2020-2021學(xué)年梅州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年梅州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.關(guān)于命題，下列判斷正確的是()

A.命題“每個正方形都是矩形”是存在量詞命題

B.命題“有一個素數(shù)不是奇數(shù)”是全稱量詞命題

C.命題“VxGR,x4eR”的否定為**3X0eR,環(huán)CR”

D.命題“每個整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“每個整數(shù)都不是有理數(shù)”

2.已知直線環(huán)在平面a內(nèi)，則“直線/上有兩個點到平面a的距離相等"是““/a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.(理)若向量行=(1,1,X)，6=(1,2,1)-?=(1,1,1).滿足條件值一行>(23)=—2，則x=()

A.：B.2C.—；D.—2

22

4.過點P(3,0)直線l與圓/+y2=4%的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.相交或相離

5.已知雙曲線條一3=19>0方>0)與拋物線*=4缶有共同的焦點尸，且點F到雙曲線漸近

線的距離等于1,則雙曲線的方程為()

A.-——=1B.x2—y2=1C.--y2=1D.x2——=1

44/3/3

6.己知函數(shù)/Xx)=1+芯一?+9—9+“?+^,設(shè)F(x)=/(x+4),且函數(shù)F(x)的零點均在

區(qū)間［a,b］(a<b,a,6eZ)內(nèi)，圓產(chǎn)+y2=匕一。的面積的最小值是()

A.nB.27rC.3兀D.47T

7.某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬元，以后每年投入資金比上一年增加10萬

元，從2020年初開始每年投入資金比上一年增加10%,到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設(shè)共投資

大約為()

A.1600萬元B.1660萬元C.1700萬元D.1810萬元

8.已知若f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x6(—8,0］時，f(x)+2x>0,則不等式/(>+1)—

f(x+2)>2x+3的解集為()

A.(3,+8)B.(-00,-3)C.D.(--,4-OO)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物

學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念，定義如

下:設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對于&CR,令X"=f(Xn-i)(n=l,23“?),若存在正整數(shù)k使

得丸=而，且當(dāng)0<j<k時，Xj^x0,則稱與是/(久)的一個周期為k的周期點.給出下列四個結(jié)

論正確的是()

A.若/(x)=/T,則/'(X)存在唯一個周期為1的周期點

B.若/(x)=2(1-%),則/。)存在周期為2的周期點

{2x,x<-

21，則/(x)不存在周期為3的周期點

2(1-x),x>-

D.若/(x)=x(l-x),則對任意正整數(shù)n,；都不是f(x)的周期為n的周期點

10.已知奇函數(shù)/(%)的定義域為R,且滿足對任意的X6R,都有/(T)=/(X+1).當(dāng)OWxW割寸,

/(x)=log2(l+x),則下列說法正確的是()

A.的周期為2B.若ieN*,則22i/(i)=0

1011

C?點(一1.0)為/⑶的一個對稱中心D.X曾=log2(|)

11.關(guān)于橢圓9+?=1,以下說法正確的是()

A.長軸長為2aB.焦距為2注

C.離心率為當(dāng)D.左頂點的坐標(biāo)為(-夜,0)

12,在三維空間中，定義向量的外積：方x坂叫做向量五與方的外積，它是一個向

量，滿足下列兩個條件：

①為1(5x3)，b1(axK)，且落B和ax石構(gòu)成右手系(即三個向量的方向依次

與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示)；

②運xl的模|方>石|=|方||7|sin<2，(<乙］>表示向量五,3的夾角).

在正方體4BC0-4B1C1D1中，有以下四個結(jié)論，正確的有()

A.|麗xAC\=\福x麗|

B.ABxAD=ADXAB

C.石77x卡與西方向相同

D.6|前x前|與正方體表面積的數(shù)值相等

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如圖，y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù).直線2是曲線y=/(x)在％=2處的切線,

令g(x)=號,則g'(2)=.

14.經(jīng)過點3,0),Q(0,-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

15.已知a>0,點A(a,a),B(0,a),C(a,0),M和N分別是線段。B、AC上的動點(包括端點，其中。

是坐標(biāo)原點)，且滿足|0M|=|4N|,則直線ON與CM的交點P的軌跡方程為

16.正方體48。。一4/16。1中，則異面宜線4B與4G所成的角大小為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.己知4(一1,2),8(3,-2),C(l,5),求過點C且與直線48垂直的直線方程.

