專題14 立體幾何（文科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)）含解析

專題14立體幾何（文科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)通用）含解析專題14立體幾何（文科）考向一線面夾角【母題來源】2022年高考全國(guó)甲卷（文科）【母題題文】在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【試題解析】【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．【命題意圖】本題主要考查直線與平面夾角，是一道容易題.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題，重點(diǎn)考查線面夾角的求法問題.【得分要點(diǎn)】找斜線在平面中的射影；求斜線與其射影的夾角；考向二線面平行、垂直的證明【母題來源】2022年高考全國(guó)乙卷（文科）【母題題文】如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【試題解析】【小問1詳解】由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以.過作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.【命題意圖】本題考查線面平行、垂直的證明.【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）線面平行的證明；（2）線面垂直的證明；（3）面面平行的證明；（4）面面垂直的證明.【得分要點(diǎn)】（1）利用線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理；（2）利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理.一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知為空間的兩個(gè)平面，直線，那么“∥”是“”的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分且必要 D．不充分也不必要2．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））在正方體中，M為的中點(diǎn)，則直線CM與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．四面體ABCD的棱長(zhǎng)均為2B．異面直線AC與BD的距離為C．異面直線AC與BD所成角為D．四面體ABCD的內(nèi)切球的體積等于4．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面5．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題，真命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；（2）過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；（3）平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點(diǎn)A不在直線a，b上，則過點(diǎn)A有且僅有一個(gè)平面與直線a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．36．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，A，B，C，D是該三棱錐表面上四個(gè)點(diǎn)，則直線AC和直線BD所成角的余弦為（

）A．0 B． C． D．8．（2022·山東濰坊·三模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．若一個(gè)“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為________.10．（2022·上海普陀·二模）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，若其左視圖為正三角形，則該圓錐的體積為________.11．（2022·黑龍江·佳木斯一中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)E，則下列正確說法的序號(hào)是___________.①存在點(diǎn)F使得平面；②存在點(diǎn)F使得平面；③對(duì)于任意的點(diǎn)F，都有；④對(duì)于任意的點(diǎn)F三棱錐的體積均不變.12．（2022·甘肅·武威第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，，是棱上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且滿足，給出下列結(jié)論：①平面；②三棱錐的體積為定值；③平面；④平面平面.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.三、解答題13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，在底面內(nèi)的射影分別為，．求證：；(2)求到平面的距離．14．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點(diǎn)．(1)若，求證：平面．(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．15．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，四棱錐中，平面.M是CD中點(diǎn)，N是PB上一點(diǎn).(1)若求三棱錐的體積；(2)是否存在點(diǎn)N,使得平面,若存在求PN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 專題14立體幾何（文科）考向一線面夾角【母題來源】2022年高考全國(guó)甲卷（文科）【母題題文】在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【試題解析】【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．【命題意圖】本題主要考查直線與平面夾角，是一道容易題.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題，重點(diǎn)考查線面夾角的求法問題.【得分要點(diǎn)】找斜線在平面中的射影；求斜線與其射影的夾角；考向二線面平行、垂直的證明【母題來源】2022年高考全國(guó)乙卷（文科）【母題題文】如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【試題解析】【小問1詳解】由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以.過作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.【命題意圖】本題考查線面平行、垂直的證明.【命題方向】這類試題在考查題型多以解答題形式出現(xiàn)，多為中檔題，是歷年高考的必考題型．常見的命題角度有：（1）線面平行的證明；（2）線面垂直的證明；（3）面面平行的證明；（4）面面垂直的證明.【得分要點(diǎn)】（1）利用線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理；（2）利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理.一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知為空間的兩個(gè)平面，直線，那么“∥”是“”的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分且必要 D．不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，結(jié)合必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】當(dāng)直線，∥，則，l與β相交，故充分性不成立；當(dāng)直線，且，時(shí)，∥，故必要性成立，?“∥”是“”的的必要不充分條件.故選：A.2．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中模擬預(yù)測(cè)（文））在正方體中，M為的中點(diǎn)，則直線CM與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】，所求角為，利用幾何體性質(zhì)，解即可【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，連接與所成角即是與所成角，，為，故選：D3．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．四面體ABCD的棱長(zhǎng)均為2B．異面直線AC與BD的距離為C．異面直線AC與BD所成角為D．四面體ABCD的內(nèi)切球的體積等于【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A,設(shè)該四面體的棱長(zhǎng)為a，表示出高，根據(jù)其外接球的體積等于，求得外接球半徑，即可求得a,判斷A;對(duì)于B,分別取BD,AC的中點(diǎn)為E,F,連接EF,求得EF的長(zhǎng)，即可判斷；對(duì)于C，證明線面垂直即可證明異面直線AC與BD互相垂直，即可判斷;對(duì)于D，利用等體積法求得內(nèi)切球半徑，即可求得內(nèi)切球體積，即可判斷.