大學(xué)物理下冊(cè)課后題答案2

大學(xué)物理下冊(cè)課后習(xí)題答案

習(xí)題八

8-1電量都是q的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).試問:(1)在這三角形的中

心放?個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫(kù)侖力

之和都為零？(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無關(guān)系

解：如題8-I圖不

(1)以A處點(diǎn)電荷為研究對(duì)象,由力平衡知：q'為負(fù)電荷

1q2

2cos30°國(guó)

4元Ea24冗&博甸2

3

解得q

⑵與三角形邊長(zhǎng)無關(guān).

FF

/5

Bq乙—tc

mg

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是m,都用長(zhǎng)為1的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線

夾角為2()，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶

的電量.

解：如題8-2圖示

TcosO=mg

TsinO=F=1q2

4年(21sin0)2

解得q=21sinO,/4兀BKmgtanO

°q

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式E=,當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(rO)時(shí)，則場(chǎng)強(qiáng)

4ZL￡r2

00,這是沒有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解？

解：E=口尸僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)r今0時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再用上式求

4?！阹2o

場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無限大.

8-4在真空中有A,B兩平行板，相對(duì)距離為d,板面積為S,其帶電量分別為+q和一q.則

q2

這兩板之間有相互作用力f,有人說f=，又有人說，因?yàn)閒=qE，E=q,所

4)tcd28S

q2

以￡=.試問這兩種說法對(duì)嗎為什么f到底應(yīng)等于多少

￡0S

解：題中的兩種說法均不對(duì).第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第二種說法把

q

合場(chǎng)強(qiáng)E="看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)的.正確解答應(yīng)為一個(gè)

EOS

qqq2

板的電場(chǎng)為E=另一板受它的作用力f=q=，這是兩板間相互作用

及>28S28S

ooo

的電場(chǎng)力.

8-5—電偶極子的電矩為J5=q[,場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為r'矢量尸與「的夾角為

0,（見題8?5圖），且"aaI.試證P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E在I?方向上的分量E和垂直于r的分量E分

別為r0

EpcosOEPsinO

72冗￡r3'e-4冗￡r3

證：如題8-5所示，將P分解為與尸平行的分量psinO和垂直于尸的分量psinO.

:r?1

：.場(chǎng)點(diǎn)P在r方向場(chǎng)強(qiáng)分量

_pcosO

E

2?！阹3

垂直于r方向，即0方向場(chǎng)強(qiáng)分量O

_psinO

E0

4?！阹3

o

dEo

A

0

LaB1

題8-5圖題8-6圖

8-6長(zhǎng)I=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度入=5.Ox1Q-9c?m-1的正電荷.試求：

（1）在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B端相距a=5.0cm處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：（2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與

導(dǎo)線中點(diǎn)相距d=5.0cm處Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

⑴在帶電直線上取線元dx‘其上電量dq在]P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為

汕

dE

p4和(a-x)2

E=ff；

dE。入dx

pP4兀E(a-x)2

o2

入[―11

知-I]

oa--a+—

22

Al

兀E(4a2-/2)

用1=15cm,入=5.0xlO-9C8n-1,a=12.5cm代入得

E=6.74x102NC-1方向水平向右

P_1汕

⑵dE二方向如題8-6圖所示

同理Q4兀tX2+d2

02

由于對(duì)稱性IdE=0,即E只有y分量,

IQx.Q

2

1入d.xd2

-dE=

54邠x2+d2,?/x2+d2

o2\i2

d入Ld.x

E=fdE=—±歸

QyIQy4冗8L3

2-2(x2+d2)2

入1

2；ce../r2+4d2

0\J

以入=5.0xlO-9C*cm-l,1=15cm,d,..=5cm代入得

2

E=E=14.96x102NC-1,方向沿y軸正向

QQy

8-7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為入，求環(huán)心處0點(diǎn)的場(chǎng)

強(qiáng).解：如8-7圖在圓上取dl=Rdcp

題8-7圖

dq=勾l=R悶cp'它在0點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

砍dcp

dE=方向沿半徑向外

4冗tR2

O

入

則dE=dEsincp=sincpdcp

X44兒ER

dE=￡1￡鼠(冗一<?=期卬唧

4兀ER

入入—。

積分Ej。冗4%ERsin<pd宜臾E°R

E-ft4jlERcos<pd<p-0

入°O

E=E=方向沿x軸正向.