18.已知直線I：ax+(2-a)y+1=0.

(I)若直線，在x軸上截距和在y軸上截距相等，求a的值；

(11)若直線1與圓0—》2+3一》2=!相切，求°的值.

19.如圖，動物園要建造一面靠墻的兩間相同的矩形熊貓居室，如果I..]..「?....“....「fl

可供建造圍墻的材料總長是307n.x

(1)用寬光(單位m)表示所建造的兩間熊貓居室的面積y(單位巾2)；

(2)怎么設(shè)計才能使所建造的熊貓居室面積最大？并求出每間熊貓居室的最大面積？

20.如圖，斜三棱柱ABC-481cl的底面是直角三角形，乙4cB=90。，點名在底面內(nèi)的射影恰好是

BC的中點，且BC=C4=2

(1)求證：平面4CC1&_L平面BiQCB；

(2)若4遇=3,求點B到平面B1C4的距離.

4

21.設(shè)直線y=ax+b與雙曲線3——y2=i交于A、氏且以4B為直徑的圓過原點，求點P(a,b)的

軌跡方程.

22.已知函數(shù)萩:盛=工斕科描/哥懷?書癖，設(shè)曲線展=翼:礴在與窖軸交點處的切線為抑=硼：-』既,

冬

,颼琰為舞磁的導(dǎo)函數(shù)，滿足,資津-蹴=殿礴.

(1)求.戲蜷的單調(diào)區(qū)間.

(2)設(shè)教磁=嘉必奠礴,蝴油頌，求函數(shù)轡氏礴在|奧喇上的最大值;

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：命題“每個正方形都是矩形”含有全稱量詞，是全稱命題，所以4不正確；

命題“有一個素數(shù)不是奇數(shù)”是存在量詞命題，所以8不正確；

命題“VxeR,x,eR”的否定為“m&eR,xfCR”，滿足命題的否定形式，所以C正確；

命題“每個整數(shù)都是有理數(shù)”的否定為“存在一個整數(shù)不是有理數(shù)”，所以。不正確；

故選：C.

利用量詞判斷48的正誤；命題的否定判斷CO的正誤.

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

2.答案：B

解析：解：由直線，不在平面a內(nèi)，知：

“直線2上有兩個點到平面a的距離相等”="〃/a或直線2與平面a相交”，

“〃/a”="直線I上有兩個點到平面a的距離相等”，

直線，上有兩個點到平面a的距離相等”是“l(fā)〃a”的必要不充分條件.

故選:B.

“直線I上有兩個點到平面a的距離相等”=>“〃/a或直線2與平面a相交"，“〃/a”="直線/上有

兩個點到平面a的距離相等”，由此能求出結(jié)果.

本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查直線與平行的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：解：由題意可得仁―五)?(2方)=(0,0,1—；0?(2,4,2)=2(1—久)=一2，

可得久=2,

故選：B.

由條件《一砂?(2])=-2，化簡可得2(1-%)=一2,由此求得x的值.

本題主要考查兩個向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：A

解析：解：???圓心C(2,0)與點P(3,0)的距離為|PC|=1,

圓半徑r=1V16=2,

\PC\<r,

???點P在圓內(nèi)，；.過點P(3,0)直線/與圓+y2=4%相交.

故選：A.

由圓心C(2,0)與點P(3,0)的距離小于圓半徑，得點P在圓內(nèi)，由此能求出過點P(3,0)直線/與圓/+

y2=4%相交.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題.

5.答案：B

解析：解：因為拋物線f=8x的焦點坐標(biāo)(、/2,0)，

則由題意知，點F(夜,0)是雙曲線的左焦點，

所以a?+b2=c2=2,

又雙曲線的一條漸近線方程是bx-ay=0,

所以點F到雙曲線的漸近線的距離d=7=彗=1,

Va2+d2

.,,/)=1,

解得a=l,

所以雙曲線的方程為：%2-y2=1.

故選：B.

通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可見其焦點在%軸上，則雙曲線的左焦點為(-魚,0),此時由雙曲線的性質(zhì)

a2+b2=c2可得a、b的一個方程；再根據(jù)焦點在％軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±^x,可得a、

6的另一個方程.那么只需解a、b的方程組，問題即可解決.

