中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)25矩形含解析-初中

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)25矩形

一.選擇題（共6小題）

1.（2018?遵義）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF〃BC,分別交

AB,CD于E、F,連接PB、PD.若AE=2,PF=8.則圖中陰影部分的面積為（)

A.10B.12C.16D.18

【分析】想辦法證明解答即可.

【解答】解：作PMLAD于M,交BC于N.

則有四邊形AEPM,四邊形DFPM,四邊形CFPN,四邊形BEPN都是矩形,

=

SAADC=S△ABC，SAAMPSAAEP，SAPBE=SAPBX，S/^PFD二S^PDM，SAPFC=SAPCN，

*'?S△WT=SAI>BE=-2X8-8,

???s陰=8+8=16,

故選：c.

2.（2018?棗莊）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE±BD,垂足為F,則tan

D.李

【分析】證明△BEFS/^DAF,得出EF=&F,EF=&E,由矩形的對(duì)稱性得:AE=DE,得出EF=LE,

23

設(shè)EF=x,則DE=3x,由勾股定理求出0尸=后涔￡諾2揚(yáng)，再由三角函數(shù)定義即可得出答

案.

【解答】解：；四邊形ABCI）是矩形，

,.AD=BC,AD〃BC,

.?點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),

?.BE=ZC=LD,

22

,.△BEF^ADAF,

?EF二BE_1

"AF=AD~2'

?.EF=LF,

2

,.EF=^AE,

.,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),

?.由矩形的對(duì)稱性得：AE=DE,

設(shè)EF=x,則DE=3x,

DF=VDE2-EF2=2V2X-

-EFxV2

tanZBDE=---匚Cr---；

DF2V2x4

故選：A.

3.（2018?威海）矩形ABCD與CEFG,如圖放置，點(diǎn)B,C,E共線，點(diǎn)C,D,G共線，連接

AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=()

【分析】延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P,先證△APH絲AFGH得AP=GF=LGH=PH寺G,再利用勾股定

理求得PG=&,從而得出答案.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)P,

?；四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

；.AD〃GF,

；./GFH=/PAH,

又是AF的中點(diǎn)，

；.AH=FH,

在aAPH和△FGH中，

'NPAH=NGFH

AH=FH，

./AHP=NFHG

.,.△APH^AFGH(ASA),

.'.AP=GF=1,GH=PH=』G,

2

r.PD=AD-AP=l,

：CG=2、CD=1,

；.DG=1,

貝ljGH=/PG=1X{pD2+DG占亨'

故選：C.

4.（2018?杭州）如圖，已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），設(shè)NPAD=h,NPBA=9>

ZPCB=03,ZPDC=0?若/APB=80°,ZCPD=50°，則（）

A.(9,+64)-(e2+03)=30°B.(92+64)-(e,+e3)=40°

C.(口+。2)-(必+3)=70°D.(0,+e2)+(e3+e,)=180°

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可得NABC=%+80°-a,Z

BCD=03+130°-0?,再根據(jù)矩形ABCD中，ZABC+ZBCD=180°,即可得到(。計(jì)。。-

(02+e3)=30°.

【解答】解：；AD〃BC,ZAPB=80°,

/.ZCBP=ZAPB-NDAP=80°-?！?/p>

AZABC=02+800-0,,

又?.,△CDP中，ZDCP=180°-ZCPD-ZCDP=130°-64,

.".ZBCD=e3+130°-e4,

又?.?矩形ABCD中，ZABC+ZBCD=180°,

02+80°-01+03+130°-04=180°,

即(0i+3)-(02+83)=30°,

故選：A.

5.（2018?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0ABC的兩邊0A,0C分別在x軸和y

軸上，并且0A=5,0C=3.若把矩形0ABC繞著點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONG三邊關(guān)系，再利用勾股定理得出答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GNLx軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)Ai作軸于點(diǎn)M,

由題意可得：ZClN0=ZAlM0=90°,

N1=N2=N3,

則△AQMsaOGN,

VOA=5,OC=3,

；.OAi=5,A,M=3,

；.OM=4,

.,.設(shè)NO=3x,則NG=4x,0C,=3,

則(3x)2+(4x)2=9,

解得：x=±號(hào)(負(fù)數(shù)舍去)，

5

則NO=《q，NC1=1—9,

55

912、

故點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為:丁?。?/p>

故選：A.

6.（2018?上海）己知平行四邊形ABCD,下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的

是（）

A.NA=NBB.NA=NCC.AC=BDD.AB1BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以NA=NB=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形

為矩形，正確；

B、/A=/C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；

C、AC=BD,對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確；

D、AB±BC,所以NB=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確：

故選：B.

二.填空題（共6小題）

7.（2018?金華）如圖2,小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中

的三角形頂點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC上,三角形①的邊GD在邊AD上，則繪的值是.

s1a2

【分析】設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為X,根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出AB,BC,進(jìn)一步

求出黑的值.

