激光物理-靜止原子激光器的振蕩理論省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第7章靜止原子激光器振蕩理論固體激光器、半導(dǎo)體激光器以及染料激光器激活介質(zhì)粒子是固定不動，或者其運動速度是能夠忽略不計。這類激光器是靜止原子激光器，其介質(zhì)主要是均勻加寬。第1頁首先求解二能級原子系綜密度矩陣運動方程，求出非對角元ρab與ρba利用式(5.6.5)得到介質(zhì)宏觀極化強度(5.6.5)利用激光電磁場方程討論激光振蕩振幅特征與頻率特征。(6.3.47)第2頁7.1單模振蕩7.1.1集居數(shù)矩陣運動方程由大量原子組成系綜，必須依據(jù)其激發(fā)狀態(tài)以及工作介質(zhì)物理狀態(tài)，對系綜內(nèi)各種原子密度矩陣進行統(tǒng)計平均，從而得到集居數(shù)矩陣運動方程。其形式為第3頁(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)(7.1.4)在單位時間內(nèi)，因為外界激發(fā)而使得上能級原子數(shù)得增加率（

a），因為自發(fā)輻射或其它弛豫過程使該能級上得原子數(shù)目得衰減（-

a

aa），以及因為受激輻射而使得上能級數(shù)目標降低(7.1.1)表示能級a原子數(shù)隨時間改變起源于:第4頁7.1.2單模振蕩一階理論對集居數(shù)矩陣運動方程進行詳細求解。先從其中第三個方程(7.1.3)入手。因為氣體中原子彈性碰撞或固體中聲子-原子相互作用能夠使ρab比對角元衰減得更加快，這么非對角元總衰減率應(yīng)為（7.1.3）（3.1.2）式中

相——因為毀相碰撞引發(fā)非對角元ρab衰減率。第5頁本節(jié)討論靜止原于情形，而且假定腔內(nèi)只有第n個縱模產(chǎn)生振蕩，即式（7.1.3）中激光場E表示(7.1.5)式中En(t)、

n(t)滿足蘭姆自洽場方程式。場與原子相互作用項為(7.1.6)要解出ρab，必須知道ρaa和ρbb。求ρaa、ρbb又必須知道ρab和ρba。因而無法求出集居數(shù)矩陣元準確解析解，而只能在一些假設(shè)條件下求近似解。第6頁1．一級近似假如λa(z,t0)、λb(z，t0)是時間慢改變函數(shù)，在

a-1和

b-1時間內(nèi)改變不大，將上而式積分可得對于式(7.1.3),假如不計常數(shù)因子，其解為當E(z,t)=0時，式(7.1.1)(7.1.2)兩式為(a1)第7頁N(z)僅是位置函數(shù)，即反轉(zhuǎn)粒子數(shù)不隨時間而變。這么，在式(a1）中，可將(ρaa-ρbb)視為與時間無關(guān)常數(shù)而移出積分號外，然后將式(7.1.5)En(z,t)代入，得到令(7.1.7)第8頁假設(shè)En(t)、

n(t)均為時間慢改變函數(shù)，所以,與它們相關(guān)因子也移出積分號外，完成積分得到因為ω0≈ωn,而且ω0和ωn均顯著大于γ，所以上式括號中第二項與第一項相比能夠忽略。略去高頻反共振項在電磁共振中稱為旋轉(zhuǎn)波近似。于是上式寫成第9頁將上兩式代入(7.1.10)一級近似因為ρba=ρab*，所以得到宏觀電極化強度（5.6.5）第10頁(7.1.11)依據(jù)(6.3.40)式，可得P(1)(z,t)空間傅里葉分量為其中(7.1.12)(7.1.13)激活介質(zhì)平均反轉(zhuǎn)原子數(shù)000000第11頁將式（7.1.12）與式（6.3.44）比較，得到(7.1.14)(7.1.15)在反轉(zhuǎn)原子數(shù)不變近似下，宏觀電極化強度是電場強度線性函數(shù)。下面討論模振幅特征和頻率特征。將式(7.1.15)代入蘭姆自洽場方程式(6.3.47)，得到第12頁(7.1.16)這是模振幅所滿足方程．第一項表示在介質(zhì)內(nèi)平均反轉(zhuǎn)原子數(shù)情況下腔內(nèi)介質(zhì)極化造成振幅增加。第二項表示由腔內(nèi)存在各種損耗機制造成振幅衰減。因為光強正比于振幅平方，所以從式(7.1.16)可知光強時間增益系數(shù)為00(a1)第13頁可見靜止原于增益系數(shù)含有洛侖茲線型，線寬為Δωn=2

