中考數(shù)學(xué)十大解題思路之換元法

中學(xué)數(shù)學(xué)中換元法的應(yīng)用與常見錯(cuò)誤分析目錄第一章引言………4第二章在因式分解中的應(yīng)用………4第三章在化簡(jiǎn)二次根式中的應(yīng)用…………………53.1設(shè)元代數(shù)，化已知為未知…………………53.2設(shè)元代式，無理變有理……………………5第四章在解方程中的應(yīng)用…………64.1分式方程……………………64.2一元二次方程………………74.3三角有理方程……………………7第五章在證明不等式中的應(yīng)用……85.1三角換元法………85.2改變換元后中間變量的范圍………9第六章?lián)Q元法常見錯(cuò)誤分析………96.1將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談……………96.2改變換元后中間變量的范圍………………106.3換元的選擇不恰當(dāng)…………11結(jié)論……………12參考文獻(xiàn)……………12第一章引言換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變量來代替原式的一部分或改造原來的式子，使其簡(jiǎn)化，問題便于解決。之所以說換元法重要，是因?yàn)閾Q元思想是中學(xué)教學(xué)中要求掌握并熟練應(yīng)用的。在中考、高考的試卷也常出現(xiàn)運(yùn)用換元法的試題。之所以說換元法應(yīng)用廣泛，是因?yàn)樵谝蚴椒纸?、化?jiǎn)二次根式、解方程、證明不等式等許多題型中都會(huì)運(yùn)用到換元的思想。同時(shí)，由于學(xué)生概念不清，在換元過程中往往會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，因此需要對(duì)常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析，防止犯錯(cuò)。本文探討了換元法運(yùn)用的最為常見也是最為重要的幾個(gè)問題，還指出了換元法運(yùn)用中的常見錯(cuò)誤以及如何解決這些錯(cuò)誤的方法。第二章?lián)Q元法在因式分解中的應(yīng)用因式分解是初中代數(shù)課中一種重要的恒等變形，它是分式通分、約分、解方程以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)。學(xué)好因式分解，對(duì)以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。除教材上介紹的因式分解的方法外，換元法也是一種比較常用的方法。例1.分解因式：（濟(jì)南市2007）分析：如果將原式變形，就會(huì)得到一個(gè)二次多項(xiàng)式，不利于因式分解。換個(gè)角度考慮，可以將看成一個(gè)整體，則原式就變成這個(gè)整體為未知量的二次多項(xiàng)式。解：設(shè)原式例2.分解因式：分析：本題如果展開，就會(huì)出現(xiàn)四次多項(xiàng)式，不利于因式分解。因此可以嘗試用換元法進(jìn)行因式分解。觀察原式中各個(gè)局部之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算關(guān)系，有：，將其中兩部分設(shè)為輔助元，則可以表示出第三部分。解：設(shè)，,則。原式使用換元法的關(guān)鍵是選擇輔助元。在選擇輔助元時(shí)，要反復(fù)比較式子中重復(fù)出現(xiàn)的整體結(jié)構(gòu)，以便尋找最恰當(dāng)?shù)妮o助元。第三章?lián)Q元法在化簡(jiǎn)二次根式中的應(yīng)用在化簡(jiