______，得出△ABC≌(2)第二種情形（如圖b）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F（∠C和∠F均為鈍角），AC=DF，AB=DE，求證：△ABC≌△DEF．（提示：分別過點(diǎn)A、點(diǎn)【答案】(1)HL（斜邊直角邊），理由見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定．（1）“HL”定理只能用來證明兩個直角三角形全等；（2）通過證明△ACG≌△DFH可得到△ABG,△DEH中的一組直角邊相等，再證明△ABG≌【詳解】（1）解：HL（斜邊直角邊），推理過程如下：∵∠C=∠F=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=DFAB=DE∴Rt（2）證明：如圖，過A作AG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G，過D點(diǎn)作DH⊥EF，交EF的延長線于點(diǎn)H，

∴∠ACG=∠DFH，∵在△ACG和△DFH中，∠AGC=∠DHF=90°∠ACG=∠DFH∴△ACG≌∴AG=DH．∵在Rt△ABG和RtAB=DEAG=DH∴△ABG≌∴∠ABG=∠DEH．∵在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠ACB=∠DFE∴△ABC≌【變式3-3】（2023上·山東聊城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于

A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形有△AEC≌△AFB,【詳解】解：∵AE⊥EC于E，AF⊥BF于F

∴∠E=∠F=90°∵AB=AC，AE=AF∴△AEC≌△AFB(HL∴∠ABH=∠ACG，AB=AC∵∠A=∠A∴△ABH≌△ACGASA∴AG=AH∴BG=CH∵∠ABH=∠ACG，∠GOB=∠HOC∴△GOB≌△HOCAAS∵CE=BF，CG=BH∴EG=FH∵∠E=∠F=90°，AE=AF∴△AEG≌△AFHHL故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．注意：AAA,SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．做題時從已知結(jié)合全等的判定方法開始思考，做到由易到難，不重不漏．【題型4利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明線段線段】【例4】（2023上·河北衡水·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上，連接DF．(1)求證：AC=AE；(2)若AC=8，AB=10，求DE的長；(3)若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)8(3)AB=AF+2EB【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等量代換思想．(1)證明△ADC≌△ADE即可．(2)根據(jù)勾股定理，得BC=AB2?AC2=6，結(jié)合△ADC≌△ADE，得到AE=AC=8，BE=AB?AE=2(3)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，結(jié)合已知等量代換證明即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∠CAD=∠BAD，∴∠C=∠AED=90°，DE=DC在△ADC和△ADE中，AD=ADDE=DC∴△ADC≌△ADEHL∴AC=AE．（2）解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=A由（1）得：△ADC≌△ADE，∴DE=DC，AE=AC=8，BE=AB?AE=2，設(shè)DE=x，則CD=DE=x,BD=BC?CD=6?x，根據(jù)勾股定理，得6?x2解得∴x=8∴DE=8（3）AB=AF+2EB，理由如下：由（1）得：△ADC≌△ADE，∴AE=AC=AF+CF，AB=BE+AE，∴AB=BE+AC，∴AB=BE+AF+CF，∵CF=BE，∴AB=AF+2EB．故答案為：AB=AF+2EB．【變式4-1】（2023下·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D、E，CE交AB于點(diǎn)F．

(1)求證：△ACD≌(2)若AC=AF，AD=12，BE=5，則FE的長______．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，由同角的余角相等得∠CAD=∠BCE，根據(jù)AAS證得△ACD≌△CBE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得CD=BE=5，AD=CE=12，根據(jù)HL可得Rt△ACD≌Rt△AFD，得DF=CD=5【詳解】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD與△CBE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE(AAS（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE=5，AD=CE=12，∵AC=AF，AD=AD，∴Rt∴DF=CD=5，∴EF=CE?CD?DF=12?5?5=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．【變式4-2】（2023上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？【答案】會受到影響，24s【分析】過點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，則可得AB=80m，從而可判斷學(xué)校會受到影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則易得AE=AF，從而BE=BF，由勾股定理可求得BE的長，從而得EF的長，由路程、速度與時間的關(guān)系即可求得學(xué)校受影響的時間．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AB⊥PN于點(diǎn)B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=1∵80m<100m，∴學(xué)校會受到噪音的影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則AE=AF=100m，∵AB=AB，∴Rt△ABE≌Rt△ABF，∴BE=BF，由勾股定理得：BE=A∴EF=2BF=120m=0.12km，則受影響的時間為：0.12÷18×3600=24（s）．【點(diǎn)睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．【變式4-3】（2023下·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）如圖15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm.一條線段PQ=AB，并且P、Q兩點(diǎn)分別在線段AC和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動.問當(dāng)P點(diǎn)位于AC的什么位置時由P、Q、A點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABC全等？并說明理由．【答案】當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到距離點(diǎn)A為10時，△ABC與△APQ全等，理由見解析【分析】本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP=BC=5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置，②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP=AC，P、C重合來求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到距離點(diǎn)A為10時，△ABC與△APQ全等．理由：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：①當(dāng)P運(yùn)動到AP=BC時，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP＝∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=10；②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時，AP=AC，不合題意．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到距離點(diǎn)A為10時，△ABC與△APQ全等．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．【題型5利用HL和全等三角形的性質(zhì)證明角度相等】【例5】湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？【答案】∠B+∠F=90°【分析】根據(jù)HL證明Rt△BAC≌Rt△EDF即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDFHL∴∠B=∠DEF（全等三角形的對應(yīng)角相等）．∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的兩銳角互余），∴∠B+∠F=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的全等，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2014上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期中）已知：在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE=DF．求證：△ABC是等腰三角形．

