高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分

高數(shù)微積分第六章多元函數(shù)微積分§6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數(shù)概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性第2頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：

設(shè)P0(x0

y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)

是某一正數(shù)

點(diǎn)P0的

鄰域記為U(P0

)

它是如下點(diǎn)集鄰域

如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑

則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域

點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域記作下頁(yè)第3頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天下頁(yè)

任意一點(diǎn)P

R2與任意一個(gè)點(diǎn)集E

R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種

點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系

內(nèi)點(diǎn)

如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱(chēng)P為E的內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)

如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱(chēng)P為E的外點(diǎn)

邊界點(diǎn)

如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)

也有不屬于E的點(diǎn)

則稱(chēng)P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)

邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)

E的邊界點(diǎn)的全體

稱(chēng)為E的邊界

記作

E

第4頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天開(kāi)集

如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱(chēng)E為開(kāi)集.下頁(yè)閉集如果點(diǎn)集的余集Ec為開(kāi)集

則稱(chēng)E為閉集

舉例

點(diǎn)集E

{(x

y)|1<x2

y2<2}是開(kāi)集也是開(kāi)區(qū)域

點(diǎn)集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}是閉集也是閉區(qū)域

點(diǎn)集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}既非開(kāi)集

也非閉集

區(qū)域(或開(kāi)區(qū)域)

連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域

閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱(chēng)為閉區(qū)域

第5頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天有界集

對(duì)于平面點(diǎn)集E

如果存在某一正數(shù)r

使得E

U(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)

則稱(chēng)E為有界點(diǎn)集

無(wú)界集

一個(gè)集合如果不是有界集

就稱(chēng)這集合為無(wú)界集

點(diǎn)集{(x

y)|x

y

0}是無(wú)界閉區(qū)域

點(diǎn)集{(x

y)|x

y

0}是無(wú)界開(kāi)區(qū)域

舉例

點(diǎn)集{(x

y)|1

x2

y2

4}是有界閉區(qū)域

下頁(yè)第6頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：二、二元函數(shù)概念下頁(yè)舉例二元函數(shù)的定義

設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集

稱(chēng)映射f

D

R為定義在D上的二元函數(shù)

通常記為z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域

x

y稱(chēng)為自變量

z稱(chēng)為因變量

函數(shù)值

與自變量x、y的一對(duì)值(x

y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值稱(chēng)為f在點(diǎn)(x

y)處的函數(shù)值

記作f(x

y)

即z

f(x

y)

值域

f(D)

{z|z

f(x

y)

(x

y)

D}

函數(shù)也可以用其它符號(hào)

如z

z(x

y)

z

g(x

y)等

第7頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天多元函數(shù)的定義域

函數(shù)z

ln(x

y)的定義域?yàn)?/p>

{(x

y)|x

y>0}

函數(shù)z

arcsin(x2

y2)的定義域?yàn)?/p>

{(x

y)|x2

y2

1}

舉例

下頁(yè)第8頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形點(diǎn)集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)

D}稱(chēng)為二元函數(shù)z

f(x,y)的圖形.

二元函數(shù)的圖形是一張曲面.

z=ax+by+c表示一張平面.舉例

方程x2+y2+z2

a2確定兩個(gè)二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2

a2}.首頁(yè)第9頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限.三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義

設(shè)二元函數(shù)f(P)

f(x

y)也記作下頁(yè)第10頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天下頁(yè)

例

設(shè)22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(?yxfyx.),(lim)0,0(),(?yxfyx=0第11頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天必須注意

(1)二重極限存在,

是指P以任何方式趨于P0時(shí),

函數(shù)都無(wú)限接近于A

.

(2)如果當(dāng)P以?xún)煞N不同方式趨于P0時(shí),

函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

提示討論下頁(yè)第12頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去.下頁(yè)第13頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)

必定在D上有界

且能取得它的最大值和最小值

多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2(介值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值

結(jié)束第14頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第15頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

類(lèi)似地,可定義函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義

若極限存在

則稱(chēng)此極限為函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

記作>>>第16頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

如果函數(shù)z

f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z

f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)數(shù)),記作偏導(dǎo)函數(shù)第17頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)>>>第18頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可.偏導(dǎo)函數(shù)第19頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例

求z

x2

3xy

y2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解

偏導(dǎo)函數(shù)第20頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解

例

例

求z

x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).