x2兀ER

8-8均勻帶電的細(xì)線管成正方形，邊長(zhǎng)為I'總電量為q.⑴求這正方形軸線上離中心為r

處的場(chǎng)強(qiáng)E；(2)證明：在r>>l處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E

q

解；如8-8圖示，正方形一條邊上電荷不在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)dE方向如圖，大小為

禮。sO-COSo)P

4冗8|.r2+一

o\!4

3

cosO=-cosO

2,

dE-x入_________________

p12

葉4N2

拈在垂直于平面上的分量dE=dEcosP

pJA.1pr

dE=

,i12；12II2

4冗8」2+—1r2+—Jr2+—

題8-8圖

由于對(duì)稱性，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿OP方向，大小為

4Air

E=4xdE

p12\2

4兀f：(r2+—)r2+一

o4\2

-入=q

41

qr

,,Eo=---------------------方向沿OP

知(r2+馬/2+-

o4\2

8-9(1)點(diǎn)電荷q位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過立方體的一個(gè)

面的電通量；(2)如果該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電

通量是多少？*31如膜-9⑶圖所示，在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中取半徑為R的圓平面.q在該平

“R

面軸線上的A點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量.(a-arctan—)

X

解：(1)由高斯定理1￡75=匚

S

C

立方體六個(gè)面，當(dāng)q在立方體中，聞寸，每個(gè)面上電通量相等

q

.各面電通量＜D=

e6C：

(2)電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立身體延伸為邊長(zhǎng)2a的立方體，使q處于邊長(zhǎng)2a的立方體中心，則

q

邊長(zhǎng)2a的正方形上電通量＜1＞=

e6￡

對(duì)于邊長(zhǎng)a的正方形，如果它不包含3所在的頂點(diǎn)，則＜P=q

24c:'

4

如果它包含q所在頂點(diǎn)則＜D=0.

-A-

(3)?通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為V飛了+x2的球冠面的電通量，球冠

面積大

X

S=2兀(R2+X2)[I?]

)R2+X2

■巾=里$=q[|_x]

￡。兀

4(R2+X2)2￡Q+X2

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

S=f咀rsina.心

o

=2町2f跺ina.中

=2兀r&1-cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm外半徑10cm,電荷體密度為2X10-sCm3求花球心5m,

8cm2叫點(diǎn)的飛

2q

解：高斯定理EdS=__2_,￡4叮2=---------

8

當(dāng)r=5cm時(shí)，Iq=O,E=O

4兀

r=8cm時(shí),Iq=p一(r3-r?)

3內(nèi)

盧(3-2)

E=3'、3.48X104N.C-1'方向沿半徑向外.

4兀Er2

4兀

r=12cm時(shí)，Lq=P—(r3-r3)

3外內(nèi)

3-r3)

3外慶

E=4.10X104N.C-1沿半徑向外.

4?！阹2

8”羲彳帝F魂V也建奧贊%呻毀虬端杈球分別帶有電量入和

!2122

q

解：高斯定理EdS=

8

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)瑜S=2兀rl

5

則f)E?dS=E2兀!4

s

對(duì)⑴氣LqO,E=0

(2)R<rl<RLq=l入

12

E=入沿徑向向外

2月Er

(3)or>RLq=O

2

.：E=O

O,2

0n

題8-12圖

8-12兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為G和CJ,試求空間各處場(chǎng)

噬

伽；如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為CJ與6

兩面間，

C面外,

I

G面外，

2

兀垂直于兩平他由G面指為G面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為P,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為r<R的小

球體，如題8-13圖所示.試求：兩球心O與0'點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻

的.

解：將此帶電體看作帶正電P的均勻球與帶電——P的均勻小球的組合，見題8-13圖（a）.

（1）+p球在0點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)E=0,

104

々ir3P

-P球在0點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)E.0OO,

204兀Ed3

r3p

0點(diǎn)電場(chǎng)E=00';

o3Ed3

o4

一Till3p____

（2）+p在O'產(chǎn)生電場(chǎng)E.=300'

10'4兀Ed3

-P球在O'產(chǎn)生電場(chǎng)E=0

O'點(diǎn)電場(chǎng)E=00'

O'3E

6

題8-13圖(a)題8-13圖(b)

⑶設(shè)空腔任一點(diǎn)P相對(duì)O'的位矢為r',相對(duì)O點(diǎn)位矢為尸(如題8-13(b)圖)

則E=￡!_

PO3￡'

0

E-k

?O'3￡P(guān)d

REFrr。P

8厲||3

,pIIp+pII8cMl3C

o0

占腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是均勻的.°

8-14一電偶極子由q=1.0X10-6C的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離d=O.2cm,把這電

偶極子放在1.0X10sN?C-l的外電場(chǎng)中，求外電場(chǎng)作用于電偶極子上的最大力矩.