，這個結(jié)論與經(jīng)典理論是一致。Gt(ωn)與單位長度增益系數(shù)g(ωn)有以下關(guān)系式中c一光速從式(7.1.16)看出，假如要求激光振蕩振幅隨時間增加，而不因腔損耗按指數(shù)衰減，則必須有(7.1.17)0第14頁激光振蕩閾值條件由上式所決定．上式表明，要實現(xiàn)激光運轉(zhuǎn)，激活介質(zhì)所取得增益最少應(yīng)等于各種損耗機制所造成損耗。當振蕩被調(diào)諧到譜線中心頻率時(ωn=ω0)，對該模，閾值反轉(zhuǎn)原子數(shù)由下式給出或(a2)第15頁可見，諧振腔Q值越高，介質(zhì)能級壽命越長（即

越小)，偶極躍遷幾率越大，則閾值反轉(zhuǎn)越小，越輕易實現(xiàn)激光振蕩。從式(7.1.16)還能夠著出，當反轉(zhuǎn)原子數(shù)超出閾值反轉(zhuǎn)數(shù)時，模振幅按指數(shù)增大起來，而且在此近似下，這種增大是無限制。（？）一級近似中，作了反轉(zhuǎn)原子數(shù)不變假設(shè),因而不能說明飽和效應(yīng)。所以只能預(yù)言激光器閾值行為，而不能預(yù)言激光器在閾值以上是怎樣自行調(diào)整到穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)。

第16頁模頻率特征假如考慮閾值運轉(zhuǎn)情況，就能夠在式(7.1.17)中取等號，解出代入上式得到并略去(7.1.18)(7.1.19)(6.3.47)(7.1.14)第17頁激光振蕩頻率

n均與腔共振頻率

n不一致。當介質(zhì)工作譜線中心頻率

0比振蕩頻率高(

n<

0)，由上式看出

n>

n；假如

n>

0，則必有

n<

n

。這說明實際振蕩頻率相對于腔共振頻率

n而言，總是向中心頻率靠近，這正是經(jīng)典理論所討論頻率牽引效應(yīng)。(7.1.19)第18頁7.1.3單模振蕩三階近似理論1、二階近似第19頁(7.1.1)前面我們從(ρaa-ρbb)與時間無關(guān)條件下，得到非對角元素一級近似解ρab(1)和ρba(1),討論了模振幅特征和頻率特征。為了研究閾值以上激光器行為，必須考慮受激輻射對粒子反轉(zhuǎn)數(shù)影響，這就需要求解集居數(shù)矩陣方程中對角元ρaa和ρbb。從集居數(shù)矩陣運動方程(7.1.1）知第20頁略去以2

n為頻率振蕩項和分子中含有

0-

n

項，則上式中(3.1.26)于是(7.1.20)00000第21頁令對于ρbb，一樣可得到(7.1.20)(7.1.23)(7.1.26)則激光上、下能級速率方程稱R為受激輻射速率參數(shù),它依賴于輻射強度、兩能級間躍遷幾率(正比于D）、兩能級間平均衰減率

以及模頻率

n均到譜線中心頻率

0距離00(7.1.27)第22頁速率方程(7.1.26,27)是在假設(shè)(ρaa-ρbb）不隨時間而變條件下得到。只要(ρaa-ρbb)隨時間改變相對于

-1來說是慢改變，就能夠?qū)?ρaa-ρbb)提到積分號外，這個近似就稱為速率方程近似。這種近似適用條件是:由泵浦、馳豫(衰減）過程造成粒子數(shù)布居改變同

-1比是慢改變；同時要求場強度不能太強，使得受激輻射過程造成粒子反轉(zhuǎn)數(shù)改變同

-1比也是一個慢改變。第23頁將式(7.1.26,27）對時間積分，并利用速率方程近似，得到(7.1.25)(7.1.24)稱Rs為飽和參量,它是系統(tǒng)趨向飽和快慢量度。從兩式可得：第24頁當電場強度E=0時,ρaa-ρbb=ρaa(0)-ρbb

