2024年杭州市學(xué)軍中學(xué)高三數(shù)學(xué)4月模擬測試卷附答案解析

年杭州市學(xué)軍中學(xué)高三數(shù)學(xué)4月模擬測試卷全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘2024.4注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，找出每小題答案后，用鉛筆將對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦千凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.不選?多選?錯(cuò)選均不得分.1．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）2．設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（

）A．1 B． C． D．3．設(shè)集合，則（

）A．B．C． D．4．已知，，則（

）A． B． C． D．5．波斯詩人奧馬爾?海亞姆于十一世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的幾何求解方法.在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)在軸上，以為直徑的圓與拋物線：交于點(diǎn)，.已知是方程的一個(gè)解，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．小蔣同學(xué)喜歡吃餃子，某日他前往食堂購買16個(gè)餃子，其中有個(gè)為香菇肉餡，其余為玉米肉餡，且.在小蔣吃到的前13個(gè)餃子均為玉米肉餡的條件下，這16個(gè)餃子全部為玉米肉餡的概率為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．以半徑為1的球的球心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，與球相切的平面分別與軸交于三點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C．18 D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．的值域?yàn)?D．在單調(diào)遞增10．在對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，若兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個(gè)待定參數(shù)的非線性模型，并引入中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項(xiàng)為四個(gè)同學(xué)根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖建立的非線性模型，且散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)均位于第一象限，則其中可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（

）A．B．C． D．11．已知是方程的兩根，數(shù)列滿足，，.

滿足，其中.

則（

）A．B．C．存在實(shí)數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有D．不存在實(shí)數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線斜率為，則的離心率為.13．將個(gè)棱長為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點(diǎn)與下層正方體上底面棱的中點(diǎn)重合.設(shè)最下方正方體的下底面的中心為，過的直線與平面垂直，以為頂點(diǎn)，為對稱軸的拋物線在的部分可以被完全放入立體圖形中.若，則的最小值為；若有解，則的最大值為.14．若函數(shù)（其中）在區(qū)間上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．平面兩兩平行，且與的距離均為.已知正方體的棱長為1，且.(1)求；(2)求與平面夾角的余弦值.16．斜二測畫法是一種常用的工程制圖方法，在已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖畫成平行于軸（由軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到）的線段，且長度為原來的，平行于軸的線段不變.如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為.定義如下圖像變換：表示“將圖形用斜二測畫法變形后放回原直角坐標(biāo)系”；表示“將圖形的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸為原來的倍”.