解：？電偶極子P在外場(chǎng)E中受力矩

M=pxE

,?M=pE=qlE代入數(shù)字

max

M=1.0x10-6x2x10-3xl.OxlOs=2.0x10-4Nm

max

8-15兩點(diǎn)電荷q=1.5X10-aC,q_=3.OXIO-sC,相距r=42cm,要把它們之間的距離變?yōu)?/p>

[2=25cm.需作多少功？

解：A=tp<|r=fj'=罕(L_L)

4?！阹248

'i2o元rr

O1O

二一6.55x10-6J

題8-16圖

OC16

r如題8-16圖所示，在A,B兩點(diǎn)處放有電量分別為+q'-q的點(diǎn)電荷，AB間距離為

現(xiàn)將另-正試驗(yàn)點(diǎn)電荷q。從0點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到C點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場(chǎng)力作的

功

除,：如題8-16圖示--I

U=(+十)=0

o一4陽RR

U二(-^--4^)=-q

o4兀83RR*6冗￡R

oqq。

.,A=q.(U-U_)=

ooc伍c：R

8-17如題8?17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為入的正電荷，兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半

圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心0點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì).

7

解：（1）由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，AB和CD段電荷在0點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相抵消，取

dl=RdO

則dq=砍dO產(chǎn)生0點(diǎn)dE如圖，由于對(duì)稱性，O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

tY

2,￡R

(2)AB電荷在0點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以U00=O

u二fA入dx-f2R汕入=

i-B4祁x-R4用x4和

A)oo

同理CD產(chǎn)生U=-In2

i

兀R入入

半圓環(huán)產(chǎn)生U==

34兀ER4E

oo

U=U+U+U=入ln2+入

0123為848

00

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以2X104fll?S-1的勻速率作圓周運(yùn)動(dòng).求帶電直線

上的線電荷密度.能子質(zhì)量m=9.1X10akg,電子電量e=1.6OX1O-19C）

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密明入，在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng)

入

E=_____

2元Er

oe入

電子受力大小F=eE=---------

e2兀Er

e入V20

.?---------=m一

2冗Err

o

、2幾Emv2，八U-

得入==12.5x1Q-13C?m-1

e

8-19空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為E=30kV-cm-1,超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放

電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=O.5cm,求此電容器可承受的最高電

壓.解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng)

,?U=Ed=1.5x104V

8-20根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)E與電勢(shì)U的關(guān)系E=-VU,求下列電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)：（1）點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)；

（2）5電I為q,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)：*3）偶極子p=ql的r>>1處觀題

8-20圖）

00

解：（1）點(diǎn)電荷u=

4TK:r

6Vqo_

E-rr為r萬向單位矢量.

祈047ar2oo

（2）總電量q,半徑為R9l勺均勻帶嗎i環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì)

U=--------

4陽JR2+x2

E=￡江陽解璘/

（3）偶極子p=q「在r>>l處的一點(diǎn)電勢(shì)

_q11,qlcosO

UTT-知［rI?|I=

.八、4?！阹2

o(r--cosO)(M1+―cosO)

aupcosO

E=-

r6r2TECr3

I8U_psinO

r804?！阹3

8-21證明：對(duì)于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板（版-21圖）來說，（1）相向的兩面上，電

荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；（2）相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符

號(hào)相同.

證：如題8?21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、B的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次先.6

u

3'4

AB

(S)「

：D

。20304

D

題8-210

0））則取與平面垂直且底面分別在A、B內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有

□E-dS=（cr+cr）S=0

「a+（j'=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反；

0在A內(nèi)部任取一點(diǎn)P,則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而

成的，即61G

1G一G

2c2c2c-

0000

X?:a+a=0

?23

G?6

說明相背兩面上電荷面密度總是大,、相等，符號(hào)相同.

