2023~2024學(xué)年5-3-2 命題、定理、證明 教案1

5.3.2命題、定理、證明教案一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課主要學(xué)習(xí)命題的概念，命題的分類(lèi):真命題和假命題，定理和證明的概念.學(xué)生以往在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)過(guò)的結(jié)論都是命題，在這里學(xué)習(xí)命題的定義及命題的結(jié)構(gòu)為學(xué)習(xí)推理證明奠定基礎(chǔ),分清命題的題設(shè)和結(jié)論是進(jìn)行幾何證明的起點(diǎn)，定理、證明都是幾何學(xué)習(xí)中的基本概念，證明中的每一步推理都要有依據(jù)，不能想當(dāng)然，這些根據(jù)可以是已知條件、也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力，為以后的學(xué)習(xí)做鋪墊.二、教學(xué)目標(biāo)1.理解命題，定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.2.會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用.三、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解命題，定理及證明的概念.難點(diǎn)：會(huì)判斷一個(gè)命題的真假，舉出反例.四、教學(xué)方法啟發(fā)法、演示法、討論法、練習(xí)法.五、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入下列語(yǔ)句在表述形式上，有什么共同特點(diǎn)？（1）對(duì)頂角相等；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；（3）同位角相等；（4）兩點(diǎn)之間線段最短；（5）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．發(fā)現(xiàn)：這些語(yǔ)句都是對(duì)一件事情作出了判斷.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提出問(wèn)題，觀察思考，教師引導(dǎo)講解，讓學(xué)生了解命題的概念，知道命題是對(duì)事物作出判斷的陳述句.（二）新課講授1.命題的定義與結(jié)構(gòu)（1）命題的概念通過(guò)對(duì)以上問(wèn)題回答，進(jìn)行總結(jié)命題的概念.像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.注意：只要對(duì)一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題.如：相等的角是對(duì)頂角.2.如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.如：畫(huà)線段AB=CD.例1判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題，哪個(gè)不是命題？并說(shuō)明理由：（1）對(duì)頂角相等嗎？（2）畫(huà)一條線段AB=2cm;（3）兩條直線平行，同位角相等；（4）相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角.解：（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.理由如下：（1）是問(wèn)句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題.設(shè)計(jì)意圖：師生共同總結(jié)命題概念，并強(qiáng)調(diào)定義中需要注意的問(wèn)題.通過(guò)題目的練習(xí)，讓學(xué)生加深對(duì)命題定義的理解，讓學(xué)生理解只要對(duì)事情作出判斷，無(wú)論對(duì)錯(cuò)都是命題.（2）命題的構(gòu)成合作交流：教師展示一組命題，學(xué)生觀察思考，回答問(wèn)題.觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？（1）如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等；（3）如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是3.發(fā)現(xiàn)：都是“如果……那么……”的形式總結(jié)：命題一般都可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.1.“如果”后接的部分是題設(shè),2.“那么”后接的部分是結(jié)論.例命題：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正.改寫(xiě)為：如果同號(hào)兩數(shù)相乘，那么它們的積是正數(shù).注意：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫(xiě)的句子要完整，語(yǔ)句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更清楚.命題的組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)退出的事項(xiàng).例命題：兩直線平行，同位角相等.兩直線平行是題設(shè)（條件），同位角相等是結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)觀察思考，了解命題的構(gòu)成，能歸納出命題是由兩部分組成的，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析總結(jié)問(wèn)題的能力.練一練把下列命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式.并指出它的題設(shè)和結(jié)論.1.對(duì)頂角相等；2.內(nèi)錯(cuò)角相等；3.兩直線被第三條直線所截，同位角相等；4.同平行于同一條直線的兩直線平行；5.兩邊分別平行的兩個(gè)角相等.解：1.如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；2.如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；3.如果兩條直線被第三條直線所截，那么同位角相等；4.如果兩條直線都同平行于一條直線，那么這兩直線平行；5.如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.設(shè)計(jì)意圖：將命題改寫(xiě)成“如果”，“那么”的形式是為準(zhǔn)確找出命題的題設(shè)和結(jié)論，是為進(jìn)一步證明奠定基礎(chǔ)，所以這一環(huán)節(jié)很重要.2.