解

第21頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天證原結(jié)論成立．第22頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：１.２.求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解第23頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，

對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō),即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).第24頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).在點(diǎn)(0,0),有fx(0,0)

0,fy(0,0)

0,提示：當(dāng)點(diǎn)P(x

y)沿直線(xiàn)y

kx趨于點(diǎn)(0

0)時(shí)

有因此

函數(shù)f(x

y)在(0

0)的極限不存在

當(dāng)然也不連續(xù)

第25頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線(xiàn)z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線(xiàn)Tx對(duì)x軸的斜率.

是截線(xiàn)z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線(xiàn)Ty對(duì)y軸的斜率.第26頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截線(xiàn)z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線(xiàn)Tx對(duì)x軸的斜率.

是截線(xiàn)z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線(xiàn)Ty對(duì)y軸的斜率.第27頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)某產(chǎn)品的需求量偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義其中為該產(chǎn)品的價(jià)格，為消費(fèi)者收入。稱(chēng)需求對(duì)價(jià)格的偏彈性需求對(duì)收入的偏彈性第28頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中是由用品的成本）。偏導(dǎo)數(shù)分別稱(chēng)為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。個(gè)人力單位和個(gè)資本單位生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量（資本是機(jī)器、場(chǎng)地、生產(chǎn)工具和其它第29頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)z

f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù),則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z

f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).

函數(shù)z

f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù).

類(lèi)似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).第30頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解

此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的.

例

設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第31頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等

定理

解

例

設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第32頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證

例

第33頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證

例提示

第34頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證

例第35頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、全微分的定義二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用§6.4全微分上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)應(yīng)用

一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差第36頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分（perfectdifferential)第37頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天全增量(perfectincrement)的概念第38頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天全微分的定義其中A、B不依賴(lài)于

x、

y而僅與x、y有關(guān),則稱(chēng)函數(shù)z

f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微分,

而A

x

B

y稱(chēng)為函數(shù)z

f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)的全微分,

記作dz,

即

dz

A

x

B

y.

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,

那么稱(chēng)這函數(shù)在D內(nèi)可微分.

下頁(yè)

如果函數(shù)z

f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)的全增量

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)可表示為第39頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

這是因?yàn)?

如果z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)可微,則

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

A

x

B

y

o(r),因此函數(shù)z=f(x,

y)在點(diǎn)(x,

y)處連續(xù).下頁(yè)于是從而第40頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天可微分的必要條件>>>應(yīng)注意的問(wèn)題>>>下頁(yè)可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x

y)可微分

則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)

偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件

但不是充分條件

第41頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天可微分的充分條件

以上結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù).

下頁(yè)可微分的必要條件可微分與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x

y)可微分

則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

第42頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天疊加原理

按著習(xí)慣,

x、

y分別記作dx、dy,

并分別稱(chēng)為自變量的微分,這樣函數(shù)z=f(x,

y)的全微分可寫(xiě)作

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱(chēng)為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù),

例如u

f(x,

y,

z)的全微分為下頁(yè)第43頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例1

計(jì)算函數(shù)z

x2y

y2的全微分.

解

所以

例2

計(jì)算函數(shù)z

exy在點(diǎn)(2,1)處的全微分.

解

所以dz

2xydx

(x2

2y)dy.dz

e2dx

2e2dy.

下頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)榈?4頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天解第45頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解

首頁(yè)

例3

因?yàn)樗缘?6頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)解:

類(lèi)似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第47頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用下頁(yè)

當(dāng)函數(shù)z

f(x,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處可微，那么函數(shù)L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)

fy(x,

y)(y-y0),

就稱(chēng)為函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的線(xiàn)性化.近似式

f(x,

y)

L(x,y)

稱(chēng)為函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性近似.

例求函數(shù)在點(diǎn)(3,2)處的線(xiàn)性化.第48頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

當(dāng)函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù),并且|

x|,|

y|都較小時(shí),有近似等式

z

dz

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y,即f(x

x,y

y)

f(x,y)

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y.

我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算.第49頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例4

有一圓柱體,

受壓后發(fā)生形變,

它的半徑由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu減少到99cm.

求此圓柱體體積變化的近似值.

解

設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V,

則有V

r2h.

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200

cm3.

2

20

100

0.05

202

(

1)

V

dV

2

rh

r

r2

h

200

(cm3),

Vr

r

Vh

h下頁(yè)f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,

已知r

20,

h

100,

r

0.05,

h

1,根據(jù)近似公式,

有第50頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5

計(jì)算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以

x

y

yx

y

1

x

x

ylnx

y,

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y

1.08.

12

2

12

1

0.04

12

ln1

0.02

解

設(shè)函數(shù)f(x,

y)

xy.