(1)記正方形經(jīng)過兩次變換后所得圖形為，求的坐標(biāo)；(2)在第次復(fù)合變換中，將圖形先進(jìn)行一次變換，再進(jìn)行一次變換，.記正方形進(jìn)行次復(fù)合變換后所得圖形為.過作的垂線，垂足為，若恒成立，求的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大值；(3)若在區(qū)間存在零點(diǎn)，求的取值范圍.18．設(shè)雙曲線，直線與交于兩點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)已知上存在異于的兩點(diǎn)，使得.（i）當(dāng)時(shí)，求到點(diǎn)的距離（用含的代數(shù)式表示）；（ii）當(dāng)時(shí)，記原點(diǎn)到直線的距離為，若直線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍.19．在概率較難計(jì)算但數(shù)據(jù)量相當(dāng)大?誤差允許的情況下，可以使用UnionBound（布爾不等式）進(jìn)行估計(jì)概率.已知UnionBound不等式為：記隨機(jī)事件，則.其誤差允許下可將左右兩邊視為近似相等.據(jù)此解決以下問題：(1)有個(gè)不同的球，其中個(gè)有數(shù)字標(biāo)號.每次等概率隨機(jī)抽取個(gè)球中的一個(gè)球.抽完后放回.記抽取次球后個(gè)有數(shù)字標(biāo)號的球每個(gè)都至少抽了一次的概率為，現(xiàn)在給定常數(shù)，則滿足的的最小值為多少？請用UnionBound估計(jì)其近似的最小值，結(jié)果不用取整.這里相當(dāng)大且遠(yuǎn)大于；(2)然而實(shí)際情況中，UnionBound精度往往不夠，因此需要用容斥原理求出精確值.已知概率容斥原理：記隨機(jī)事件，則.試問在（1）的情況下，用容斥原理求出的精確的的最小值是多少（結(jié)果不用取整）？相當(dāng)大且遠(yuǎn)大于.（1）（2）問參考數(shù)據(jù)：當(dāng)相當(dāng)大時(shí)，取.1．B【解析】把復(fù)數(shù)化為代形式，然后得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)在第二象限得出結(jié)論．【詳解】，對應(yīng)點(diǎn)為，由題意，解得．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．D【分析】首先根據(jù)投影向量公式求的值，再代入向量模的公式求解.【詳解】，在方向上的投影向量為，所以，所以.故選：D3．C【分析】由不等式性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值8，利用對進(jìn)行放縮，然后結(jié)合基本不等式可得的最小值為4，得集合A；解一元二次不等式求出集合B，然后由交集運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，得，又，所以，?dāng)時(shí)，取得最大值8；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為4，所以.由解得，所以.故選：C4．A【分析】將題干兩式兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系及兩角和的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，，兩式相加可得，所?故選：A5．A【分析】求得以為直徑的圓的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去，可得的方程，由題意考慮兩個(gè)三次方程有相同的解，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為，與拋物線聯(lián)立，可得，化簡可得，由于，可得，的橫坐標(biāo)相等，則方程和方程有相同的解，即有，解得，則．故選：A．6．C【分析】記事件：16個(gè)餃子中有i個(gè)香菇肉餡餃子，，事件B：吃到的前13個(gè)餃子均為玉米肉餡餃子.先利用全概率公式求，然后再由條件概率公式可得.【詳解】記事件：16個(gè)餃子中有i個(gè)香菇肉餡餃子，，事件B：吃到的前13個(gè)餃子均為玉米肉餡餃子.則，，，，當(dāng)時(shí)，，由題知，，所以，又，所以.故選：C7．A【分析】利用函數(shù)與方程的思想將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)并畫出函數(shù)的圖象求得切線方程，再由數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】由可得，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；設(shè)，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：切線與在軸上的截距分別為,當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A8．C【分析】不妨設(shè)、、均在正半軸，設(shè)球與平面切于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，由勾股定理求出，利用三角形相似求出，即可求出，再通過證明平面得到，則，再由三角形相似得到，最后利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)、、均在正半軸，設(shè)球與平面切于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，則平面，平面，平面，所以，又，所以，即，又，，所以，則，所以，又平面，平面，所以，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為.故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，推導(dǎo)出、，利用勾股定理轉(zhuǎn)化計(jì)算，結(jié)合基本不等式求出最小值.9．ACD【分析】對于A選項(xiàng)，利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；對于B選項(xiàng)，利用周期性的定義進(jìn)行判斷即可；對于C選項(xiàng)，首先證明函數(shù)的周期為，然后分與兩種情況分別討論函數(shù)的值域，進(jìn)而進(jìn)行判斷選項(xiàng)的正誤即可；對于D選項(xiàng)，當(dāng)可得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，已知且定義域?yàn)椋捎?，得是偶函?shù)，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，得的最小正周期不是，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由于，得的周期為，當(dāng)時(shí)，，由于，得，故當(dāng)時(shí)，，由于，得，故.綜上所述可得的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于，得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可知在是單調(diào)遞增.故D選項(xiàng)正確.故選：ACD10．ABC【分析】將非線性模型，通過變形轉(zhuǎn)化為線性模型，再利用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析．【詳解】對于選項(xiàng)A：，令則；對于選項(xiàng)B：令；對于選項(xiàng)C：即令則；對于選項(xiàng)D：令則此時(shí)斜率為，與最小二乘法不符．故選：ABC11．ABC【分析】先證明，，然后對于A，可直接使用驗(yàn)證；對于B，使用和即可驗(yàn)證；對于C和D，直接使用即可驗(yàn)證.【詳解】由于是方程的兩根，故，.并可解出，.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的正整數(shù)，有.當(dāng)時(shí)，由知，故，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)，以及時(shí)結(jié)論都成立，這里，則，.此時(shí)有，故結(jié)論對也成立.綜上，對任意的正整數(shù)，有.由于是偶數(shù)，且由知是偶數(shù)，且，可知每個(gè)都是偶數(shù).所以，故.而，故.又因?yàn)?，故，從?所以.構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，則，可得成立.由于，知，.

