山西省臨汾市臨鋼中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省臨汾市臨鋼中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，集合，那么

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知曲線和曲線為銳角），則C1與C2的位置關(guān)系為

（

）

A．相交

B．相切

C．相

D．以上情況均有可能

參考答案：A略3.已知函數(shù)則函數(shù)的最大值是

A.4

B.3

C.5

D.參考答案：【答案解析】B

解析：，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值3，所以選B.【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，再配方求得最值.4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是__________.A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.假如北京大學(xué)給中山市某三所重點(diǎn)中學(xué)7個(gè)自主招生的推薦名額，則每所中學(xué)至少分到一個(gè)名額的方法數(shù)為(

) A．10 B．15 C．21 D．30參考答案：B考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)題意，分析可得，原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將7個(gè)名額排成一排，在排除兩端的6個(gè)空位中，插入擋板，將其分為3組，對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校的組合問(wèn)題，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案．解答： 解：根據(jù)題意，要求將7個(gè)名額分給3給學(xué)校，且每個(gè)學(xué)校至少分到一個(gè)名額，可以轉(zhuǎn)化為將7個(gè)名額排成一排，在排除兩端的6個(gè)空位中，插入擋板，將其分為3組，對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校的組合問(wèn)題；則不同的分法有C62=15種；故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題，用插空法解題．6.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．且c=4，B=45°，面積S=2，則b等于（）A．5B．C．D．25參考答案：A略7.已知向量，，則與夾角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.棱長(zhǎng)為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體，其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的表面積是(

) A．12+4 B．17 C．12+2 D．12參考答案：C考點(diǎn)：球的體積和表面積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：棱長(zhǎng)為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體，如圖所示，截面為菱形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為，2，面積為2，即可求出該幾何體的表面積．解答： 解：棱長(zhǎng)為2的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體，如圖所示，截面為菱形，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為，2，面積為2，所以該幾何體的表面積是3×2×2+2=12+2，故選：C．點(diǎn)評(píng)：由三視圖作出直觀圖，發(fā)現(xiàn)圖象的特征，從而得到幾何體的表面積．9.若存在x∈（﹣1，1]，使得不等式e2x﹣ax＜a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．（，+∞） C． D．（，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】分類參數(shù)得a＞，求出f（x）=在（﹣1，1]上的最小值即可得出a的范圍．【解答】解：∵e2x﹣ax＜a在（﹣1，1]上有解，∴a＞在（﹣1，1]上有解，令f（x）=，x∈（﹣1，1]，則a＞fmin（x）．則f′（x）=，∴當(dāng)x∈（﹣1，﹣）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣，1]時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，﹣]上單調(diào)遞減，在（﹣，1]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=﹣時(shí)，f（x）取得最小值f（﹣）=．∴a＞．故選B．10.命題p：x>0，，則是A.， B.，C.， D.，參考答案：A試題分析：是考點(diǎn)：本題考查命題的否定點(diǎn)評(píng)：全稱命題的否定將任意改為存在，否定結(jié)論二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，在圓的直徑AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線CD，切點(diǎn)為D，∠ACD的平分線交AD于點(diǎn)E，則∠CED．參考答案：45°【考點(diǎn)】：弦切角．【專題】：立體幾何．【分析】：首先根據(jù)圓的切線，連接半徑后得到直角三角形，進(jìn)一步利用三角形的外角等于不相鄰的內(nèi)角的和，及角平分線知識(shí)求出結(jié)果．【解答】：解：連接OD，由于CD是⊙O的切線，所以：∠DOC+∠DCO=90°，∠DOC是△AOD的外角，所以：∠DOC=2∠A；又CE是∠DCA的角平分線，所以：∠DCE=∠ACE=∠DCA，∠CED=∠A+∠ECA=（∠DOC+∠DCO）=45°，故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角形的外角的應(yīng)用，切線的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．12.已知圓C過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.參考答案：.試題分析：設(shè)圓C的圓心C的坐標(biāo)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓心C到直線的距離為：，又因?yàn)樵搱A過(guò)點(diǎn)，所以其半徑為.由直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則

．參考答案：-414.設(shè)函數(shù)f（x）=，若{an}是公比大于0的等比數(shù)列，且a3a4a5=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，則a1=．參考答案：e2【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由題意可得f（x）+f（）=0；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0，從而化f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，從而解得．【解答】解：若x＞1，則0＜＜1；則f（x）=xlnx，f（）==﹣xlnx；故f（x）+f（）=0；又∵{an}是公比大于0的等比數(shù)列，且a3a4a5=1，∴a4=1；故a6a2=a3a5=a4=1；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0+0+0=0；故f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，若a1＞1，則a1lna1=2a1，則a1=e2；若0＜a1＜1，則＜0，故無(wú)解；故答案為：e2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．15.已知關(guān)于不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

