連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間傅里葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換

頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜分析第2頁,共86頁，2024年2月25日，星期天我們回憶一下：注：第3頁,共86頁，2024年2月25日，星期天注：為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)（頻譜系數(shù)）第4頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共86頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)T0趨于無窮時(shí)，周期信號(hào)則變成了非周期信號(hào)第7頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1．從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換討論周期T增加對(duì)離散譜的影響：

周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為T趨于無窮大時(shí)，傅里葉系數(shù)趨于無窮小，為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性引入了頻譜密度的概念，也就是傅里葉變換。第9頁,共86頁，2024年2月25日，星期天物理意義:F(jw)是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜，稱之為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，為了和傅立葉級(jí)數(shù)統(tǒng)一，也簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。

單位頻率因?yàn)椋悍Q為：傅里葉變換第10頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2.頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別(1)周期信號(hào)的頻譜為離散頻譜，

非周期信號(hào)的頻譜為連續(xù)頻譜。(2)周期信號(hào)的頻譜為Cn的分布，表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅非周期信號(hào)的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。兩者關(guān)系：第11頁,共86頁，2024年2月25日，星期天物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無數(shù)個(gè)頻率為

，復(fù)振幅為[F(

)/2p]d

的復(fù)指數(shù)信號(hào)ejwt的線性組合。T

,記nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里葉反變換第12頁,共86頁，2024年2月25日，星期天傅立葉正變換：傅立葉反變換：符號(hào)表示：第13頁,共86頁，2024年2月25日，星期天狄里赫萊條件注意：對(duì)于傅立葉變換，狄里赫萊條件是充分不必要條件（1）非周期信號(hào)在無限區(qū)間上絕對(duì)可積（充分非必要條件）（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)最大值和最小值（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號(hào)僅有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且這些點(diǎn)必須是有限值。第14頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例題]試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)

[解]非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為由傅立葉正變換定義式，可得第15頁,共86頁，2024年2月25日，星期天分析：2.周期信號(hào)的離散頻譜可以通過對(duì)非周期信號(hào)的

連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3.信號(hào)在時(shí)域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。4.信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過零點(diǎn)

之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.脈沖寬度

越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。

即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用

的頻帶越寬。

1.非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀

與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線相似。第16頁,共86頁，2024年2月25日，星期天常見連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜常見非周期信號(hào)的頻譜(頻譜密度)

單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|

單位沖激信號(hào)

(t)

直流信號(hào)符號(hào)函數(shù)信號(hào)單位階躍信號(hào)u(t)

常見周期信號(hào)的頻譜密度虛指數(shù)信號(hào)正弦型信號(hào)單位沖激序列第17頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.常見非周期信號(hào)的頻譜(1)單邊指數(shù)信號(hào)幅度頻譜為相位頻譜為第18頁,共86頁，2024年2月25日，星期天單邊指數(shù)信號(hào)及其幅度頻譜與相位頻譜第19頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(2)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|

幅度頻譜為

相位頻譜為第20頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(3)單位沖激信號(hào)δ(t)

單位沖激信號(hào)及其頻譜第21頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(4)直流信號(hào)

直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。第22頁,共86頁，2024年2月25日，星期天對(duì)照沖激、直流時(shí)頻曲線可看出:時(shí)域持續(xù)越寬的信號(hào)，其頻域的頻譜越窄；時(shí)域持續(xù)越窄的信號(hào)，其頻域的頻譜越寬。直流信號(hào)及其頻譜第23頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（5）符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)定義為第24頁,共86頁，2024年2月25日，星期天符號(hào)函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜第25頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(6)單位階躍信號(hào)u(t)

單位階躍信號(hào)及其頻譜第26頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2常見周期信號(hào)的頻譜

(1)虛指數(shù)信號(hào)同理:第27頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（2）正弦型信號(hào)余弦信號(hào)及其頻譜函數(shù)第28頁,共86頁，2024年2月25日，星期天正弦信號(hào)及其頻譜函數(shù)0w0w-w)(p)(p0)(wF第29頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（3）一般周期信號(hào)

兩邊同取傅立葉變換

第30頁,共86頁，2024年2月25日，星期天（4）單位沖激序列

因?yàn)?/p>

T(t)為周期信號(hào)，先將其展開為指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)：第31頁,共86頁，2024年2月25日，星期天單位沖激序列及其頻譜函數(shù)第32頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.線性特性

2.共軛對(duì)稱特性3.對(duì)稱互易特性

4.展縮特性

5.時(shí)移特性6.頻移特性7.時(shí)域卷積特性

8.頻域卷積特性9.時(shí)域微分特性10.積分特性

11.頻域微分特性12.能量定理傅里葉變換的基本性質(zhì)第34頁,共86頁，2024年2月25日，星期天1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。第35頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2.共軛對(duì)稱特性當(dāng)f(t)為是實(shí)函數(shù)時(shí)，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

f(w)=-f(-w)F(jw)為復(fù)數(shù)，可以表示為第36頁,共86頁，2024年2月25日，星期天3．時(shí)移特性

式中t0為任意實(shí)數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得信號(hào)在時(shí)域中的時(shí)移，對(duì)應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。

第37頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例1]試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號(hào)f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。[解]無延時(shí)且寬度為

的矩形脈沖信號(hào)f(t)如右圖，因?yàn)楣?，由延時(shí)特性可得其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為第38頁,共86頁，2024年2月25日，星期天4.展縮特性