【答案】見解析【分析】易得∠AED=∠CFD=90°，AD=CD，即可根據(jù)HL證明Rt【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AED=∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在Rt△ADE和RtAD=CDDE=DF∴Rt△ADE∴∠A=∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)角相等，等角對等邊．【變式5-2】（2023上·河北滄州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E．

（1）△ACE與△ADE是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若∠B=28°，則∠AEC的度數(shù)為．【答案】是59°/59度【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用HL證明兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形可以得到∠CAE=∠DAE=1【詳解】（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt△AEC和RtAE=AEAC=AD∴Rt△AEC≌（2）∵∠B=28°，∴∠CAB=90°?∠B=90°?28°=62°，∵Rt△AEC≌∴∠CAE=∠DAE=1∴∠CEA=90°?∠CAE=90°?31°=59°，故答案為：是；59°．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)連接AD，求證：AD平分∠BAC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】1求出BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，根據(jù)HL證出Rt△BDE≌Rt△CDF即可；2根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．【詳解】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE與Rt△CDF中BD=DCDE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL（2）證明：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B=∠C，BD=DC，∴AB=AC，∴AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的判定的應(yīng)用．【題型6利用HL解決坐標(biāo)與圖形問題】【例6】（2023上·福建莆田·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，A，P分別是x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，B是線段OA上一點(diǎn)，連接PB．(1)如圖1，CA⊥x軸于點(diǎn)A，BC⊥PB，D是OP上一點(diǎn)，且∠BDO=∠PBO；①求證：∠DBO=∠CBA；②若OP=OA，求證：BD+BC=BP；(2)如圖2，A5，0，B2，0，G是PB的中點(diǎn)，連接AG，M是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，PM=2AG，當(dāng)點(diǎn)【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)不變，M【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①由題意知，∠DBO+∠BDO=90°，∠PBO+∠CBA=90°，進(jìn)而可證∠DBO=∠CBA；②如圖1，延長CB交y軸于E，過E作EF⊥CA的延長線于F，由∠DBO=∠CBA=∠EBO，可得BD=BE，BD+BC=BE+BC=CE，證明△POB≌△EFCAAS，則PB=EC=BD+BC（2）如圖，延長AG到H，使AG=GH，連接PH，過H作HN⊥AB于N，證明△AGB≌△HGPSAS，則HP=AB=3，證明Rt△AHN≌Rt△MPOHL【詳解】（1）①證明：∵∠BOD=90°，∴∠DBO+∠BDO=90°，∵BC⊥PB，∴∠PBO+∠CBA=90°，∵∠BDO=∠PBO，∴∠DBO=∠CBA；②證明：如圖1，延長CB交y軸于E，過E作EF⊥CA的延長線于F，由（1）知，∠DBO=∠CBA=∠EBO，∴BD=BE，BD+BC=BE+BC=CE，∵∠PBO+∠ABC=90°，∠ABC+∠C=90°，∴∠PBO=∠C，∵∠PBO=∠C，∴△POB≌△EFCAAS∴PB=EC=BD+BC，∴BD+BC=BP；（2）解：如圖，延長AG到H，使AG=GH，連接PH，過H作HN⊥AB于N，∵AG=GH，∠AGB=∠HGP，BG=PG，∴△AGB≌△HGPSAS∴HP=AB=3，∵AH=2AG=MP，HN=OP，∴Rt△AHN≌∴MO=AN=3+5=8，∴M?8【變式6-1】（2023上·廣東惠州·八年級惠州市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB=CD，OA=OC=1，OB=2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．