故，即.對于A，有，故A正確；對于B，有，故B正確；對于C，由于，故存在實(shí)數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有，故C正確；對于D，由于，故存在實(shí)數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，先研究數(shù)列的各個(gè)性質(zhì)，得到和，相比直接通過題目條件判斷選項(xiàng)，這樣做四個(gè)選項(xiàng)將更加容易判斷.12．##【分析】利用斜率計(jì)算公式、離心率計(jì)算公式即可得出結(jié)論.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線斜率為，則,即，可知其焦點(diǎn)在軸上，則的離心率為.故答案為：13．【分析】將命題轉(zhuǎn)化為對任意的，在時(shí)恒有成立，然后研究不等式，再次轉(zhuǎn)化為，且，最后根據(jù)題目要求討論即可.【詳解】拋物線的一部分可以被完全放入立體圖形中，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的，在時(shí)恒有成立.即對任意的，有，，此即，.這等價(jià)于，且對任意的，有.由于當(dāng)時(shí)必有，故條件等價(jià)于，且當(dāng)時(shí)，必有.這等價(jià)于，且當(dāng)時(shí)，必有，即，令即，且當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，由于關(guān)于遞增，故條件等價(jià)于，且.回到原題.當(dāng)時(shí)，條件等價(jià)于，所以的最小值為；若有解，則等價(jià)于或，即，解得.結(jié)合是正整數(shù)，知的最大值為.故答案為：4；2.14．【分析】分別分析和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可，同時(shí)要注意重根問題的檢驗(yàn).【詳解】當(dāng)，設(shè)，，則為開口向上的二次函數(shù)，，①當(dāng)，有唯一解，此時(shí)，，此時(shí)有三個(gè)解，且均不為3，符合題意；②當(dāng)，無解，故區(qū)間上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，符合題意；③當(dāng)，的對稱軸，且，（i）當(dāng)，，此時(shí)有兩個(gè)解：2和5，，此時(shí)有三個(gè)解，且與的解2，5不重合，不合題意，（ii）當(dāng)，且，此時(shí)有兩個(gè)解，且均屬于，，若有2個(gè)解，故，解得，則，舍去；（iii）若有3個(gè)解，故，解得，若此時(shí)有2個(gè)解，則必須有1個(gè)重根，下面檢驗(yàn)重根情況：，則，的3個(gè)解為，且，，，故重根可能為，，.令，，解得，當(dāng)重合，若，則（），解得，滿足題意；若，則，即，無解；若，，即，無解；當(dāng)重合，若，則，解得（舍去）；若，則，解得，符合題意；若，則，即，無解，舍去；（iv）當(dāng)，，此時(shí)有1個(gè)解，設(shè)為m，則，，故，解得，又，綜合得，同理（iii）的分析，，，此時(shí)有三個(gè)解，且與的解不重合，符合題意，綜上所述：或或故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)特征討論判別式及區(qū)間端點(diǎn)與5的關(guān)系.15．(1)(2)【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究點(diǎn)面距離計(jì)算即可；（2）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【詳解】（1）