(0)，所以(ρaa-ρbb)零級近似值就是不存在電場時(ρaa-ρbb)值。當E

0時，伴隨E增大，R增大，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)(ρaa-ρbb)降低，這就是粒子反轉(zhuǎn)數(shù)飽和現(xiàn)象。反轉(zhuǎn)數(shù)決定激光介質(zhì)增益，所以E越強時(即光強越強)，增益就越小，這將使光強增大速率變慢，從而最終總會使得光強趨于一個穩(wěn)定值。(7.1.25)(7.1.23)0第25頁R是空間坐標z周期為

n/2周期函數(shù)，所以粒子反轉(zhuǎn)數(shù)(ρaa-ρbb)也是z周期函數(shù)。在駐波波腹處，光強最強，R最大，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)下降得最多；在駐波波節(jié)處，光強為零，粒子反轉(zhuǎn)數(shù)基本上沒有什么改變。

于是粒子反轉(zhuǎn)數(shù)相對于z改變曲線將出現(xiàn)周期性地凹陷，這種現(xiàn)象稱為空間燒孔效應(yīng)，相鄰兩孔之間距離為1/2波長，如圖0第26頁第27頁2.三階近似計算積分時仍采取速率方程近似。同求解ρab(1)時過程一樣，得到（7.1.3）(7.1.25)(d1)(7.1.10)0第28頁假設(shè)R/Rs<<1(電場足夠小，弱飽和情形）,則N定態(tài)能夠展成級數(shù)。我們?nèi)?7.1.25)(7.1.10)(7.1.29)(d2)00第29頁用替換方法。定義(7.1.14)(7.1.13)(d3)將R、Rs值代入，并利用0第30頁考慮到N(z)是z慢改變函數(shù)，空間高頻項積分為零，完成對式(d3）積分，有(d4)其中(d5)0第31頁(d6)(7.1.14)其中(7.1.31)00000第32頁同理其中(d7)(7.1.15)(7.1.32)下面討論振幅特征和頻率特征。一個方法是將式(7.1.16)和式(7.1.19)中換成，再利用式(d4)即可進行詳細討論;000第33頁再一個方法是將式(7.1.31)和式(7.1.32)代入蘭姆方程式(6.3.47)，再利用式(7.1.14)、(7.1.31)、(7.1.15)、(7.1.32)，忽略，就得到模振幅和頻率所滿足方程.即:(7.1.33)(7.1.36)第34頁(7.1.34)(7.1.37)(7.1.35)其中為無量綱光強線性凈時間增益系數(shù)自飽和系數(shù)線性模牽引系數(shù)模推斥系數(shù)第35頁各相關(guān)系數(shù)表示式以下為無量綱洛倫茲函數(shù)

一階因子

三階因子

00000000第36頁在場振幅En(t)較小時，右邊第二項能夠忽略，

一級理論。在

n>0時，En指數(shù)增加，伴隨En增加，

nIn增大，使得En增加率下降，這就是飽和效應(yīng)。最終在

n=

nIn時，En=0到達穩(wěn)定振蕩。將上式兩邊同乘以EnD2/

a

b，能夠得到以下形式(7.1.34)利用初始條件In(0)=I0定出常數(shù)，最終得到第37頁上式為無量綱光強隨時間改變規(guī)律。最初，對于小I0，有

nI0<<

n

，從上式可見，近似有即在器件開始運轉(zhuǎn)時刻，腔內(nèi)光強按指數(shù)規(guī)律增加。伴隨時間推移，

nI0項逐步增大，使In(t)增加速率減慢，最終光強趨向一個穩(wěn)定值

(7.1.39)(7.1.38)第38頁時間t是以

n

為單位表示四條曲線自下而上分別對應(yīng)于

n/

n=0.25，0.50，0.75和1.0第39頁式中——譜線中心閾值反轉(zhuǎn)數(shù)。稱為相對激發(fā)度。由上式可知，In是失諧量(

0-n)函數(shù)。將

n與

n表示式代入式(7.1.39)，能夠得到穩(wěn)態(tài)光強顯著表示式

(d8)00第40頁相對激發(fā)度自下而上分別取1.05、1.10、1.15和1.20。由圖可見，穩(wěn)態(tài)光強在譜線中心處形成高峰，這是因為現(xiàn)在討論是靜止原子，不可能出現(xiàn)Lamb凹陷情況。圖中所用參數(shù)

=2

×100MHz，

=2

×55.55MHz。第41頁假如用式(d4)表示代替式(a1)中，就可得到三級近似情況下光強時間增益系數(shù)在弱飽和下，上式右端中括號中第二項遠比1小，可作1-x

1/(1+x)近似，這么就得到(a3)00第42頁中心頻率處小信號增益為(a3)其中飽和光強(a5)(a4)(a3)可表示為(a6)第43頁在穩(wěn)態(tài)時，光強時間增益系數(shù)應(yīng)等于它時間損耗系數(shù)，即穩(wěn)態(tài)時，應(yīng)有

