湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第5章 二次根式 教學(xué)設(shè)計（含教學(xué)反思）

第5章二次根式

5.1二次根式.................................................................1

第1課時二次根式的概念及性質(zhì)..........................................1

第2課時二次根式的化簡................................................4

5.2二次根式的乘法和除法....................................................8

第1課時二次根式的乘法.................................................8

第2課時二次根式的除法...............................................12

5.3二次根式的加法和減法...................................................15

第1課時二次根式的加減運算............................................15

第2課時二次根式的混合運算...........................................19

章末復(fù)習(xí)....................................................................23

5.1二次根式

第1課時二次根式的概念及性質(zhì)

學(xué)教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解二次根式的概念.

2.掌握二次根式的基本性質(zhì).

3.會判斷二次根式，能求簡單的二次根式中的字母的取值范圍.

【過程與方法】

經(jīng)歷二次根式的基本性質(zhì)、運算法則的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的概括能力.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用數(shù)學(xué)等活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性與創(chuàng)造性.體會

發(fā)現(xiàn)的快樂，并提高應(yīng)用的意識.

【教學(xué)重點】

二次根式的概念及意義.

【教學(xué)難點】

利用(a20)”解決具體問題.

＞教學(xué)國而呈

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.什么叫做一個數(shù)的平方根？如何表示？

2.什么是一個數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？

3.16的平方根是什么？算術(shù)平方根是什么？

4.0的平方根是什么？算術(shù)平方根是什么？

5.-7有沒有平方根？有沒有算術(shù)平方根？

【教學(xué)說明】評價學(xué)生與本節(jié)課相關(guān)的舊知識的掌握情況.

二、思考探究，獲取新知

1.說一說：

(1)5的平方根是什么？正實數(shù)a的平方根是什么？

(2)運用運載火箭發(fā)射航天飛船時，火箭必須達(dá)到一定的速度，才能克服地球引力，

從而將飛船送入環(huán)地球運行的軌道，而第一宇宙速度u與地球半徑R之間存在如下關(guān)系：

u'gR,其中重力加速度常數(shù)g%9.5m/s2.如已知地球半徑R,則第一宇宙速度v是多少？

我們已經(jīng)知道：每一個正實數(shù)a有且只有兩個平方根，一個記作稱為a的算術(shù)平

方根，另一個是

【歸納結(jié)論】我們把形如右的式子叫作二次根式，根號下的數(shù)叫作被開方數(shù).

2.思考二次根式“右”中被開方數(shù)a能取任意實數(shù)嗎？

【歸納結(jié)論】只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實數(shù)時，二次根式才在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

對于非負(fù)實數(shù)a,由于G是a的一個平方根，因此(&)2=a(a20)

3.做一做：填空.

=，/.尸=，ji.2?=.......

根據(jù)上述結(jié)果猜想，當(dāng)a20時，.

【歸納結(jié)論】值

4.議一議：

當(dāng)a<0時，J/=a是否依然成立？為什么？

【歸納結(jié)論】二次根式的性質(zhì)：

'—a(tz<0)

【教學(xué)說明】學(xué)生小組交流期間師巡回指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)形成新知，理解新知；引導(dǎo)學(xué)

生對二次根式的性質(zhì)做出合理的解釋.

三、運用新知，深化理解

1.教材P155例1、P156例2、例3.

2.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是(B)

A.5B.y/5D.以上皆不對

5

3.使式子J—(x-5)2有意義的未知數(shù)x有(B)個.

A.0B.1C.2D.無數(shù)

4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、瓦工&(>。)、B、E-

xxx+y

\/x+y(.x^O,y、0).

答案:二次根式有：伍、5(%>0)、?、-

區(qū)、業(yè)+y(%N0,yNO).

不是二次根式的有：凌、!、怎、」-.

XX+y

5.當(dāng)X是多少時，J3尤-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

【分析】由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l20,&-1

才能有意義.

解：由3%-120,得

當(dāng)時，歷二T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

6.當(dāng)x是多少時，~2S-3-+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X

n+3NO年一卷

解:依題意得：x二八

lr7^0

%W0

當(dāng)久，-:且工/0時，&+3+J在實數(shù)

2x

范圍內(nèi)有意義.