證明:令x=at，則dx=adt，代入上式可得時(shí)域壓縮，則頻域展寬；時(shí)域展寬，則頻域壓縮。第39頁,共86頁，2024年2月25日，星期天0wtA2)2(2wFtptp-0wtA)(wFtp2tp2-)2(tftA4t4t-)(21tftt-t0)(tft2t2t-0wtA21)21(21wFtp4tp4-第40頁,共86頁，2024年2月25日，星期天5.互易對(duì)稱特性

第41頁,共86頁，2024年2月25日，星期天6.頻移特性（調(diào)制定理）

若

f(t)

F(jw)式中

0為任意實(shí)數(shù)證明：

由傅立葉變換定義有則第42頁,共86頁，2024年2月25日，星期天信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來信號(hào)頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理第43頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

[例2]試求矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosw0t相乘后信號(hào)的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻移特性可得[解]已知寬度為

的矩形脈沖信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為第44頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時(shí)間域相乘頻率域卷積第45頁,共86頁，2024年2月25日，星期天思考：我們?nèi)绾位謴?fù)原始信號(hào)f(t)?即解調(diào)！幅度調(diào)制：在時(shí)間域，一個(gè)信號(hào)和另一個(gè)信號(hào)相乘，相應(yīng)的，在頻率域，把信號(hào)的頻譜從低頻搬移到高頻。幅度解調(diào)：在頻率域，把信號(hào)的頻譜從高頻搬移到低頻。第46頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時(shí)間域相乘頻率域卷積第47頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時(shí)間域相乘頻率域卷積第48頁,共86頁，2024年2月25日，星期天7.時(shí)域微分特性則若

f(t)

F(jw)第49頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

[例3]試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。

[解]

由時(shí)域微分特性

因此有第50頁,共86頁，2024年2月25日，星期天8.積分特性

若信號(hào)不存在直流分量，即F(0)=0則若

f(t)

F(jw)則第51頁,共86頁，2024年2月25日，星期天9.頻域微分特性則若

f(t)

F(jw)將上式兩邊同乘以j得證明：第52頁,共86頁，2024年2月25日，星期天[例4]試求單位斜坡信號(hào)tu(t)的傅立葉變換。

[解]已知單位階躍信號(hào)傅立葉變換為:利用頻域微分特性可得:第53頁,共86頁，2024年2月25日，星期天10.時(shí)域卷積特性證明：第54頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例5：求三角脈沖的頻譜三角脈沖可看成兩個(gè)同樣矩形脈沖的卷積卷乘FTFT第55頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共86頁，2024年2月25日，星期天11.頻域卷積特性(調(diào)制特性)證明：第57頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例6：求單個(gè)余弦脈沖的頻譜第58頁,共86頁，2024年2月25日，星期天乘FTFT卷第59頁,共86頁，2024年2月25日，星期天12.非周期信號(hào)的能量譜密度

由于信號(hào)f(t)為實(shí)數(shù)，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式為第60頁,共86頁，2024年2月25日，星期天信號(hào)的能量可以由|F(jw)|2在整個(gè)頻率范圍的積分乘以1/2

來計(jì)算。

物理意義：非周期能量信號(hào)的歸一化能量在時(shí)域中與在頻域中相等，保持能量守恒。能量頻譜密度函數(shù)(能量頻)：?jiǎn)挝唤穷l率的信號(hào)能量帕什瓦爾能量守恒定理第61頁,共86頁，2024年2月25日，星期天線性特性

對(duì)稱互易特性展縮特性

時(shí)移特性

5.頻移特性傅立葉變換性質(zhì)一覽表第62頁,共86頁，2024年2月25日，星期天時(shí)域卷積特性 頻域卷積特性時(shí)域微分特性積分特性 10.頻域微分特性

第63頁,共86頁，2024年2月25日，星期天非周期信號(hào)頻域分析小結(jié)重要概念:非周期信號(hào)的頻譜1)非周期信號(hào)的頻譜與周期信號(hào)的頻譜的區(qū)別2)非周期信號(hào)頻譜的物理意義3)非周期信號(hào)頻譜的分析方法:應(yīng)用常用基本信號(hào)的傅里葉變換與傅里葉變換的性質(zhì)分析問題使用的數(shù)學(xué)工具:傅里葉變換工程應(yīng)用:調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用第64頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

離散時(shí)間Fourier變換（DTFT）

DTFT的定義

DTFT的性質(zhì)

內(nèi)插和抽取信號(hào)的頻譜常見DTFT變換對(duì)第65頁,共86頁，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定義第66頁,共86頁，2024年2月25日，星期天所以，我們定義連續(xù)函數(shù)在的抽樣值等于DFS系數(shù)Fm回憶：離散周期信號(hào)系數(shù)DFS第67頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第68頁,共86頁，2024年2月25日，星期天第69頁,共86頁，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定義

DTFT

1)

F(ejW)是連續(xù)的

IDTFT

2)

F(ejW)是周期為2

的周期函數(shù)

F(ejW)特點(diǎn)：第70頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：第71頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例2解：第72頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例3利用泊松求和公式可得：解：第73頁,共86頁，2024年2月25日，星期天二、DTFT性質(zhì)1.

線性特性第74頁,共86頁，2024年2月25日，星期天二、DTFT性質(zhì)2.

對(duì)稱特性當(dāng)

f[k]是實(shí)序列時(shí):F(ejW)可表示為若

f[k]實(shí)偶對(duì)稱，則F(e