(a6)將式(a3)代入，就可得到穩(wěn)態(tài)時光強式(a2)

在

n=0時，上式可簡化成

(a7)(a8)第44頁當腔內(nèi)光強增加時，-

nIn項起作用，結(jié)果使頻率牽引降低，所以-

nIn

為頻率推斥項。推斥原因是，因為飽和效應(yīng)，使反轉(zhuǎn)粒子數(shù)下降，而由一級近似計算

n時用是未飽和反轉(zhuǎn)數(shù)，將牽引量估算多了，-

nIn正是對此作出修正。將

n和

n表示式代入式(7.1.37)中，模頻率特征線性模牽引系數(shù)模推斥系數(shù)(7.1.37)第45頁在穩(wěn)態(tài)下將得到(d9)其中(d10)穩(wěn)定因子。表示模頻率移動(相對于無源腔頻率)相對于失諧量(

0-n)所占百分比數(shù)。

(7.1.38)可得

無源腔模線寬

原子譜線均勻線寬

0000第46頁經(jīng)典S值大約在0.01~0.1范圍，說明頻率牽引量只是失諧量

0-n一個很小分數(shù)。因為S<<1，

n

n，所以慣用下式來代替式(d9)

(d11)折射率略去推斥效應(yīng)，即將一級近似解時S值代入，注意

n

n，就得到

(d12)第47頁上式所表示折射率與頻率依賴關(guān)系如圖(d13)第48頁7.2靜止原子激光器多模運轉(zhuǎn)當有兩個模或多個模在一個激光器里振蕩時，因為介質(zhì)非線性而產(chǎn)生拍頻，反轉(zhuǎn)數(shù)(

aa-

bb)會含有頻率為模間頻率整數(shù)倍脈動。這些改變與原子衰減率

相比較普通一樣大或者更大一些，所以上節(jié)中速率方程近似可能造成不正確結(jié)果。下面我們采取微擾方法來求解集居數(shù)矩陣運動方程。第49頁1.一級近似在多模振蕩時，集居數(shù)矩陣運動方程仍為式(7.1.1~4)所表示，只是腔內(nèi)電場應(yīng)為微擾能對應(yīng)地變?yōu)?7.2.1)(d14)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)零級近似(E(z,t)=0)(7.2.2)第50頁并假定E(z,t)、En(t)和在時間1/

內(nèi)改變很小，重復(fù)上節(jié)處理單模時所采取步驟，可得(7.2.10)若N(z,t)不是位置z函數(shù)，利用{sink

z}正交性有(7.2.3)00第51頁式(7.2.11）與式（7.1.12)完全相同。由此看出，在一級近似下，若N(z，t)不是位置函數(shù)，Pn(t)只與第n個模場相關(guān)，和其它模無關(guān)，各個模行為彼此獨立。這種近似下理論僅僅適合用于閾值情況。(7.2.11)(d15)其中00第52頁2.三級近似將方程(7.2.3）和它共軛式代入式（7.1.1)中，忽略高頻項并積分，可得

若N(z,t‘)、E

(t’)、E

(t‘)、、均為t’慢改變函數(shù)，與它們相關(guān)因子可提出積分號外，并將t‘換成t，完成上述積分，可得0第53頁式中(d16)(7.2.4)(7.2.6)第54頁同理可得(7.2.5)(7.2.4)-(7.2.5)式:第55頁即：在多模輻射場作用下，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)二級修正值以各種縱模之間兩兩差頻（

-

）波動，這和單模情況是不一樣。對非對角元三級修正時，（

aa(2)-

bb(2)）不能提出積分號外，即不能采取速率方程近似，不然這種波動被忽略(7.2.7)第56頁考慮到

ab三級近似值，

ab應(yīng)為(7.2.8)將方程(7.2.7）代入式（7.1.3)式，忽略高頻項，并考慮N(z,t)、En(t’)、慢改變特征，完成積分，可得

第57頁于是宏觀極化強度其中(7.2.10)00第58頁相對位相角(7.2.13)(7.2.9)其中第59頁P(z,t)空間傅立葉分量為(7.2.12)00第60頁式中表示電極化強度Pn(3)(t)振幅調(diào)制，它是由各個模之間拍頻造成。(d17)第61頁極化場才能對振蕩模

n作出貢獻。這相當于要求腔頻滿足從物理上可了解為:以縱模差頻(

-

)調(diào)制粒子數(shù)反轉(zhuǎn)介質(zhì)與

模作用時,產(chǎn)生頻率為(