【解答】解：設(shè)七巧板的邊長(zhǎng)為x,則

AB」x+返x,

22

BC--~-x+x+--~x—2x,

22

AB_-^-x+-^-x_V2+l

本.T

故答案為：返生.

4

8.（2018?達(dá)州）如圖,平面直角坐標(biāo)系中，矩形0ABC的頂點(diǎn)A（-6,0）,C（0,2聰）.將

矩形0ABC繞點(diǎn)0順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在0B上的點(diǎn)Ai處，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi的

坐標(biāo)為（-2遙，6）

【分析】連接0B”作B|HJ_0A于H,證明aAOB嶺△"|(),得到BH=0A=6,0H=AB=2j&,得

到答案.

【解答】解：連接0B”作RHLOA于H,

由題意得,0A=6,AB=0C-2匾,

貝ijtanNBOA=出一遮,

OA3

AZB0A=30°,

.,./0BA=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZB,0B=ZB0A=30°,

AZB10H=60",

在z^AOB和△HBQ,

,ZBjHO=ZBAO

.ZBjOH=ZABO,

OB^OB

...AAOB^AHB.O,

；.B|H=0A=6,OH=AB=2?,

點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為（-2JQ,6）,

9.（2018?上海）對(duì)于一個(gè)位置確定的圖形，如果它的所有點(diǎn)都在一個(gè)水平放置的矩形內(nèi)部

或邊上，且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）,那么這個(gè)矩形水平方向

的邊長(zhǎng)稱為該圖形的寬，鉛錘方向的邊長(zhǎng)稱為該矩形的高.如圖2,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,

【分析】先根據(jù)要求畫(huà)圖，設(shè)矩形的寬AF=x,則CF=*,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】解：在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC,

9

設(shè)AF=x,則CF=gs,

3

在RtZiCBF中，CB=1,BF=x-1,

由勾股定理得：BC2=BF2+CF2,

l2=（x-l）2+（名）I

解得：X=”或0（舍），

13

即它的寬的值是竺，

13

故答案為：

13

10.（2018?連云港）如圖，E、F,G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連

接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG1GF,AC=遍，貝UAB的長(zhǎng)為2.

【分析】如圖，連接BD.由△ADGs\GCF,設(shè)CF=BF=a,CG=DG=b,可得笑一呼，推出紅=旦,

ZGCCFba

可得b=&a,在RtZXGCF中，利用勾股定理求出b,即可解決問(wèn)題；

【解答】解：如圖，連接BD.

?.?四邊形ABCD是矩形,

/.ZAI)C=ZDCB=90°,AC=BD=泥,

.*CG=DG,CF=FB,

22

VAG1FG,

AZAGF=90°,

AZDAG+ZAGD=90°,ZAGD+ZCGF=90°,

???NDAG二NCGF,

/.△ADG^AGCF,設(shè)CF=BF二a,CG=DG二b,

.AD_DG

，，GC-CF，

,2ab

ba'

/.b2=2a2,

Va>0.b>0,

?,-b=V2a，

在RSGCF中，3a2=—,

AAB=2b=2.

故答案為2.

11.（2018?株洲）如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交點(diǎn)0,AC=10,P、Q分別為A0、

AD的中點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)度為2.5.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=10,BO=DO寺D=5,再根據(jù)三角形中位線定理可得

PQ=-1t>0=2.5.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是矩形，

.".AC=BD=10,BO=DO=^BD,

2

，0D=ZD=5,

2

?.?點(diǎn)P、Q是AO,AD的中點(diǎn),

；.PQ是△AOD的中位線，

.,.PQ=L)O=2.5.

2

故答案為:2.5.

12.（2018?嘉興）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,點(diǎn)E在CD上，DE=1,點(diǎn)F是邊AB

上一動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊作Rt^EFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好

有兩個(gè)，則AF的值是?；?<AF<?或4.

O

【分析】先根據(jù)圓周角定理確定點(diǎn)P在以EF為直徑的圓。上，且是與矩形ABCD的交點(diǎn)，先

確定特殊點(diǎn)時(shí)AF的長(zhǎng)，當(dāng)F與A和B重合時(shí)，都有兩個(gè)直角三角形.符合條件，即AF=O

或4,再找。。與AD和BC相切時(shí)AF的長(zhǎng)，此時(shí)。0與矩形邊各有一個(gè)交點(diǎn)或三個(gè)交點(diǎn)，在

之間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中符合條件，確定AF的取值.