本題考查圓錐曲線的共同特征，主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，確

定c和a的值，是解題的關(guān)鍵.

6.答案：A

,V2V3V4"2013

解析：解：=+J—二+…+游，

八/2342013

,1J.V2013

,當(dāng)X<一1或％>一1時，/'(%)=1—X+/3+…+x2012=-------->0.

〉''1+X

而當(dāng)x=-1時，［。)=2013>0

???/'(%)>0對任意XGR恒成立，得函數(shù)/(%)是(一8,+8)上的增函數(shù)

???/(-1)=(1-1)+(-A3)+…+^~7oi2~2Ql3^<0，/(。)=1>0

二函數(shù)/(%)在R上有唯一零點式oG(-1,0)

?.?“%)=f(x+4),得函數(shù)尸(%)的零點是&-4G(-5,-4)

CL<-5且b>—4,得b—Q的最小值為—4—(—5)=1

?.,圓*2+y2=6_a的圓心為原點，半徑r=7b-a

.,.0x2+y2=b-a的面積為兀*=兀(/,-a)<n,可得面積的最小值為乃

故選:A.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).再用零點存在性定理，得f(x)在R上

有唯一零點X。e(-1,0),結(jié)合函數(shù)圖象的平移知識可得數(shù)尸(x)的零點必在區(qū)間(-5,-4),由此不難得

到b-a的最小值，進(jìn)而得到所求圓面積的最小值.

本題給出關(guān)于x的多項式函數(shù)，求函數(shù)零點所在的區(qū)間長度的最小值.著重考查了函數(shù)的零點、圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等知識點，屬于中檔題.

7.答案：D

b

解析：解：設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為電,a2>。3，?4,瓦，2.....匕6，

由已知a2,a3,。4為等差數(shù)列，%=120,a4=150>

其和為S]=aT+a2+a3+a4=540>

又瓦，b2,,壇為等比數(shù)列,bj=150x1.1,公比q=l.l,

6

其和為S2=瓦+尻+-??...+b6=I2=1650(1.1-1).

Xl.l6=(1+0.1)6?1+C^O.l+Cjo.I2+CfO.I3?1.77,

:.S2x1270,

:.Si+S2P1810,

即共投入資金大約為1810萬元.

故選：D.

設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為a?,a3,a4,瓦，b2,..，b6,由題意可知出,a2，

a,為等差數(shù)列，比,b2,生為等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式求解.

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，同時考查了學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題.

8.答案：D

解析：解：根據(jù)題意,設(shè)g(x)=/(%)+/,

則f(x+1)-f(x+2)>2x+3=>f(x+1)+(x+I)2>/(x+2)+(x+2)2ng(x+1)>g[x+

2).

若/(x)為偶函數(shù)，貝Ug(-x)=/(-x)+(-x)2=f(x)+x2-g(x),即可得函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

又由當(dāng)x€(-8,0]時,f(x)+2x>0,則g(x)單調(diào)遞增，則g(x)在[0,+8)上遞減,

則g(x+1)>g(x+2)=I尤+1|<|x+2|=(x+I)2<(x+2)2,解可得x>-|,

即不等式的解集為(-l，+8);

故選：D.

根據(jù)題意,分析可得/(x+1)-f(x+2)>2x+3=f(x+1)+(x+l)2>f(x+2)+(x+2)2=>

g(x+l)>g(x+2),由函數(shù)奇偶性的定義分析可得g(x)為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得

g(x+l)>g(x+2)n|%+1|>|%+2|,解可得x的取值范圍，即可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分析g(x)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案:AD

解析：解:對于殉GR,令xn=/(xn_1)(n=1,2,3,...)>

若存在正整數(shù)k使得4=殉，且當(dāng)0</<k時，X)*x0,

則稱而是/(x)的一個周期為k的周期點.