7.當(dāng)x是多少時，j2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X+1

【分析】要使J2X+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足j2x+3中的2x+3

X+1

》0和」一中的X+1W0.

X+1

AF/J2：E+3'0①，，-、’=

解:依題思，得《…由①得:％

(X+1W0(2)

~由②得:力打-1

3,_______1

當(dāng)％，-彳且“W-1時，&7T3+一—在實

2x+1

數(shù)范圍內(nèi)有意義.

8.己知a、b為實數(shù)，且/T3+2J10-2a=>+4,求a、b的值.

答案：a=5,b=-4

【教學(xué)說明】檢測本節(jié)課學(xué)生對新知識的掌握情況，了解不足，以便查缺補漏，個別輔

導(dǎo).

四、師生互動、課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

產(chǎn)課后作業(yè)

布置作業(yè):完成教材第159頁”習(xí)題5.1”中第1、2題.

教學(xué)反思

學(xué)生已學(xué)過平方根、立方根、實數(shù)等概念及求法，對實數(shù)運算與性質(zhì)有初步感受，為本

節(jié)知識打下了基礎(chǔ).本節(jié)知識是前面相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時是后面學(xué)習(xí)的直接基礎(chǔ)，起到了

承上啟下的作用.

通過復(fù)習(xí)引入新知，注重將新知識與舊知識進(jìn)行聯(lián)系與對比.隨后從學(xué)生熟悉的四個實

際問題出發(fā)，用已有的知識寫出這四個問題的答案，并分析所得的結(jié)果在表達(dá)式上的特點，

由此引入二次根式的概念，對于二次根式的一些結(jié)論，讓學(xué)生參與思考、探索、學(xué)會分類討

論的方法，在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實際的需要，二次根式與實際生活聯(lián)

系緊密，以此充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

第2課時二次根式的化簡

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解最簡二次根式的意義，并能作出準(zhǔn)確判斷.

2.能熟練地把二次根式化為最簡二次根式.

3.了解把二次根式化為最簡二次根式在實際問題中的應(yīng)用.

【過程與方法】

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式化簡的能力，提高運算能力.

【情感態(tài)度】

通過多種方法化簡二次根式，滲透事物間相互聯(lián)系的辯證觀點.

【教學(xué)重點】

會把二次根式化簡為最簡二次根式.

【教學(xué)難點】

準(zhǔn)確運用化二次根式為最簡二次根式的方法.

管教與國程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.什么叫二次根式？使二次根式有意義的條件是什么？

2.當(dāng)a20時，4a叫什么？當(dāng)a<0時，&有意義嗎？

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，為本節(jié)課的教學(xué)作鋪墊.

二、思考探究，獲取新知

1.計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

(1)<3C9=，再X;

(2)x/9V16=,9x716=；

【歸納結(jié)論】小方=7?區(qū)(a20,620)

2.化簡下列二次根式

(1)V18(2)V20(3)V72

【教學(xué)說明】化簡二次根式時，可以直接把根號下的每一個平方因子去掉平方號以后移

到根號外.(注意：從根號下直接移到根號外的數(shù)必須是非負(fù)數(shù))

3.化簡下列二次根式

4.觀察上面幾個二次根式化簡的結(jié)果，它們有什么特點？

【歸納結(jié)論】我們把被開方數(shù)中不含開方開得盡方的因數(shù)(因式)，被開方數(shù)不含分母

的二次根式，叫作最簡二次根式.

在二次根式的運算中，一般要把最后的結(jié)果化為最簡二次根式.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生計算，觀察計算結(jié)果，總結(jié)規(guī)律.

三、運用新知，深化理解

1.下列二次根式中哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？

V15M

【分析】判斷一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條

件是否同時滿足，同時滿足兩個條件的就是，否則就不是.

解：最簡二次根式有厲，如不是最簡二次根式.因為

745=^/5^9=^/5^9=3^/5,

被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)9,所以它不是最簡二次根式.

2.化簡加/(x>0)

解：',/lAd=,口=4lxI,因為X〉

0,所以I%I=%,所以716x2=4l；xl=4r.

3.化簡月/(Q<0)

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng)a<0

時,x/tP-=IaI=-a.

解：(1)(32a1=\/32,\fcr=4j2IaI

=-4拒a

4.化簡：(1)x/a^b(a<0)；

⑵婷(Z。).