【詳解】如圖示，設(shè)該四面體的棱長(zhǎng)為a，底面三角形BCD的重心為G,該四面體的外接球球心為O，半徑為R，連接AG,GB,OB,AG為四面體的高，O在高AG上，在中，,在中，，解得，由于外接球的體積等于，即,故，故，故A正確；分別取BD,AC的中點(diǎn)為E,F,連接EF,正四面體ABCD中，AE=EC,故,同理,即EF為AC,BD的公垂線，而,則,故B正確；由于,平面ACE,故平面ACE,又平面ACE,所以，即異面直線AC與BD所成角為，故C錯(cuò)誤；設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為r,而,故，故，所以四面體ABCD的內(nèi)切球的體積等于，故D正確，故選：C4．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間的平行和垂直關(guān)系進(jìn)行判定.【詳解】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，又平面，所以直線平面，故A正確；以為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，顯然直線與直線不平行，故B不正確；直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；直線與直線異面，不相交，故D不正確；故選：A.5．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題，真命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；（2）過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；（3）平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點(diǎn)A不在直線a，b上，則過點(diǎn)A有且僅有一個(gè)平面與直線a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的定義即可判斷命題(1)；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷命題(2)；根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系即可判斷命題(3)；結(jié)合圖形即可判斷命題(4).【詳解】命題(1)：由直線垂直平面的定義可知，若直線垂直于一個(gè)平面的任意直線，則該直線垂直于該平面，故命題(1)錯(cuò)誤；命題(2)：由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故命題(2)正確；命題(3)：平行于同一個(gè)平面的兩條直線，可能平行，可能相交，也可能異面，故命題(3)錯(cuò)誤；命題(4)：如圖，當(dāng)點(diǎn)A在如圖上底面時(shí)，不存在平面同時(shí)平行于直線a、b；點(diǎn)A不在異面直線a、b上，若點(diǎn)A在直線a、b之間，則可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b；若點(diǎn)A在直線a、b的外側(cè)，也可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b，故命題(4)錯(cuò)誤.故選：B.6．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面即可推理計(jì)算作答.【詳解】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點(diǎn)，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為.故選：D7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，A，B，C，D是該三棱錐表面上四個(gè)點(diǎn)，則直線AC和直線BD所成角的余弦為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，根據(jù)線面垂直的判定有面，線面垂直的性質(zhì)可得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)得，即可得結(jié)果.【詳解】由三視圖可得如下幾何體：，，，則面，又面，則，而，由，則面，又面，所以，故直線AC和直線BD所成角的余弦為0.故選：A8．（2022·山東濰坊·三模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．若一個(gè)“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出圖形，設(shè)在三棱錐中，平面，且，，證明出該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球體表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在三棱錐中，平面，且，，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，，，平面，平面，，所以，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，且，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，因此，球的表面積為.故選：A.二、填空題9．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三視圖可知這是一個(gè)四面體，根據(jù)長(zhǎng)度即可根據(jù)三角形面積公式求每一個(gè)面的面積，進(jìn)而可得表面積.【詳解】該幾何體的直觀圖是正方體中的四面體，，故答案為：.10．（2022·上海普陀·二模）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，若其左視圖為正三角形，則該圓錐的體積為________.【答案】##【解析】【分析】由圓錐側(cè)面積公式求得底面半徑，體高為，應(yīng)用圓錐的體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，令圓錐底面半徑為，則體高為，母線為，所以，則，故圓錐的體積為.故答案為：11．（2022·黑龍江·佳木斯一中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)E，則下列正確說法的序號(hào)是___________.①存在點(diǎn)F使得平面；②存在點(diǎn)F使得平面；③對(duì)于任意的點(diǎn)F，都有；④對(duì)于任意的點(diǎn)F三棱錐的體積均不變.【答案】①③④【解析】【分析】①，找到點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；②，證明出相交，得到不存在點(diǎn)F使得平面；③，作出輔助線，證明線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；④，得到三棱錐的體積等于正方體體積的，為定值.【詳解】當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，此時(shí)連接EF，可得：，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，①正確；連接，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以相交，因?yàn)槠矫?，所以不存在點(diǎn)F使得平面，②錯(cuò)誤連接AC，BD，則AC⊥BD，又平面ABCD，平面ABCD，所以BD，因?yàn)?，所以BD⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以BD⊥EF，③正確；連接DF，EF，ED，則無論點(diǎn)F在的何處，都有，是定值，為正方形面積的一半，又高等于CD，故體積也為定值，為正方體體積的，④正確.故選：①③④12．（2022·甘肅·武威第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在長(zhǎng)方體中，，是棱上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且滿足，給出下列結(jié)論：①平面；②三棱錐的體積為定值；③平面；④平面平面.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②④【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系判斷命題①③④，由棱錐體積公式判斷②．【詳解】與顯然不垂直，而，因此與顯然不垂直，從而平面是錯(cuò)誤的，①錯(cuò)；，三棱錐中，平面即平面，到平面的距離為是定值，中，的長(zhǎng)不變，到的距離不變，面積為定值，因此三棱錐體積是定值，②正確；平面就是平面，而與平面相交，③錯(cuò)；長(zhǎng)方體中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正確．故答案為：②④．三、解答題13．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（文））