如圖所示，建立以D為中心的空間直角坐標(biāo)系，易知，則，設(shè)平面的一個(gè)單位法向量為，顯然也是平面的一個(gè)法向量，由點(diǎn)到面的距離公式知：，或，即，又，所以可得，此時(shí)，或，此時(shí)故；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，易知，則，取，即，設(shè)與平面夾角為，則，即與平面夾角的余弦值為.16．(1)，(2)【分析】（1）將題目中涉及的變換通過2*2數(shù)表呈現(xiàn)，然后研究復(fù)合變換的表示法，再求得結(jié)果；（2）先求得次復(fù)合變換對應(yīng)的數(shù)表，然后計(jì)算出的坐標(biāo)，最后利用數(shù)列作為工具將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列不等式的恒成立問題，再通過討論求出的取值范圍.【詳解】（1）先進(jìn)行一些準(zhǔn)備工作.我們用2*2數(shù)表來作為變換的記號.如果一個(gè)變換將點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，這里，則我們記.則根據(jù)定義可知，.然后，對，，記“先經(jīng)過變換，再經(jīng)過變換”的變換為，則經(jīng)過變換后變?yōu)?，再?jīng)過變換后變?yōu)?，?這表明.回到原題，由于，故.所以，分別被變成，.（2）定義數(shù)列如下：，.然后我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：.當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即.則.所以將兩個(gè)變換復(fù)合，就得到，故結(jié)論對也成立.綜上，對任意的正整數(shù)，有.這表明，，，在經(jīng)過變換后將得到，，.這表明直線的方程為，從而的坐標(biāo)是.由的遞推式及可直接得到.記，則，且.對于，我們有，兩邊同時(shí)對求導(dǎo)可得，再同乘，就得到.取，就有.這表明，再進(jìn)一步進(jìn)行變換即可得到.這直接推出.同時(shí)，計(jì)算可知.從而由，，知.故點(diǎn)一定在和之間，即在線段內(nèi)部.這就得到了.最后，我們需要求的取值范圍，使得不等式恒成立，即恒成立.由，知.若，則，滿足條件；若恒成立，則恒成立，首先有.從而由恒成立可知恒成立.由，知恒成立.即恒成立.假設(shè)，記.由，知當(dāng)，且時(shí)，有以下結(jié)論：①由知；②由于對，展開后的二次項(xiàng)為，故.從而由知，即.故此時(shí)有，這與恒成立矛盾.所以，故，從而.而，故.綜上，不等式即恒成立的充分必要條件是.最后，直接計(jì)算得到.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，使用反證法否定時(shí)，需要找到使得不成立的對應(yīng)的條件，而這需要細(xì)致的討論.如果僅僅通過的“指數(shù)衰減”這種直觀層面的理解一筆帶過，直接“得到”在足夠大時(shí)成立，則從邏輯上是不能走通的，特別是由于此時(shí)中含有一個(gè)單調(diào)遞增的因式，直接使用冪函數(shù)的性質(zhì)并不能得到期望的結(jié)果，必須細(xì)致討論.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）求定義域，作商法結(jié)合基本不等式比較出；（2）對求導(dǎo)，變形后，構(gòu)造，求導(dǎo)，再構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)性，結(jié)合得到的單調(diào)性和極值，最值情況，求出答案；（3）令，當(dāng)時(shí)，由于恒成立，故無解，當(dāng)時(shí)，，令，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，又趨向于0時(shí)，趨向于2，故，從而得到，得到答案.【詳解】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，由于，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，又，故；（2）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，令，，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，即，故，所以，則在恒成立，當(dāng)時(shí)，同理可得，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，所以的最大值為；（3），令，當(dāng)時(shí)，，由于恒成立，故無解，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，，，下面證明,，令，，則，，其中，令，，則，，其中，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故，即,，則，，則，，由于，而，故，則，故在上單調(diào)遞增，又趨向于0時(shí)，趨向于2，故，故令，解得，此時(shí)有解，故存在零點(diǎn)，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用直線與雙曲線的位置關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可；（2）（i）設(shè)及其中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)