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng)a<0

時,\[a^=IaI=—a.

解：（1）Wb=貸＞]b=laifb=-a很

laia\/2b

4b24b2

5.化簡“22-3尸+11-、區(qū)1.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有

J(22-3>=|2倒一31.所以要比較2。與

3及1與g的大小以確定23及1-。的符

號，然后再進(jìn)行化簡.

解:因為2yL41,2■=2.82<3,所以

2叵-3<0,1-。<0.

所以7(2]2-3)2+11-^1=12J2-

31+11-^1

=-(2歷-3)-(1-①=-2區(qū)+3-1+

包=2-2

6.化簡：

(1)1(5-9尸；(2)V(3.5-2)2；

(3)V(10-1-10-2)2；

(4)7(3-V10)2-12-x/101；

(5)V(J3-5)2+11-J3I；

(6)6后(6<0).

答案：(1)4；(2)1.5；(3)0.09；

(4)-1；(5)4；(6)-1.

7.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水倒入-?個底面為正

方形、高為10cm的鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，玻璃容器中的水面下降了20cm,鐵桶的底面

邊長是多少厘米？

【分析】根據(jù)倒出的水的體積等于鐵桶的體積，列出方程求解即可.

解：設(shè)正方形鐵桶的底面邊長為x,則10x2=30X30X20,

x-1800,

解得x=3O0(厘米).

答：正方形鐵桶的底面邊長是30底厘米.

【教學(xué)說明】檢測本節(jié)課學(xué)生對新知識的掌握情況，了解不足，以便查缺補漏，個別輔

導(dǎo).

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

1課后作業(yè)

布置作業(yè):完成教材P160”習(xí)題5.1”中第4、5、8題.

教學(xué)反思

學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此

互動.正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地

喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動.互動式教學(xué)模式的

目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教

學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實現(xiàn)教與學(xué)的共振.

5.2二次根式的乘法和除法

第1課時二次根式的乘法

敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.使學(xué)生掌握二次根式乘法法則Gx揚=5/茄(a20,b20).

2.使學(xué)生掌握C=a(a20)，并能加以初步應(yīng)用以化簡二次根式.

【過程與方法】

通過猜想，體驗探究二次根式的乘法法則，實踐應(yīng)用，鞏固法則.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體驗成功的喜悅.

【教學(xué)重點】

會利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及簡單的二次根式的乘法運算公式對一些式子進(jìn)行化簡.

【教學(xué)難點】

二次根式中乘法與積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的關(guān)系及應(yīng)用.

支教學(xué)亙引

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

一塊正方形的木板面積為200cm?,已知a=1.414,你能不用計算器以最快的速度求出

正方形木板的邊長嗎？

【教學(xué)說明】通過實際問題引入新課.

二、思考探究，獲取新知

1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么？

\la-b=>/a->Jb(a]0,b20)

2.試一試：并觀察結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)74x79-^74^9;(2)716x725^716-25

【教學(xué)說明】讓學(xué)生計算，由學(xué)生總結(jié)，(1)(2)兩式均相等.

【教學(xué)說明】組織學(xué)生計算，驗證猜想.讓學(xué)生自主探究，通過類比得到規(guī)律，讓學(xué)生

體驗到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

【歸納結(jié)論】二次根式乘法的運算公式：北=，茄(a20,b20),老師應(yīng)引導(dǎo)

學(xué)生關(guān)注a20,b20這個條件，若沒有這個條件，上述法則不能成立.因為當(dāng)a<0,b<0

時，雖然J茄有意義，而G，揚在實數(shù)范圍內(nèi)卻沒有意義，乘法法則顯然不能成立.

3.計算.

(1)3x6；(2)I^Xx/72.

解：(1)Bx6==V32x2=3J2；

(2)[x阮=jyx72=V22x6=2K

三、運用新知，深化理解

1.教材Pl材例1、例2.

2.下列各式正確的是(D)

A.\/(-4)x(-9)=N/^4x

D.7(4)x(9)=Rx9

3.等式Vx+1?V.r-1=-1成立的條件

是(A)

A.x>1B.%2—1

C.D.久21或%W-1

4.不求值，比較大小：

2832；

-48-35

答案：<<

5.一，個矩形的長和寬分別為6也cm與Bcm,則

這個矩形的面積為cm2.