▲．參考答案：或16.已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________________．參考答案：4

17.已知數(shù)列{an}滿足a1=20，an+1=an﹣2（n∈N*），則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)，n的值為

．參考答案：10或11【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】函數(shù)思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】可判數(shù)列為等差數(shù)列，易得前10項(xiàng)為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，從第12項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，可得結(jié)論．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=20，an+1=an﹣2，∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)為20，公差為﹣2的等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=20﹣2（n﹣1）=22﹣2n，令22﹣2n≤0可得n≥11，∴等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，從第12項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，∴當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)，n的值為10或11故答案為：10或11【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和公式，從數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)入手是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD且有EC=FD=2．（I）求證：AD丄BF；（II）若線段EC上一點(diǎn)M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點(diǎn)N，試求二面角B﹣MF﹣C的余弦值．參考答案：考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（I）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=45°，又AD=DB，從而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由線面垂直的性質(zhì)可得FD⊥DB，利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到線線垂直；（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．解答：（Ⅰ）證明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，∴AD⊥BF．（Ⅱ）解：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CD、CB、CE方向?yàn)閤、y、z軸建系．可得D，，，，．又∵N恰好為BF的中點(diǎn)，∴，，．設(shè)M（0，0，z0），∴．又∵，，可得z0=1．∴M（0，0，1），故M為線段CE的中點(diǎn)．設(shè)平面BMF的一個(gè)法向量，且，，由，可得，令y=1，則x=3，z=．得．又∵平面MFC的一個(gè)法向量為，∴==．故所求二面角B﹣MF﹣C的余弦值為．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線線垂直、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．19.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b為常數(shù)．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，若函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為，求b的值；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的單調(diào)性；（3）若曲線y=f（x）上存在一點(diǎn)P，使得曲線在點(diǎn)P處的切線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的另一條切線互相垂直，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，推出b的關(guān)系式，求解b即可．（2）利用導(dǎo)函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=﹣a，求出極值點(diǎn)兩個(gè)不等實(shí)根x1，2=，①當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上無(wú)實(shí)根時(shí)，②當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（﹣∞，a]與（a，+∞）上各有一個(gè)實(shí)根時(shí)，③當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，分別求解a的范圍即可．（3）設(shè)P（x1，f（x1）），則P點(diǎn)處的切線斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q點(diǎn)處的切線方程，化簡(jiǎn)，得x1+2x2=﹣3a，通過(guò)兩條切線相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，…由f（1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱軸為x=﹣a，因?yàn)椤?4a2+4＞0，f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，2=，…①當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上無(wú)實(shí)根時(shí)，有解得．…②當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（﹣∞，a]與（a，+∞）上各有一個(gè)實(shí)根時(shí)，有：f′（a）＜0，或，解得．…③當(dāng)方程f′（x）=0在區(qū)間（a，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，有，解得．綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)時(shí)，f（x）在區(qū)間（a，），（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（，）上是單調(diào)減函數(shù)．…（10）（3）設(shè)P（x1，f（x1）），則P點(diǎn)處的切線斜率m1=x12+2ax1﹣1，又設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)Q（x2，f（x2）），x1≠x2，則Q點(diǎn)處的切線方程為y﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），所以f（x1）﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），化簡(jiǎn)，得x1+2x2=﹣3a．…因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以（x12+2ax1﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1，即（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．令t=x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），則關(guān)于t的方程t（4t+3a2+3）=﹣1在t∈[﹣（a2+1），0）上有解，…所以3a2+3=﹣4t﹣≥4（當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣時(shí)取等號(hào)），解得a2≥，故a的取值范圍是．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.在直角坐標(biāo)系中，圓：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，：（）.（1）求的極坐標(biāo)方程和的平面直角坐標(biāo)系方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為（），設(shè)與的交點(diǎn)為、，與的交點(diǎn)為，求的面積.參考答案：（1）因?yàn)閳A的普通方程為，把，代入方程得.所以的極坐標(biāo)方程為，的平面直角坐標(biāo)系方程為.（2）分別將，代入，得，.則的面積為.21.已知等差數(shù)列;等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（1）依題意，得，，；故橢圓的方程為．

………………3分（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，不妨設(shè)．由于點(diǎn)在橢圓上，所以．

（*）

由已知，則，，．

………………7分由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．由（*）式，，故，又點(diǎn)