真命題與假命題觀察下列命題,你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么不同的特點(diǎn)嗎？命題1：“如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除”命題2：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”發(fā)現(xiàn)：命題1是一個(gè)正確的命題;命題2是一個(gè)錯(cuò)誤的命題.總結(jié)定義：正確的命題，就是說(shuō)，如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題，就是說(shuō)，題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫假命題.練一練判斷下列命題的真假.真的用“√”，假的用“×表示.（1）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)（×）（2）一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角（×）（3）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（×）（4）兩點(diǎn)可以確定一條直線（√）（5）兩點(diǎn)之間線段最短（√）（6）同角的余角相等（√）（7）互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直（√）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生理解只要是對(duì)事情做出判斷的句子都是命題，這個(gè)判斷可以是正確的，也可以說(shuō)是錯(cuò)誤的，所以命題分真命題和假命題，并能準(zhǔn)確判斷命題的真假.3.證明與舉反例（1）公理的概念數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.直線公理：兩點(diǎn)確定一條直線.線段公理：兩點(diǎn)間線段最短.平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.平行線性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等.平行線判定公理：同位角相等，兩直線平行.（2）定理的概念有些命題是基本事實(shí)，還有些命題它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).學(xué)過(guò)的定理：1.補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.2.余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.3.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.4.垂線的性質(zhì)：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.（3）證明的概念在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明.注意：證明的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.abc12例2已知：b∥c，abc12求證：a⊥c．證明：∵a⊥b（已知）∴∠1=90°（垂直的定義）又b∥c（已知）∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）∴a⊥c（垂直的定義）.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生準(zhǔn)確理解公理、定理、證明的概念，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的幾何語(yǔ)言表述出證明過(guò)程，體會(huì)這種經(jīng)過(guò)推理論證判斷命題正確的過(guò)程就是證明.））））12AOCB思考：如何判定一個(gè)命題是假命題呢？例如，要判定命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角.確定一個(gè)命題是假命題的方法：只要舉出一個(gè)例子（反例）：它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例知道可以通過(guò)舉反例的方式，來(lái)判定一個(gè)命題是假命題.（三）課堂練習(xí)1.下列語(yǔ)句中，不是命題的是(D)A.兩點(diǎn)之間線段最短B.對(duì)頂角相等C.不是對(duì)頂角不相等D.過(guò)直線AB外一點(diǎn)P作直線AB的垂線2.下列命題中，是真命題的是(D)A.若a·b＞0，則a＞0，b＞0B.若a·b＜0，則a＜0，b＜0C.若a·b＝0，則a＝0且b＝0D.若a·b＝0，則a＝0或b＝03.舉反例說(shuō)明下列命題是假命題．(1)若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；(2)若ab＝0，則a＋b＝0.解：(1)兩條直線平行形成的內(nèi)錯(cuò)角，這兩個(gè)角不是對(duì)頂角，但是它們相等；(2)當(dāng)a＝5，b＝0時(shí)，ab＝0，但a＋b≠0.MP4.如圖，已知AB∥CD，直線AB，CD被直線MN所截，交點(diǎn)分別為P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，MPAB求證：PG∥HQ.ABGH證明：∵AB∥CD(已知)，GHQDC∴∠BPQ＝∠CQP(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)．QDC又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，N∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分線的定義)，N∴∠GPQ＝∠HQP(等量代換)，∴PG∥HQ(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．設(shè)計(jì)意圖：緊扣本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地掌握本節(jié)所學(xué)內(nèi)容.（四）課堂小結(jié)學(xué)生自己總結(jié)反思，進(jìn)行交流，讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@.1.命題的定義判斷一件事情的句子.2.命題的組成題設(shè)和結(jié)論.3命題的分類(lèi)真命題和假命題，真命題有公理（不需證明）和定理（由推理證實(shí)）；假命題需要舉一個(gè)反例說(shuō)明.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的重難點(diǎn).（五）作業(yè)布置完成配套作業(yè)六、板書(shū)設(shè)計(jì)5.3.2命題、定理、證明1.命題定義、構(gòu)成和分類(lèi)判斷一件事情