答案：123

6.計算題

(1)屋5(2)屋反

(3)\/xyx(4)K>

(5)區(qū)(6)屈(7)屈(8)相

(9)后(10)底

答案：(1)而;(2)6；(3)萬;(4)2；(5)

2。；(6)45；⑺52；(8)27；(9)38;

(10)4區(qū)

7.計算題

(1)j回x1■后

(2)J_：)x49x(-144)

(4)以\/18+3夜)

答案：(1號;(2)42；(3)||；(4)30.

8.已知正方形A,矩形B,圓C的面積均為628cm2,其中矩形B的長是寬的2倍，如果n

取3.14,試比較它們的周長L,LB,L解完本題后，你能得到什么啟示？

解：略.

【教學(xué)說明】訓(xùn)練學(xué)生對待計算題也要認(rèn)真分析，找出合理快捷的方法解決問題.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

；'課后作業(yè)

布置作業(yè):完成教材P165“習(xí)題5.2”中第1、4題.

「教學(xué)反思

這一堂課的教學(xué)對我的啟發(fā)很大，好像又回到了初一年級，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是一個很難

的問題，很多同學(xué)在數(shù)的認(rèn)識中有著很大的欠缺.對根式的認(rèn)識，特別是對根式的性質(zhì)的認(rèn)

識總是轉(zhuǎn)換不過來，沒有辦法只有花上很大的一段時間進(jìn)行鞏固學(xué)習(xí)，少數(shù)同學(xué)對負(fù)數(shù)中的

符號問題容易出現(xiàn)錯誤.今后，應(yīng)充分給學(xué)生訓(xùn)練時間，合理利用學(xué)案，讓學(xué)生把知識掌握

好.

第2課時二次根式的除法

敦字目標(biāo)

【知識與技能】

會利用二次根式的除法法則進(jìn)行二次根式的除法運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索二次根式除法以及商的算術(shù)平方根的過程，掌握其應(yīng)用方法.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生分析問題和逆向思維的能力，體會合作交流的樂趣，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點】

二次根式除法運算.

【教學(xué)難點】

探索二次根式除法法則.

教學(xué)亙程

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是什么？

2.二次根式乘法法則是什么？用語言怎樣表達(dá)？用式子怎樣表示？

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)舊知，為學(xué)習(xí)新知做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

1.計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

\/16^

回

2.g與萬是什么關(guān)系呢?

【歸納結(jié)論】1與7互為倒數(shù)（。＞0）.

Ja

3.F與更是什么關(guān)系呢？

Nb歷

=~~（a0,6>0）

ybjb

【歸納結(jié)論】二次根式的看法計算公式:

多=?。?。20%〉0）.反過來，上=1-^-（a>

jb、b瓜Va

0,6與0）也成立.

【教學(xué)說明】發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法公式.

三、運用新知，深化理解

1.教材P163例4、P164例5、例6.

2.把檸化簡的結(jié)果應(yīng)是（B）

A.—。B.=\12a

aa

2

C.3azD.—

a

3.下列計算中，正確的是（D）

A-5

B

-鴻=3舟泊

-J16254520

D.V482-322=V(48+32)(48-32)=16

4.當(dāng)‘組有意義時,a的取值范圍是(B

)

A.a2B.a>2

C.a7^2D.aW-2

5.把■化簡后得(D)

A.46B.2歷

C.；/D.*

22。

陌2)3師

6.化簡：(1)(3)

85J2Vio

解S個腎5

=y45

7.計算：

.-7450、/0.01x81

Z⑴17^；(VO.25x144；

,騫?|仁23a

答案:⑴-%(2號；(3)1；(4)亨

8.設(shè)a〉0,6>0,計算：

a"；⑵主

解:宜亞=厚^=百/?=3a6

反12a

<>=f=BF=^

【教學(xué)說明】鞏固提高.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

;,課后作業(yè)

布置作業(yè):完成教材P165“習(xí)題5.2”中第2、3、4題.