顯然,

要計(jì)算的值就是函數(shù)在

x

1.04,

y

2.02時(shí)的函數(shù)值f(1.04,2.02).

結(jié)束f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,因?yàn)?/p>

取x

1,

y

2,

x

0.04,

y

0.02.第51頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第52頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天第53頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題答案第54頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天第五節(jié)、復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則第55頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)情形第56頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,上述定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為全導(dǎo)數(shù).第57頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理22.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)情形第58頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第59頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第60頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

則

例.

解:

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]

eusinv

1

eucosv

y

eusinv

exy[xsin(x

y)

cos(x

y)]

1

eucosv

x

設(shè)z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

則第61頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元又有多元函數(shù)情形第62頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天特殊地即其中兩者的區(qū)別區(qū)別類(lèi)似第63頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:第64頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天例.解:第65頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:

令則第66頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分第67頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天第68頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.例.利用全微分形式不變性解例1.解:所以第69頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、隱函數(shù)微分法隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第70頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例.

驗(yàn)證方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x

0的值.

解:

設(shè)F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.隱函數(shù)存在定理:則

設(shè)函數(shù)F(x

y)在點(diǎn)P(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

F(x0

y0)

0

Fy(x0

y0)

0

則方程F(x

y)

0在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y

f(x)

它滿(mǎn)足條件y0

f(x0).

由隱函數(shù)存在定理,方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x).第71頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解:

設(shè)F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x).提示:

由方程F(x,y)

0確定的隱函數(shù)y

f(x)的導(dǎo)數(shù)為

例.

驗(yàn)證方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x

0的值.第72頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解:

設(shè)F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.則由隱函數(shù)存在定理,方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x).

例.

驗(yàn)證方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x

0時(shí)y

1的隱函數(shù)y

f(x),并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x

0的值.第73頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天隱函數(shù)存在定理>>>

設(shè)函數(shù)F(x

y

z)在點(diǎn)P(x0

y0

z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)

且F(x0

y0

z0)

0

Fz(x0

y0

z0)

0

則方程F(x

y

z)

0在點(diǎn)(x0

y0

z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z

f(x

y)

它滿(mǎn)足條件z0

f(x0

y0)

并有第74頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:令則第75頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,3.隱函數(shù)微分法.第76頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)題第77頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法§6.6多元函數(shù)的極值及其求法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第78頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁(yè)極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)

第79頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

例

函數(shù)z

3x2

4y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.提示:

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)

(0,0)時(shí),z

0.

因此z=0是函數(shù)的極小值.下頁(yè)第80頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

提示:

例

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)

(0,0)時(shí),z

0.因此z=0是函數(shù)的極大值.下頁(yè)第81頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天提示:

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).

例

函數(shù)z

xy在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.下頁(yè)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

第82頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天下頁(yè)定理1(取得極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)

且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

類(lèi)似地可推得

如果三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有偏導(dǎo)數(shù)

則它在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

>>>第83頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

凡是能使fx(x

y)

0

fy(x

y)

0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0

y0)稱(chēng)為函數(shù)z

f(x

y)的駐點(diǎn)

駐點(diǎn)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)

且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

下頁(yè)討論

駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系怎樣？提示

具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)

函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

>>>定理1(取得極值的必要條件)例如,有駐點(diǎn)(0,0),

但在該點(diǎn)不取極值.第84頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天下頁(yè)定理2(取得極值的充分條件)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

又fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令fxx(x0

y0)

A

fxy(x0

y0)

B

fyy(x0

y0)

C

則f(x

y)在(x0

y0)處是否取得極值的條件如下

(1)AC

B2>0時(shí)具有極值

且當(dāng)A<0時(shí)有極大值

當(dāng)A>0時(shí)有極小值

(2)AC

B2<0時(shí)沒(méi)有極值

(3)AC

B2

0時(shí)可能有極值

也可能沒(méi)有極值

第85頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天極值的求法第一步解方程組fx(x

y)

0

fy(x

y)

0

求得一切實(shí)數(shù)解

即可得一切駐點(diǎn).

