2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)(附答案解析)

第第頁2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)1．（2021?蘭州）避雷針是用來保護建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓BC頂部避雷針CD的長度（B，C，D三點共線），在水平地面A點測得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A點與大樓底部B點的距離AB＝20m，求避雷針CD的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）2．（2021?攀枝花）釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在維護國家主權(quán)、更好履行海警機構(gòu)職責(zé)的《中華人民共和國海警法》正式實施．中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當舉措．如圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點D處測得與斜坡AC坡腳點C的距離為140米，測得島礁頂端A的仰角為30.96°，以及該斜坡AC的坡度i＝，求該島礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）3．（2021?巴中）學(xué)校運動場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長度．4．（2021?青島）某校數(shù)學(xué)社團開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準備測量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°．試求大樓BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）5．（2021?朝陽）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當一位同學(xué)站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進了9m后到達點D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）6．（2021?盤錦）如圖，小華遙控?zé)o人機從A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在A點測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6m，且＝，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）7．（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD，測傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC∥MN），此時測得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021?鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30°方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）9．（2021?徐州）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F，E為DF與AB的交點．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45．銳角A三角函數(shù)13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.6210．（2021?撫順）某景區(qū)A、B兩個景點位于湖泊兩側(cè)，游客從景點A到景點B必須經(jīng)過C處才能到達．觀測得景點B在景點A的北偏東30°，從景點A出發(fā)向正北方向步行600米到達C處，測得景點B在C的北偏東75°方向．（1）求景點B和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號）（2）當?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點A到景點B的筆直的跨湖大橋．大橋修建后，從景點A到景點B比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

2023年中考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)參考答案與試題解析1．（2021?蘭州）避雷針是用來保護建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓BC頂部避雷針CD的長度（B，C，D三點共線），在水平地面A點測得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A點與大樓底部B點的距離AB＝20m，求避雷針CD的長度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】解直角三角形求出BC，BD，根據(jù)CD＝BC﹣BD求解即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴1.60＝，∴BD＝32（米），在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，∴1.33＝，∴BC＝26.6（米），∴CD＝BD﹣BC＝5.4（米）．答：避雷針DC的長度為5.4米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．（2021?攀枝花）釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在維護國家主權(quán)、更好履行海警機構(gòu)職責(zé)的《中華人民共和國海警法》正式實施．中國海警在釣魚島海域開展巡航執(zhí)法活動，是中方依法維護主權(quán)的正當舉措．如圖是釣魚島其中一個島礁，若某測量船在海面上的點D處測得與斜坡AC坡腳點C的距離為140米，測得島礁頂端A的仰角為30.96°，以及該斜坡AC的坡度i＝，求該島礁的高（即點A到海平面的鉛垂高度）．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【分析】根據(jù)斜坡AC的坡度i＝，可設(shè)AB＝5x米，BC＝6x米，繼而表示出BD的長度，再由tan30.96°≈0.60，可得關(guān)于x的方程，解出即可得出答案．【解答】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝5：6，故可設(shè)AB＝5x米，BC＝6x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，∴tan30.96°＝＝0.60，解得：x＝60（米），經(jīng)檢驗，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：該島礁的高AB為300米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的定義，表示相關(guān)線段的長度．3．（2021?巴中）學(xué)校運動場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長度．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【分析】（1）延長BA交CG于點E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計算即可；（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進而求出CD．【解答】解：（1）延長BA交CG于點E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC?cosα＝12×＝6（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE?tan∠BCE＝6×＝18（m），∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2021?青島）某校數(shù)學(xué)社團開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準備測量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°．試求大樓BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC＝AM，AN＝MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解．【解答】解：延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，如圖所示：則四邊形AMCN是矩形，∴NC＝AM，AN＝MC，在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，∵tan∠BAN＝，∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），答：大樓BC的高度約為96米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021?朝陽）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當一位同學(xué)站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進了9m后到達點D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【分析】過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由題意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即這棵古樹的高AB為（9+4）m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFG∽△ABG是解題的關(guān)鍵．6．（2021?盤錦）如圖，小華遙控?zé)o人機從A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在A點測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6m，且＝，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【分析】過A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），則CN＝18m，再由銳角三角函數(shù)定義求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由銳角三角函數(shù)定義求出AM的長即可．【解答】解：過A作AC⊥MN于C，如圖所示：則CN＝AB，AC＝BN，∵＝，∴＝，由題意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，∴AB∥EF，∴△EFN∽△ABN，∴＝＝，∴AB＝3EF＝18（m），∴CN＝18m，在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，∴AC≈CN＝×18＝30（m），在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，∴AM＝AC＝×30≈38（m），即無人機飛行的距離AM約是38m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFN∽△ABN是解題的關(guān)鍵．7．（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD，測傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC∥MN），此時測得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【分析】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tanM，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即樹AB的高度約為5.7m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義和坡度坡角定義，求出BC的長是解題的關(guān)鍵．8．（2021?鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30°方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四邊形BCFE是矩形，則BE＝CF，EF＝BC＝150m，設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根據(jù)題意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE，進而求得AB．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四邊形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m，設(shè)DF＝xm，則DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250m，∴DE＝250+150＝400m，∴AD＝2DE＝800m，∴CD＝800﹣150＝650m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公園北門A與南門B之間的距離約為1293m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021?徐州）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F，E為DF與AB的交點．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45．銳角A三角函數(shù)13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.62【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【分析】（1）在Rt△ADF中，由銳角三角函數(shù)定義求出AF的長，再在Rt△AEF中，由銳角三角函數(shù)定義求出AE的長即可；（2）設(shè)DG交AB于M，過點A作AN⊥DG于N，由銳角三角函數(shù)定義求出DF、FG的長，得出AG的長，再由銳角三角函數(shù)定義求出AN的長，然后證△AMN為等腰直角三角形，得AM＝AN≈123.1（cm），由EM＝AM﹣AE，即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD?cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝＝≈91（cm）；（2）設(shè)DG交AB于M，過點A作AN⊥DG于N，如圖所示：∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD?sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，∴tan32°＝，∴FG＝＝≈75.8（cm），∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），在Rt△AGN中，AN＝AG?sin∠DGA＝163.8×sin3