【解答】解：:△EFP是直角三角形，且點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上，

；.P是以EF為直徑的圓0與矩形ABCD的交點(diǎn)，

①當(dāng)AF=O時(shí)，如圖1,此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè)，一個(gè)與D重合，一個(gè)交在邊AB上；

②當(dāng)。。與AD相切時(shí)，設(shè)與AD邊的切點(diǎn)為P,如圖2,

此時(shí)4EFP是直角三角形，點(diǎn)P只有一個(gè)，

當(dāng)。。與BC相切時(shí)，如圖4,連接0P,此時(shí)構(gòu)成三個(gè)直角三角形，

則0P1BC,設(shè)AF=x,則BF=P￡=4-x,EP,=x-1,

；OP〃EC,OE=OF,

1Y-1

JOG當(dāng)

22

OO的半徑為：0F=0P=&g（4-x）,

在Rt/XOGF中，由勾股定理得：OF^Od+GF?,

，（?4一）2二（導(dǎo)）2+J,

解得：x=-^-,

J

.?.當(dāng)1<AF<?時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，

③當(dāng)AF=4,即F與B重合時(shí)，這樣的直角三角形恰好有兩個(gè)，如圖5,

圖4圖5

綜上所述，則AF的值是：0或1VAF〈手或4.

三.解答題（共5小題）

13.（2018?張家界）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE=AD,DF±AE,垂足為F.

（1）求證.DF=AB；

（2）若NFDC=30°，且AB=4,求AD.

【分析】(1)利用“AAS”證△ADFg^EAB即可得;

(2)由NADF+NFDO90。、ZDAF+ZADF=90°得NFDC=NDAF=30°,據(jù)此知AD=2DF,根據(jù)

DF=AB可得答案.

【解答】證明：(1)在矩形ABCD中，???AD〃BC,

???ZAEB=ZDAF,

XVDF1AE,

AZDFA=90°,

AZDFA=ZB,

又二AD=EA,

.'.△ADF^AEAB,

???DF=AB.

(2)VZADF+ZFDC=90°,ZDAF+ZADF=90°,

.\ZFDC=ZDAF=30o,

AAD=2DF,

VDF=AB,

AAD=2AB=8.

14.(2018?連云港)如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE,BA交于點(diǎn)F,連接AC,

DF.

(1)求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)CF平分NBCD時(shí)，寫(xiě)出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，即可判定△FAEg^CDE,即可得到CD=FA,再根據(jù)CD〃AF,

即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）先判定4CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE,再根據(jù)E是AD的中點(diǎn)，可得AD=2CD,

依據(jù)AD=BC,即可得到BC=2CD.

【解答】解：（1）?..四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,

.,,ZFAE=ZCDE,

：E是AD的中點(diǎn),

；.AE=DE,

XVZFEA=ZCED,

AAFAE^ACDE,

；.CD=FA,

XVCD/7AF,

四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）BC=2CD.

證明：：CF平分/BCD,

.,.ZDCE=45°,

VZCDE=90",

...△CDE是等腰直角三角形，

；.CD=DE,

是AD的中點(diǎn)，

.,.AD=2CD,

VAD=BC,

BC=2CD.

15.如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連接DE、CE.

（1）求證：ZSADE四4BCE；

（2）若AB=6,AD=4,求4CDE的周長(zhǎng).

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；

（2）由（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和勾股定理求得線段DE的長(zhǎng)度，結(jié)合三角形的周

長(zhǎng)公式解答.

【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC,ZA=ZB=90°.

：E是AB的中點(diǎn),

.".AE=BE.

在4ADE與ABCE中，

'AD=BC

<NA=/B，

,AE=BE

AAADE^ABCE（SAS）；

(2)由(1)知：AADE^ABCE,則DE=EC.

在直角4ADE中，AE=4,AE=—AB=3,

2

由勾股定理知，

...ACDE的周長(zhǎng)=2DE+AD=2DE+AB=2X5+6=16.

16.（2018?沈陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行

線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形OCED是矩形：

（2）若CE=1,DE=2,ABCI）的面積是4.

【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內(nèi)

角為90度即可;

（2）由菱形的對(duì)角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是菱形，

；.ACJ_BD,

AZC0D=90°.

VCE^OD,DE〃OC,

...四邊形OCED是平行四邊形，

又NC0D=90°,

平行四邊形OCED是矩形；

（2）由（1）知，平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1,DE=0C=2.

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AC=20C=4,BD=20D=2,

菱形ABCD的面積為：—AC?BD=—X4X2=4.

22

故答案是：4.

17.（2018?玉林）如圖，在。ABCD中，DOAD,四個(gè)角的平分線AE,DE,BF,CF的交點(diǎn)分

別是E,F,過(guò)點(diǎn)E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別是M,

N與M',N',連接EF.

(1)求證：四邊形EFNM是矩形;

【分析】(1)要說(shuō)明四邊形EFNM是矩形，有MELCD.FNLCD條件，還缺ME=FN.過(guò)點(diǎn)E、

F分別作AI)、BC的垂線，垂足分別是G、H.利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得

結(jié)論.

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)，證明直角ADEA,并求出AD的長(zhǎng).利用全等證明4GEA絲ACNF,

△DME畛ZkDGE從而得到DM=DG,AG=CN,再利用線段的和差關(guān)系，求出MN的長(zhǎng)得結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H.

VZ3=Z4,N1=N2