第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0

y0)

求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)

fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符號(hào)

判定f(x0

y0)是否是極值、是極大值還是極小值

函數(shù)f(x

y)在駐點(diǎn)處如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數(shù)在駐點(diǎn)處取得極值

如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數(shù)在駐點(diǎn)處不取得極值

在極值點(diǎn)處

當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值

當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值

下頁(yè)第86頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天例求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第87頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第88頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第89頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)注意的問(wèn)題不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

因此,在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.下頁(yè)但(0

0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)

第90頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天最大值和最小值問(wèn)題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.討論:

比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示:

不能,最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得,而極值是在區(qū)域的內(nèi)部求得的.下頁(yè)第91頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部,也可能在D的邊界上.最大值和最小值的求法

將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).下頁(yè)最大值和最小值問(wèn)題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第92頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天下頁(yè)

例某廠(chǎng)要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱

問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)

才能使用料最省

解

根據(jù)題意可知

水箱所用材料面積的最小值一定存在

并在開(kāi)區(qū)域D

{(x

y)|x>0

y>0}內(nèi)取得又因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)(2

2)

所以此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)

設(shè)水箱的長(zhǎng)為xm

寬為ym

則所用材料的面積為水箱所用的材料最省

第93頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值.

上述問(wèn)題就是求函數(shù)V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值問(wèn)題,這是一個(gè)條件極值問(wèn)題.

例如,求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.

設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x,y,z,則體積V

xyz.

又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿(mǎn)足附加條件2(xy

yz

xz)

a2.下頁(yè)第94頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天求條件極值的方法(1)將條件極值化為無(wú)條件極值

例如,求V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值.

有時(shí)可以把條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題.這就把求條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求無(wú)條件極值問(wèn)題.下頁(yè)二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值.第95頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)用拉格朗日乘數(shù)法

在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值,需要用一種求條件極值的專(zhuān)用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.下頁(yè)求條件極值的方法(1)將條件極值化為無(wú)條件極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值.第96頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘數(shù)法

要找函數(shù)z

f(x,y)在附加條件j(x,y)

0下的可能極值點(diǎn),可以先作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))F(x,y)

f(x,y)

lj(x,y),其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子).

然后解方程組

上述方程組的解(x,y)就是所要求的可能的極值點(diǎn),

對(duì)于所求得的可能的極值點(diǎn)還需判斷是否是極值點(diǎn),在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定.下頁(yè)第97頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例

求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.

設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)x,y,z,則問(wèn)題就是求函數(shù)V

xyz在條件2(xy

yz

xz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函數(shù)解方程組F(x,y,z)

xyz

l(2xy

2yz

2xz

a2),結(jié)束

因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在

所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得

此時(shí)

解

第98頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)1.函數(shù)的極值問(wèn)題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法第99頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問(wèn)題在條件求駐點(diǎn).第100頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天解按題意，即求函數(shù)在條件第101頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天第102頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天解由第103頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天第104頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)§6.7二重積分的概念與性質(zhì)第105頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積

設(shè)一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D

它的側(cè)面是以D的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)而母線(xiàn)平行于z軸的柱面

它的頂是曲面z

f(x

y)

這里f(x

y)

0且在D上連續(xù)

這種立體叫做曲頂柱體

第106頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天提示

相應(yīng)地把曲頂柱體分成了n個(gè)小曲頂柱體.提示

其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積Vi

Vi

f(

i

i)

i

用小平頂柱體的體積之和近似代替整個(gè)曲頂柱體體積

將分割加細(xì)

取極限

求得曲頂柱體體積的精確值

si(xi,hi)一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積用曲線(xiàn)網(wǎng)把D分成小區(qū)域

1

2

n

第107頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天二重積分的定義

設(shè)f(x

y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)

將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

1

2

n

其中

i表示第i個(gè)小閉區(qū)域

也表示它的面積

在每個(gè)小閉區(qū)域

i上任取一點(diǎn)(

i

i)

作和

設(shè)

為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

如果當(dāng)

0時(shí)這和式的極限總存在

則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x

y)在閉區(qū)域D上的二重積分

記為第108頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天———積分號(hào)

二重積分的定義積分中各部分的名稱(chēng)

f(x

y)——被積函數(shù)

f(x

y)d—被積表達(dá)式

d———面積元素

x

y———積分變量

D————積分區(qū)域

——積分和

第109頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義:當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．第110頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫(xiě)為D則面積元素(arealelement)為第111頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)

則性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線(xiàn)分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則第112頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天注

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)

則

如果閉區(qū)域D被有限條曲線(xiàn)分為有限個(gè)部分閉區(qū)域

則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和

性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線(xiàn)分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則第113頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)

則性質(zhì)2

如果閉區(qū)域D被一條曲線(xiàn)分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2

則性質(zhì)3第114頁(yè),共143頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

如果在D上

f(x

y)

g(x

y)

則有不等式

特殊地有性質(zhì)5

設(shè)M、m分別是f(x

y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值

為D的面積

則有性質(zhì)6(二重積分的中值定理)

設(shè)函數(shù)f(x