教學(xué)反思

這節(jié)課原本希望學(xué)生能在一節(jié)課內(nèi)就體會到先局部化簡再計算起來比較簡潔.但這節(jié)課

并沒有實現(xiàn)這個目的,而且沒有想到學(xué)生竟然給出多種方法.我想應(yīng)當(dāng)把這個問題延伸到下

一節(jié)課,可以在下一節(jié)課中把學(xué)生的課后作業(yè)的解法對比,讓學(xué)生去體會哪種方法更好,更簡

潔.不要急于在這一節(jié)課中去解決,這一節(jié)課只要能用自己的方法解決就可以.

5.3二次根式的加法和減法

第1課時二次根式的加減運算

敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.知道二次根式加減運算的步驟，

2.會用合并同類二次根式正確進(jìn)行二次根式的計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究二次根式加減法法則的過程，體會類比的思想方法.

【情感態(tài)度】

通過學(xué)習(xí)二次根式加減法運算培養(yǎng)學(xué)生簡潔解題的能力，體會數(shù)學(xué)的簡潔美.

【教學(xué)重點】

二次根式的加減法運算.

【教學(xué)難點】

被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)(式)或含字母的二次根式加減運算.

產(chǎn),教與亙睚

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.下列根式中，哪些是最簡二次根式？

\/15a,VlS-,\/x2-1,\l5x3y,\124abc,［竺，

v3

飛3xy

r

2.計算下列各式：

(1)2x+3x(2)3x-2y+y

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)整式加減法的內(nèi)容，為下面探究二次根式加減法的解法做鋪墊.

二、思考探究，獲取新知

1.二次根式的加減運算能否依據(jù)整式的加減法運算進(jìn)行？

(1)25+35;(2)5J2-3僅

【分析】如果把5和N當(dāng)成》,不就轉(zhuǎn)

化成上面的整式問題了嗎？

解：25+35=(2+3)5=55

5折-32=(5-3)屋22

【教學(xué)說明】在此過程中，使學(xué)生理解掌握二次根式加減法的解法，并體會類比的思想

方法.

2.如圖，是由面積分別為8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的長.

【分析】：因為兩個正方形的面積分別為8和

18,所以它們的邊長分[--------G

別為8和718,貝！J：BE——-

=后+V18=2。+3

2BCE

=（2+3）月

=52

3.你能根據(jù)上面的計算過程總結(jié)二次根式加減法運算的步驟嗎？

【歸納結(jié)論】二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)

相同的二次根式進(jìn)行合并.

【教學(xué)說明】通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學(xué)生求知的欲望.在二次根式加減法

的整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，要及時糾正學(xué)生的錯誤認(rèn)識.

三、運用新知，深化理解

1.教材P168例1、例2.

2.下列二次根式中，能與合并的二次根式是（B）

A.B.V12

3.下列計算：①「+爐=Vx+）-；②值+2

=2萬;③68-28=43④5\f2a-\/Sa

=33；1=q+回=5.其中正

確的是（C）

A.①和③B.②和③

C.③和④D.③和⑤

4.如果最簡二次根式\^不石和417-2a是可

以合并的，那么a=5.

5.計算：

(1)72+3區(qū)-5V50

(2)3頻+Jf-4曾

\15v40

(3)(6+3)(6-2)

(4)(而+聞)4-5

(5)工-V2a2x3(a>0)

(6)\/4.r3-/36.V3

答案：(1)-12。；(2)9場；(3)K;

(4)4行+；屈;⑸(1一磔)工;(6)—4x

a-

6.已知最簡二次根式“頒7和\/a+86的被開方

數(shù)相同，你能求出使戊工一4就有意義白勺”白勺

取值范圍嗎？

解:依題意得《+'=20乙

[9Q=a+8b

a=1,6=1

要使應(yīng)7FF有意義，則有

2x-4ab^O

貝(J2x-4^0,x^2.

所以，-2

7.有一艘船在點。處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20

海里到達(dá)B處，測得電視塔在船的西北方向.問再向西航行多少海里，船離電視塔最近？(結(jié)

果保留根號)

答案：10(6+1)

8.已知實數(shù)x滿足I-xl+-—2006,

求x的值.

解:工一200620,即、22006,

V5005-A-<0,

原方程可化為

x—V2005+Jx-2006=x

Vx-2006='^OOS,

x=4011

【教學(xué)說明】獨立完成，之后相互交流，糾錯.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

.'課后作業(yè)

布置作業(yè):完成教材P172“習(xí)題5.3”中第1、2題.