對于4,f(x)—ex-1?當(dāng)k=l時，=f(&)=e&T,

因為直線y=x與y=/(x)只有一個交點(1,1),故A正確；

對于E,,/(x)=2(1-%),k=2時,x2=/(xj=2(1-xj=2[1-/(x0)]=4x0-2,

所以f(x)存在周期為2的周期點，故B正確；

(2x,x<-

對于C,若/'(x)=121，則當(dāng)％<0時，/(%)<0恒成立；

\2(l-x),x>-

當(dāng)久<0時，xr—/(x0)-2x0<0,x2—/Qi)=4x0<0.x3-/(x2)-8x0<0,

顯然X。=X3在a=0時成立，所以存在周期為3的周期點，故③錯誤：

對于D,/(%)=x(l-%)=-(x-j)2+所以B|J/(x)<I，

所以3不是周期點，故。正確.

故選：AD.

由周期點的定義，可得直線y=x與y=/(x)存在交點.分別對選項分析，結(jié)合函數(shù)的最值和函數(shù)值

的符號，可得結(jié)論.

本題考查了函數(shù)的新定義的理解和運用，主要是周期點的定義，考查運算能力和推理能力，屬于中

檔題.

10.答案：ABC

解析：解：對于4因為對任意的都有/(—x)=/(x+l),所以/(x)關(guān)于％對稱，

又因為/(x)為奇函數(shù)，所以/(-X)=

所以，f(x)=-f(x+1)=-(-/(x+1+1))=f(x+2),于是f(x)的周期為2,所以4對；

對于B,因為f(l)=/(0)=0,f(2)=/(0)=0,所以當(dāng)i€N*時，/(i)=0,所以，口i/(i)=0,

所以B對；

對于C因為/(—2-乃=/(一乃=一/(乃,所以點(-1,0)為/(x)的一個對稱中心，所以C對；

對于。，當(dāng)i=2k時，/(1)=f(k)=0,當(dāng)i=4k+1H寸，/(1)=f(2k+}=/(},當(dāng)i=4k+3時，

/(1)=fQk+1)=/(I+》=/(-1)=

1011

所以濯=/(|)=log2(|)*log2(|),所以。錯.

故選：ABC.

4根據(jù)周期函數(shù)定義判斷；B根據(jù)周期性求/(i),進(jìn)而求解；C根據(jù)對稱中心定義判斷；。根據(jù)周期性

分類求/(》值，進(jìn)而求解.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)基本性質(zhì)，屬于中檔題.

11.答案：BCD

解析：

求出橢圓的長軸長，焦距，離心率，左頂點坐標(biāo)，判斷選項的正誤即可.

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

解：橢圓^■+?=1的焦點在y軸上，a=2,b=企,c=或，

所以長軸長為2a=4,A錯誤；

焦距2c=2\/2，B正確；

離心率e=￡=涯，C正確；

a2

左頂點坐標(biāo)為(一40),即(一四0),。正確.

故選：BCD.

12.答案:ACD

解析：解：對于4,由五xb模的定義知，

|axb|=|a11b|sin<a>b>=|b||a|sin<

a>=|Kxa|.所以4對；

對于B,由五,方和「X1構(gòu)成右手系知,Zx石與Bx五方向相反，

再由4知，a,Xb=—bxa>所以B錯；

對于C,A1cl1B1D1,41cl1BB、=41cl_L平面口當(dāng)久。，

BDXu平面BB也。=BO11A￡,BDr1ArD,

再由右手系知，硒'x砸與西同向，所以C對；

對于D,正方體棱長為a,6|BCx^4C|=6|BC||^C|-sin45°=6V2a-a-y=6a2.

正方體表面積為6a2,所以D對.

故選：ACD.

運用新定義及空間向量基本概念分別判斷即可.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間向量的基本概念，理解新定義是解本題的關(guān)鍵，屬中檔

題.

13.答案：一：

解析：解：由圖可知，/(2)=3,r(2)=三=3

2—U/

又g(x)=竽.W(x)=^^，

則或2)=字=/

故答案為：一,

由圖象可得外2)與((2)的值，再由導(dǎo)數(shù)的運算法則求g(x)的導(dǎo)數(shù)，則答案可求.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則,

是基礎(chǔ)題.

14.答案：亡+g=1

94

解析:解：?.,經(jīng)過點P(-3,0),(2(0,-2),

???a=3,b=2,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為立+乃=1.

94

故答案為：蘭+日=1.

94

根據(jù)經(jīng)過點P(-3,0),<2(0,-2),表示出長軸，短軸，然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可.

