醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、函數(shù)的瞬時(shí)變化率三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系二、導(dǎo)數(shù)的定義第二章一元函數(shù)微分學(xué)1一、函數(shù)的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率.2例2-1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度取極限得設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線做變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為求時(shí)刻的瞬時(shí)速度.平均速度瞬時(shí)速度3

例2-2傷口的愈合一般要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程.設(shè)是傷口面積,是時(shí)間,則是時(shí)間段上的變化量.表示傷口在愈合,表示傷口在潰爛.而表示這一段時(shí)間里的平均變化量.若時(shí),的平均變化量的極限存在,則就是時(shí)刻的瞬時(shí)變化率.4例2-3.細(xì)胞的增殖速度

設(shè)增殖細(xì)胞在某一時(shí)刻的總數(shù)為,顯然是時(shí)間

的函數(shù)求細(xì)胞在時(shí)刻的瞬時(shí)增長(zhǎng)率.從變化到這段時(shí)間內(nèi),細(xì)胞的平均增長(zhǎng)率為取極限得瞬時(shí)增長(zhǎng)率=5二、導(dǎo)數(shù)的定義定義2-16導(dǎo)數(shù)定義其它常見(jiàn)形式：即7１．單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):注意：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：（1）2．導(dǎo)函數(shù)8很明顯：[]ba,都存在，就說(shuō))(xf在閉區(qū)間上可導(dǎo).如果)(xf在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且及（2）9例2-4已知函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)及

解:先求導(dǎo)函數(shù),按照“取增量、算比值、求極限”三步進(jìn)行計(jì)算所以10例2-5設(shè)傷口愈合過(guò)程中，傷口面積是時(shí)間的函數(shù)．Carrel和Hartmann認(rèn)為是指數(shù)函數(shù)：,是最初的傷口面積，是由傷口類型和治療條件決定的參數(shù)常數(shù)．根據(jù)一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，確定出.若不要求非常精確,則?。嚽蟮淖兓剩?仍按三步套路11

練習(xí):

據(jù)1985年人口調(diào)查,我國(guó)有10.15億人口,人口平均年增長(zhǎng)率為1.489％,根據(jù)馬爾薩斯(Malthus)人口理論,我國(guó)人口增長(zhǎng)模型為其中，代表年數(shù),并定義1985年為這個(gè)模型的起始年.按照此模型可以預(yù)測(cè)我國(guó)在2005年人口將有13.6710億.求我國(guó)人口增長(zhǎng)率函數(shù)?12三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線：割線的極限

割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.MTNNNN13當(dāng)所以14切線方程為法線方程為所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為:15例2-6所求切線方程為法線方程為

解：由例2-4有，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為16

可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的．證明：四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由極限與無(wú)窮小的關(guān)系即其中17比如解：反之不成立.即連續(xù)不一定可導(dǎo)．18

例2-7討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解：

在討論在處的可導(dǎo)性時(shí)