常微分方程的發(fā)展史

常微分方程的發(fā)展史常微分方程的發(fā)展史摘要：20世紀(jì)以來,隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展,也出現(xiàn)不少新型的微分方程（特別是方程組）.70年代隨著數(shù)學(xué)向化學(xué)和生物學(xué)的滲透,出現(xiàn)了大量的反應(yīng)擴(kuò)散方程.從“求通解”到“求解定解問題”數(shù)學(xué)家們首先發(fā)現(xiàn)微分方程有無窮個(gè)解.常微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意常數(shù),其個(gè)數(shù)就是方程的階數(shù).偏微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意函數(shù),其個(gè)數(shù)隨方程的階數(shù)而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）作盡可能的變化,人們就可能得到方程所有的解,于是數(shù)學(xué)家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”.在很長一段時(shí)間里,人們致力于“求通解”.關(guān)鍵詞：常微分方程，發(fā)展，起源正：常微分方程是由用微積分處理新問題而產(chǎn)生的，它主要經(jīng)歷了創(chuàng)立及解析理論階段、定性理論階段和深入發(fā)展階段。17世紀(jì)，牛頓(I.Newton，英國，1642-1727)和萊布尼茲(G.W.Leibniz，德國，1646-1716)發(fā)明了微積分，同時(shí)也開創(chuàng)了微分方程的研究最初，牛頓在他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理機(jī)(1687年)中，主要研究了微分方程在天文學(xué)中的應(yīng)用，隨后微積分在解決物理問題上逐步顯示出了巨大的威力。但是，隨著物理學(xué)提出日益復(fù)雜的問題，就需要更專門的技術(shù)，需要建立物理問題的數(shù)學(xué)模型，即建立反映該問題的微分方程。1690年，雅可比·伯努利(JakobBernouli，瑞士，1654-1705)40年代，一階常微分方程的初等方法都已清楚了，與此相聯(lián)系，通解與特解的問題也弄清楚了。

1734年，克萊羅在他的著作中處理了現(xiàn)在以他的名字命名的方程，他給出了一個(gè)新的解，從而提出了奇解的問題。奇解是不能通過給積分常數(shù)以一個(gè)確定的值由通解來求得。歐拉、拉普拉斯(P.S.Laplace，法國，1749-1827)、達(dá)朗貝爾(J.Alembert，法國，1717-1783)都涉及奇解這個(gè)問題，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813)對(duì)奇解與通解的聯(lián)系作了系統(tǒng)的研究，他給出了從通解消去常數(shù)項(xiàng)從而得到奇解的一般方法．但在奇解理論中，有些特殊的困難他并沒有認(rèn)識(shí)到。奇解的完整理論是19世紀(jì)發(fā)展起來的。其中黎曼(G.Riemann，德國，1826-1866)作出了突出的貢獻(xiàn)。

1728年，歐拉由于力學(xué)問題的推動(dòng)，把一類二階微分方程用變量替換成一階微分方程組，這標(biāo)志著二階方程的系統(tǒng)研究的開始。此后，歐拉完整地解決了常系數(shù)線性齊次方程的求解問題和非齊次的n階線性常微分方程的求解問題。拉格朗日在1762年至1765年間又對(duì)變系數(shù)齊次線性微分方程進(jìn)行了研究。

在18世紀(jì)前半葉，常微分方程的研究重點(diǎn)是對(duì)初等函數(shù)施行有限次代數(shù)運(yùn)算、變量代換和不定積分把解表示出來：至18世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們又討論了求線性常微分方程解的常數(shù)變易法和無窮級(jí)數(shù)解法等方法：至18世紀(jì)末，常微分方程己發(fā)展成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。

19世紀(jì)，柯西(A.L.Cauchy，法國，1789-185)、劉維爾(J.Liouville，法國，1809-1882)、維爾斯特拉斯(K.Weierstrass，德國，1815-1879)和皮卡(E.Picard，法國，1865-1941)對(duì)初值問題的存在唯一性理論作了一系列研究，建立了解的存在性的優(yōu)勢函數(shù)、逐次逼近等證明方法。這些方法又可應(yīng)用于高階常微分方程和復(fù)數(shù)域中的微分方程組法國數(shù)學(xué)家龐加萊(H.Poincare，1854-1912)和俄國的李雅普諾夫(Liapunov，1857-1918)共同奠定了穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)。自群論引入常微分方程后，使常微分方程的研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向解析理論和定性理論。19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家龐加萊連續(xù)發(fā)表了4篇文章，依賴幾何拓?fù)渲庇^對(duì)定性理論進(jìn)行了研究，李雅普諾夫應(yīng)用十分嚴(yán)密的分析法又進(jìn)行了研究，從而奠定了微分方程定性理論的基礎(chǔ)。由于行星或衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題，周期解的重要性提到日程上來。西格爾(L.Siegel，德國，1896-1981)創(chuàng)立了周期系統(tǒng)的線性齊次微分方程的數(shù)學(xué)理論。在1877年的論文中，他求出了對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的諸微分方程確定一個(gè)近似于實(shí)際觀察到的運(yùn)動(dòng)的周期解，并證明了二階微分方程有周期解．

20世紀(jì)，微分方程進(jìn)入了廣泛深入發(fā)展階段。隨著大量的邊緣學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了不少新型的微分方程(組)，微分方程在無線電、飛機(jī)飛行、導(dǎo)彈飛行、化學(xué)反應(yīng)等方面得到了廣泛的應(yīng)用，從而進(jìn)一步促進(jìn)了這一學(xué)科的發(fā)展，使之不斷完善，對(duì)它的研究也從定性上升到定量階段。像動(dòng)力系統(tǒng)、泛函微分方程、奇異攝動(dòng)方程以及復(fù)域上的定性理論等等都是在傳統(tǒng)微分方程的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新分支。參