此題考查學(xué)生會利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道基礎(chǔ)題.學(xué)生做題時應(yīng)注意橢圓的焦點

所在位置.

15.答案：y--~x2+(0<x<a)

解析：解：設(shè)N(Q")(0W￡WQ),

v\OM\=\AN\,

:.M(0,a—t).

直線ON,CM的方程分別為：y=-xf-+^=1,

聯(lián)立消去t可得：y=-^x24-x,(0<x<a).

故答案為：y=—/x2+x,(0<x<a).

設(shè)N(a,t)(0WtWa),根據(jù)|OM|=\AN\,可得M(0,a-t).

直線ON,CM的方程分別為：y=：x,(+￡=1,聯(lián)立

消去t即可得出.

本題考查了直線方程、拋物線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

16.答案：45°

二ZB141cl為異面直線4B與46所成的角，且NBi&G=45°,

.??異面宜線4B與4G所成的角大小為45。，

故答案為：45°.

可連接4G，從而可看出NB14G為異面直線4B與41cl所成的角，并且該角顯然為45。.

本題考查了異面直線所成角的定義及求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：因為=不二=—1，

故所求直線的斜率為1,

所求直線方程y—5=%—1,即x—y+4=0

解析：先求出4B的斜率，然后根據(jù)直線垂直的條件可求所求直線的斜率，進(jìn)而可求直線方程.

本題主要考查了直線垂直的條件及直線方程的點斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

18.答案：（I）易知直線I的截距不能為0,

令“0,y=一士，令y=0,x=

（口）圓心GJ）到直線I的距離d=號+產(chǎn)*=々

22y/a2+（2-a）2V5

整理,得而三片"。？-2a-8=0na=4或a=-2；

解析：（I）分另I令x=0,y=0,得到截距，解方程即可；

（II）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.

本題考查截距的知識，直線與圓相切對應(yīng)的等量關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

19.答案：（本題滿分12分）

解：（1）設(shè)熊貓居室的寬為％（單位m）,由于可供建造圍墻的材料總長是30小

兩間熊貓居室的長為30-3x（單位rn）...（1分）

所以兩間熊貓居室的面積y=%（30-3%）...（3分）

又備>-°3%>。得°<“<1°”5分）

于是y=-3x2+30x,（0<x<10）為所求…（6分）

（2）又（l）y=-3x2+30x=-3（x-5）2+75二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸x=5...（8分）

且x6（0,10）,當(dāng)x=5時，所建造的熊貓居室面積最大，...（10分）

使熊貓居室的寬5m,兩間居室的長為157n時所建造的熊貓居室面枳最大；

其中每間熊貓居室的最大面積為當(dāng)加2...（12分）

解析：（1）設(shè)熊貓居室的寬為x,則兩間熊貓居室的長為30-3x,進(jìn)而可得兩間熊貓居室的面積y的

表達(dá)式；

（2）由（1）中所得解析式及自變量x的取值范圍，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)最大值及最大值

點.

本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵.

20.答案：（1）證明：取BC中點M,連接貝lj74

???Bi在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點

B[MJ?面4BC,

?1,B]Mu面BBiGC

.?.面BBiGC，面ABC

vBC=?BB1C1Cn面力BC,AC1BC

■■AC1面BBiQC

???ACu面4CC14

.?.面acGai面Bcc/i

(2)解：設(shè)點B到平面B1C4的距離為八，

=KBI-ABC，

(|x2x3)/i=|(|x2x2)x2V2

.-.h=^

3

即點B到平面BO的距離為警

解析：(1)取BC中點M,連接81M,則當(dāng)Ml面ABC,從而面88道母_1_面48。，進(jìn)一步可得4cl面

BBiGC,從而可證面ACGa_L面BCC/i；

(2)利用力-B1c4=^Bi-ABC'可求點B到平面B1CA的距離.

本題考查面面垂直，考查點到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線面、面面垂直的判定與性質(zhì)，正確運

用三棱錐的體積公式.

21.答案：解：由鼠2_丫2=1，

消去y得：(a?-3)x2+2abx+Z?2+1=0.

???直線與雙曲線交于4、B兩點，

*2—340,

"(△>0

設(shè)4(x"i),B(