【答案】?2【分析】利用HL證明Rt△ABO≌Rt△CDO，得到OD=OB=2【詳解】解：∵AB=CD，OA=OC=1，∠AOB=∠COD=90°，∴Rt△ABO≌∴OD=OB=2，∴D?2故答案為：?2，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，證明Rt△ABO≌【變式6-2】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)A、B，B?23,0，(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動，速度為2個單位/秒，連接PQ、AQ，AQ交x軸于點(diǎn)D，在運(yùn)動過程中，∠BPQ始終等于150°，且DA=DQ，請用含t的代數(shù)式表示(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠BQA=2∠PBQ【答案】(1)0,2(2)△ABP的面積為(3)4?2【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得OA的長即可求解；（2）根據(jù)題意可得BP=2（3）過點(diǎn)Q作CQ⊥x軸于點(diǎn)C，證明△AOD≌△QCD，得出PQ=2CQ=4，∠BQA=2∠PBQ，設(shè)∠BQA=2α，則∠PBQ=α，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BQ，在EB上截取EF=EQ，則DE垂直平分FQ，得出∠FDB=∠FBD，過點(diǎn)F作FH⊥BD，則BH=HD，過點(diǎn)D作DG⊥BA交【詳解】（1）解：∵AB=4，∠ABO∴OA=∴A0,2（2）解：∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動，速度為2個單位/秒，∴BP∴S△（3）解：如圖，過點(diǎn)Q作CQ⊥x軸于點(diǎn)∵AD=DQ，∠AOD∴△AOD∵OA=2∴CQ=∵∠BPQ∴∠CPQ∴PQ=2∵∠BQA=2∠PBQ，設(shè)∠如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BQ，在EB上截取EF=EQ，則∴DF=∴∠DFQ又∵∠DFQ∴∠FDB∴∠FDB∴FB=過點(diǎn)F作FH⊥∴BH=HD過點(diǎn)D作DG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)∵∠ABO∴DG=∵AD=∴AD=在Rt△ADG與Rt△DA∴Rt△ADG≌Rt△∴∠ADG=∠∵∠CDQ∠ADB∴∠GDB又∵∠GDB∴α=15°∴∠ADO又∵∠CPQ∴∠PQB∴∠PBQ∴PB=PQ∴OP=4?即P4?2【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，求得α=15°【變式6-3】（2023下·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0）(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上自原點(diǎn)向正半軸方向運(yùn)動的一動點(diǎn)，運(yùn)動速度為2個單位長度/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts，點(diǎn)Q為射線BA上一點(diǎn)，當(dāng)t=5時，SΔPQOSΔCDB(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△PDC為等腰直角三角形時，求t的值．【答案】(1)y=?x+3(2)（32，32）或（?3(3)3【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出OP的長，再求出C、D的坐標(biāo)進(jìn)而求出△CDB的面積得到△PQO的面積，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)題意可知當(dāng)△PDC為等腰直角三角形時，只存在∠PDC=90°這種情況，則PD=DC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，證明Rt△PED≌Rt△CFD（HL），得到PE=CF=92，則OP=6，t=【詳解】（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴3k+b=0b=3∴k=?1b=3∴直線AB的解析式為y=?x+3；（2）解：由題意得OP=5×2=10，∵點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（32，3∴BC=6，∴S△CDB∵S△PQO∴S△PQO∴12∴xQ∴xQ∵點(diǎn)Q在射線BA上，∴當(dāng)xQ=32時，yQ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（32，32）或（?3（3）解：根據(jù)題意可知當(dāng)△PDC為等腰直角三角形時，只存在∠PDC=90°這種情況，則PD=DC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，∴∠PED=∠CFD=90°，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（32，3∴DE=DF=3又∵PD=CD，∴Rt△PED≌Rt△CFD（HL），∴PE=CF=92∴OP=OE+PE=6，∴t=6【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱，等腰直角三角形的性質(zhì)等等，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)2逆命題、逆定理】兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆命題。其中一個叫做原命題，另外一個叫做逆命題。如果定理的逆命題是正確的，那么它也是一個定理，我們把這個定理叫做原定理的逆定理?！绢}型7寫出某個命題的逆命題】【例7】（2023上·山西呂梁·八年級?？茧A段練習(xí)）把命題“等腰三角形是軸對稱圖形”的逆命題改寫成“如果…那么……”的形式：．【答案】如果一個圖形是軸對稱圖形，那么它是等腰三角形【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題；許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么……”形式，有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了逆命題；先把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換得到逆命題，然后把逆命題的題設(shè)寫在如果的后面，把逆命題的結(jié)論寫在那么的后面即可．【詳解】命題“等腰三角形是軸對稱圖形”的逆命題為“軸對稱圖形是等腰三角形”，此逆命題寫成“如果...那么...”的形式為“如果一個圖形是軸對稱圖形，那么它是等腰三角形”；故答案為：如果一個圖形是軸對稱圖形，那么它是等腰三角形．【變式7-1】（2023上·八年級課時練習(xí)）命題：“等角的余角相等”的條件是，結(jié)論是：，逆命題是．【答案】兩個角相等它們的余角相等如果兩個角的余角相等，那么這兩個角相等【分析】根據(jù)命題的條件和結(jié)論和逆命題的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：命題：“等角的余角相等”的條件是：“兩個角相等”；結(jié)論是：它們的余角相等；逆命題是：如果兩個角的余角相等，那么這兩個角相等．故答案為：兩個角相等；它們的余角相等；如果兩個角的余角相等，那么這兩個角相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的條件與結(jié)論，命題的逆命題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．【變式7-2】（2023下·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）命題“如果兩個數(shù)相等，那么它們的倒數(shù)相等”的逆命題