10分析動力學(xué)9Kane方法(課堂)

2Page1清華大學(xué)航天航空學(xué)院王天舒（tswang@）分析動力學(xué)之

Kane方程2Page2本節(jié)內(nèi)容建立動力學(xué)方程的方法：牛頓歐拉方法：方程簡單，但需考慮約束力是否有類似于牛頓方法的最少變量方法？第二類拉氏方程：不考慮約束力，只用到速度，要求導(dǎo)第一類拉氏方程：可處理非完整約束，引入代數(shù)方程Apell方程：引入偽速度，需計算加速度如何取得最少變量：笛卡爾坐標(biāo)廣義坐標(biāo)廣義速度偽速度如何建立方程2Page3偏速度：質(zhì)點系由N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，有f=3N-r-s個自由度，廣義速度：偽速度：廣義速率偏速度廣義速率本質(zhì)上為偽速度，標(biāo)量偏速度的作用是賦予廣義速率以方向性，矢量。偽速度可以看成是真實速度在偏速度上的投影。2Page4質(zhì)點系的Kane方程質(zhì)點速度的變分可以表示為：虛功率原理：定義廣義主動力：定義廣義慣性力：Kane方程：各廣義速率所對應(yīng)的廣義主動力和廣義慣性力之和為0將力投影到偽速度上所得到的平衡方程。2Page5牛頓方法虛功率原理變量(坐標(biāo))：基本方程：Kane方法獨立變量(偽速度)基本方程：消去約束力，減少變量數(shù)速度變分不一定獨立其中：方程是否僅含有廣義速率而不包含廣義坐標(biāo)？質(zhì)點系Kane方程的基本思路2Page6例1：質(zhì)點系的Kane方程廣義速率：質(zhì)點的速度為：偏速度：主動力：廣義主動力：2Page7慣性力：廣義慣性力：例1：質(zhì)點系的Kane方程2Page8例1：質(zhì)點系的Kane方程2Page9偏速度：剛體設(shè)剛體B上的P1,P2,…,PN點處分別作用有主動力F1,F2,…,FN。取剛體的上的O點為基點，取偽速度為u1,u2,…,uf。設(shè)剛體基點O的速度、角速度與偽速度的關(guān)系是：偏角速度偏速度剛體上的任意一點P的速度為P點的偏速度為剛體上任一點的偏速度可以表示為基點的偏速度的函數(shù)2Page10廣義主動力為:利用體積公式F是外力的主矢量Lo是外力的主矩剛體的廣義主動力2Page11剛體的廣義慣性力廣義慣性力為:令2Page12剛體的廣義慣性力2Page13剛體的廣義慣性力2Page14廣義慣性力為：當(dāng)O與質(zhì)心C重合時，因此Kane方程為：為了與廣義主動力形式一樣廣義慣性力寫為剛體的Kane方程2Page15牛頓歐拉方法變量(坐標(biāo))：基本方程：隨體坐標(biāo)系原點取在質(zhì)心上：虛功率原理Kane方法獨立變量(偽速度)Kane方法的解題步驟：廣義坐標(biāo)偽速度加速度廣義力剛體Kane方程的基本思路2Page16例2：剛體定點轉(zhuǎn)動解：設(shè)OXYZ為參考坐標(biāo)系，oxyz為固連的主軸坐標(biāo)系。設(shè)外力對O點的力矩為LO。oxyzXYZ以歐拉角為廣義坐標(biāo)。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量矩陣為剛體的角速度：偽速度選為：（這樣選偽速度保證了廣義速度的反解存在）角速度用偽速度表示為：因此，可以“看出”偏角速度為：2Page17剛體的角加速度：在動系oxyz中求導(dǎo)：角加速度用廣義速度表示會復(fù)雜得多：角加速度在動系和慣性系中是一樣的。根據(jù)定義，廣義主動力為：由于因此例2：剛體定點轉(zhuǎn)動2Page18例2：剛體定點轉(zhuǎn)動廣義慣性力為：以r＝1為例進(jìn)行計算：因此得到類似求出代入Kane方程，得到這正是描述剛體運動的歐拉方程2Page19為什么會這樣？這的確是歐拉動力學(xué)方程。這可作為特例檢驗Kane方程是否正確。向i,j,k方向投影如果一個矢量向i,j,k方向投影都為零，則該矢量為零。例2：剛體定點轉(zhuǎn)動2Page20例3：非完整系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)定義廣義速率：質(zhì)心的速度：角速度：偏速度和偏角速度：質(zhì)心的加速度：角加速度：OxyvA

CAe1e22Page21外力垂直于偽速度：OxyvA

CAe1e2廣義慣性力：系統(tǒng)方程：或：例3：非完整系統(tǒng)2Page22例4：復(fù)雜平面問題q1q2q3q4e1e2OijCP圓盤在平面上運動，質(zhì)量為M，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JC。其上有光滑小槽，一小球通過彈簧可作相對直線運動。小球質(zhì)量為m，彈簧系數(shù)為k，原長為l0。為方便設(shè)圓盤質(zhì)心C在小槽中。試建立系統(tǒng)運動微分方程。解：建立坐標(biāo)系。選廣義坐標(biāo)q1,q2,q3,q4。運動分析2Page23例4：復(fù)雜平面問題q1q2q3q4e1e2OijCP選偽速度反解存在則求偏速度2Page24例4：復(fù)雜平面問題設(shè)系統(tǒng)所受力、力矩為：彈簧力是內(nèi)力，如何處理？廣義主動力為：q1q2q3q4e1e2OijCP2Page25例4：復(fù)雜平面問題廣義慣性力力為：q1q2q3q4e1e2OijCP2Page26例4：復(fù)雜平面問題如何檢驗方程是否正確？首先對方程進(jìn)行量綱檢查。e1方向動量定理動量矩定理相對運動方程e2方向動量定理q1q2q3q4e1e2OijCP其次考察方程的物理意義。2Page27例4：復(fù)雜平面問題質(zhì)心運動定理非慣性系中的相對運動方程達(dá)朗貝爾原理等價2Page28例4：復(fù)雜平面問題q1q2q3q4Oe1e2ijCPmap2map1P點慣性力對C點的力矩圓盤對C點的慣性力矩2Page29例4：復(fù)雜平面問題根據(jù)方程的物理意義，可能容易發(fā)現(xiàn)（用紅色表示的）錯誤（1）以系統(tǒng)為研究對象時，彈簧力k(q4-l0)是內(nèi)力，在動量定理中不應(yīng)出現(xiàn)。（2）在e2方向上應(yīng)用動量定理，運動及外力均沿坐標(biāo)正方向。（3）P點慣性力對C點取矩時，不應(yīng)出現(xiàn)徑向分量。（4）研究P點相對運動時，彈簧力是外力要出現(xiàn)。2Page30例4：復(fù)雜平面問題退化檢查。第1種情況，假設(shè)圓盤不動，只有小球相對運動主動力作用在圓盤上，但怎樣才能使圓盤不動呢？這正是希望得到的結(jié)果。但這是什么意思？2Page31例4：復(fù)雜平面問題第2種情況，假設(shè)圓盤作定軸轉(zhuǎn)動，小球相對不動這正是希望得到的結(jié)果。質(zhì)心運動的簡單情況與第1式不協(xié)調(diào)？小球如何才能“相對不動”？或者是去掉彈簧，但在小球上作用一個力F1；或者不去掉彈簧，但k為無窮大且彈簧在原長位置。2Page32例4：復(fù)雜平面問題

當(dāng)然還可以有其它可能的退化情況。在退化的情況下，某個方程應(yīng)該是我們事先所期望的結(jié)果，