：,教學(xué)反思

將法則的教學(xué)與整式的加減比較學(xué)習(xí).在理解、掌握和運用二次根式的加減法運算法則

的學(xué)習(xí)過程中，滲透了分析、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和興趣.鞏

固本節(jié)內(nèi)容，作業(yè)分層布置，使不同層次學(xué)生都有發(fā)展和提高.

通過學(xué)習(xí)二次根式加減法運算培養(yǎng)學(xué)生簡潔解題的能力，體會數(shù)學(xué)的簡潔美，通過題目

練習(xí)，復(fù)習(xí)同類二次根式的概念，溫故而知新.

第2課時二次根式的混合運算

粵教與目標(biāo)

【知識與技能】

使學(xué)生會熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運算.

【過程與方法】

講練結(jié)合，通過例題由淺入深，層層深入，從例題的講解中幫助學(xué)生尋找解題的方法、

規(guī)律及注意點.

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行類比的學(xué)習(xí)思想和理解運算律的廣泛意義.

【教學(xué)重點】

二次根式的混合運算.

【教學(xué)難點】

由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

::更與國睚

一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知

1.二次根式有哪些性質(zhì)？

2.已學(xué)過的整式的乘法公式和法則有哪些？

3.怎樣化簡二次根式？

【教學(xué)說明】進(jìn)一步梳理和鞏固已學(xué)過的知識，為本節(jié)課的教學(xué)作準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

L甲、乙兩個城市間計劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫截面設(shè)計為上底寬

40m,下底寬6&m,高振m的梯形，這段路基長500m,那么這段路基的土石方大小

為多少立方米呢？

4j2m

6必n

路基的土石方大小等于路基橫截面面積乘以路基的長度，所以，這段路基的土石方為:

Y(42+6歷)x6x500

=(22+3①x6x500

=5泛x8x500

=5000gn?

即這段路基的土石方為50008m3

【教學(xué)說明】從上面的解題過程可以看到，二次根式的混合運算是根據(jù)實數(shù)的運算律進(jìn)

行的.

2,計算:

⑴(6一停)x2

(2)(2+2)(1-2)

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)的運算進(jìn)行計算.

從上面的運算可以看到，二次根式相乘，與多項式的乘法相類似，我們可以利用多項式

的乘法公式，對某些二次根式的乘法教學(xué)簡便運算.

三、運用新知，深化理解

1.教材P170例4、P171例5.

2.計算：（1）（6+松）X8

解：（后+后）X8

=6x3+KxB

=V18+囪

=3J2+26

（2）（46-3。）+22

解：（4J6-3m+2J2

=46+2。-32+22

=28V

3.計算：

（1）（36一42）（36+4。）

解：（36-4。）（36+4。）

=（36）2-（42）2

=54-32

-92

（2）（5）2+（萬+B）°-v57+I^-21

解：（5）2+（7r+3）。_虎7+13-21

=3+1-38+2-8

=63一年8+4m：2m

號3?23號

（4）瘴-6+2+（8+1）（8-1）

解：VI2-0+（8+i）（D

=2B-B+3-1=8+2

(5)(^)2-4xy-(-2尸+(凌)3

解：(8)2-4X；"-(-2)3+(2)3

=3-2+8+2=11

(6)0V12-2Jy+時+25+[,]

解:原式=[6]3——^3+48)?2.+,

=§28J53+2rj53+—1=3<

4.下面的三個大三角形中各有三個小三角形，每個大三角形中的四個數(shù)都有規(guī)律，請按

左、右每個大三角形內(nèi)填數(shù)的規(guī)律，在中間的大三角形的中間，填上恰當(dāng)?shù)臄?shù).

答案：V432

【教學(xué)說明】學(xué)生先做，教師之后挑選部分進(jìn)行點評.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補充.

:‘課后作業(yè)

布置作業(yè)：完成教材P172“習(xí)題5.3”中第3、4、6題.