8-22三個(gè)平行金屬板A,B和C的面積都是200m2,A和B相距4.Omm,A與C相距2.0

9

mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使A板帶正電3.OX1Q-1C,略去邊緣效應(yīng)，問B

板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢(shì)為零，則A板的電勢(shì)是多少？

解：如題8-22圖示，令A(yù)板左側(cè)面電荷面密度為a,右側(cè)面電荷面密度為G

題8-22圖

(1)■：UAC=UAB,即

Ed=Ed

ABAB

J扭=2

dAC

噢

且+CJ

2

q2q

得cr=±cr=..A

23ST

S。=勺S==-2x10-1C

q

3A

q=勺S=-1x10-1C

B

(2)U=Ed=-±d=2.3x103V

AACAC￡AC

8-23兩個(gè)半徑分別為R和RCR<R)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+q,試計(jì)

算：

(1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大小;

⑵先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì);

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變量.

解：(1)內(nèi)球帶電+q;球殼內(nèi)表面帶電則為——q,外表面帶電為+q,且均勻分布，其電勢(shì)

題8-23圖

U=tE'dr=f=.q

RR4兀C°r24兀￡.R

(2)外殼接地時(shí)，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為一q.所以球殼電

勢(shì)由內(nèi)球+q與內(nèi)表面一q產(chǎn)生：a

u=q--=。

4冗ER4%ER

0202

9)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為q'；則外殼內(nèi)表面帶電量為一qH外殼外表面帶電量為一q+q'

(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且

10

qq.+_q+q，

u=0

A4冗￡R4兀ER4兀ER

a02

得飛

I2

外球殼上電勢(shì)

q'-q+q*_CR.-R_)q

u=q一

B4兀ER4兀4/LER4兀tR2

0202

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián),在與球心相距為d=3R處有

一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為q',則球接地時(shí)電勢(shì)U0=O

由電勢(shì)疊加原理行:

q

q1+0

o4/cER4兀E3R

3

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫(kù)倉(cāng)力

為F.試求：

o

Q)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫(kù)倉(cāng)力；

(2)小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫(kù)侖力.

F-92

解：由題意知r一

o4兒￡r2

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小9求1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

3

q"=—q

4

：.此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

I4兀Er24兀Er28。

o2q

(2)小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量均為一-.

3

22

丁q^q

：.小球1、2間的作用力FJ=^4F

24兀c:r29°

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為d,分別維持電勢(shì)

U=U,U.R=O不變.現(xiàn)把一塊帶有電量q的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面

積也是S,片力勺厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢(shì).

11

解：依次設(shè)A,C,B從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為cr,cr,cr,cr,cr,cr

由靜電平衡條件’電荷守恒定律B維持u=u可得以下1個(gè)程

如圖所示.?

題8-26圖

qicU

a+a=——CU=

?2SS0d

q

a+a=

34s

qEU

6+6二——0

56Sd

a+a=0

a+a=0

6=6+6+6+6+6

_q

解得6=6—

162S

8Uq

6=-6=0—

23d2S

EU.q

6=-G=0+—

5d2S

dU

=…一=+a

所以CB間電場(chǎng)E4-

2Ed2ES

E”-qd)

u=u=-(U4

CCB222-2ES

0

uu

注意:因?yàn)镃片帶電,所以U#一,若C片不帶電，顯然u=——

c2c2

8-27在半徑為R的金屬球之外包有一層外半徑為R的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常

數(shù)為8,金屬球帶電Q.試求：

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)；

(3)金屬球的電勢(shì).

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理jj.dSq

s

⑴介質(zhì)內(nèi)(R<r<R)場(chǎng)強(qiáng)

I2

D=J!-,E=:

413內(nèi)4兀88r3,

0r

介質(zhì)外(rvR)場(chǎng)強(qiáng)

2

15=2!—.E=0尸

4叮3,外4兀Er3

o

(2)介質(zhì)外(「>口2)電勢(shì)

u=I,E-dr=.Q

「外4JIXr

介質(zhì)內(nèi)(R<r?R)電勢(shì)

U=f?E，dr+fooE'dr

r內(nèi)，并

a

1J.Q

(-----)+

4元88rR4兀ER

0r02

Q1.￡-1

(-H-----)

4兀88rR

0r2

(3)金屬球的電勢(shì)

U二f巳'df+f]<E"dr

=f；Qdr;100Qdr

R4?！辍?

0r2R4?！?/p>

Q'(X一)。

4兀8CRR

0rI

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為8的電介質(zhì).試

求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為E,真空部分場(chǎng)強(qiáng)為E,自由電荷面密度

分用物與2-c2

由.II得

D=a1D=a

1122

而D=cE,D=￡￡E

I012Or2

E=E=—

i2d

aD

?=-—=8

aI2>.

題8-28圖題8