,空教學(xué)反思

本節(jié)課是二次根式加減的第二節(jié)課，它是在二次根式加減的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，利用

二次根式加減法解決一些實際問題.在設(shè)計本課時教案時，著重從以下幾點考慮：1.先通過

對實際問題的解決來引入二次根式的加減運算，再由學(xué)生自主討論并總結(jié)二次根式的加減運

算法則.2.四人小組探索、發(fā)現(xiàn)、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力.本

節(jié)課秉著以學(xué)生發(fā)展為本的教育理念，注重對學(xué)生的啟發(fā)引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生主動探究思考，獲

取新知識，通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)和完善的過程，從而利用二次根式加減法

解決一些實際問題，并及時進(jìn)行鞏固練習(xí)和應(yīng)用新知，以深化學(xué)生對所學(xué)知識的理解和記憶.

同時加強(qiáng)師生交流，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

章末復(fù)習(xí)

：J教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解二次根式的概念和意義、理解并掌握二次根式的性質(zhì)和混合運算法則.

2.用二次根式的意義和性質(zhì)進(jìn)行求取值范圍、化簡和運算.

3.會初步運用二次根式的性質(zhì)及運算解決簡單的實際數(shù)學(xué)問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷梳理本章所學(xué)內(nèi)容，形成知識體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納和概括能力.

【情感態(tài)度】

通過本章的復(fù)習(xí)過程，進(jìn)一步讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識（二次根式）來源于實際又應(yīng)用于實

際的辯證唯物主義思想.

【教學(xué)重點】

運用二次根式的意義和性質(zhì)進(jìn)行求取值范圍、化簡和運算；梳理整章知識，形成二次根

式知識體系.

【教學(xué)難點】

運用分類討論數(shù)學(xué)思想解決本節(jié)的有關(guān)問題，是本節(jié)復(fù)習(xí)課的難點，這就要求學(xué)生有嚴(yán)

密的數(shù)學(xué)思維.

戶教學(xué)國旌

一、知識結(jié)構(gòu)

最簡二次根式

二

次

根

式

加、減、乘、除運算

【教學(xué)說明】揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，將所學(xué)的零散的知識連接起來，形成一個完整

的知識結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生對知識的理解和運用.

二、釋疑解惑，加深理解

1.二次根式的概念：

我們把形如G的式子叫作二次根式，根號下的數(shù)叫作被開方數(shù).

2.二次根式的意義：

只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)實數(shù)時，二次根式才在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3.二次根式的性質(zhì)：

「如心0）

7a=IaI=\

（-a（a<0）

4.最簡二次根式的概念：

我們把被開方數(shù)中不含開方開得盡方的因數(shù)（因式），被開方數(shù)不含分母的二次根式，

叫作最簡二次根式.

在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式.

5.二次根式乘法的運算公式：

Ja,歷=\[ab{a>0；6^0）

6.二次根式的除法運算公式：

.=修（aNO；6>0）

7.二次根式的加減運算方法：

二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式

進(jìn)行合并.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識點，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識及它們之間的關(guān)系.

三、典例精析，復(fù)習(xí)新知

1.下列式子一定是二次根式的是（C）

A.\/-x-2B.Jr

C.+2D.4x-2

2.若53加一1有意義，則m能取的最小整數(shù)值是（B）

A.m=0B.m=lC.m=2D.m=3

3.下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（A）

A.V14B.質(zhì)

aD.44a+4

C.~b

4.化簡：

(1)7(-144)x(-169)

(2)-yX^25

(3)71024x5

(4)'JlSrrTn

解：(1)原式="44x169=V144x

7169=12x13=156；

(2)原式=--1-x15=-5；

(3)原式=J32?x5=一;x325=

-16J5；

(4)原式二V32xm2x2n=3m\/2n.

5.化簡W-aR+Q

Va

答案：（3a-l）可

6.已知：.丫=二一,求#-x+l的直

8-1

2(5+1)

一=8+1

解：X=

(J3-1)(B+i)

%27+1

=(8+1)2-(3+i)+i

=3+2B+1-B-l+1

4+8

【教學(xué)說明】使學(xué)生通過二次根式的化簡及化簡依據(jù)的說明，引導(dǎo)學(xué)生回憶二次根式的

性質(zhì).進(jìn)而讓學(xué)生明白二次根式的化簡的依據(jù)和二次根式的計算的依據(jù)一樣，源自二次根式

的性質(zhì).

四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高

1.如果斤?Vx-6=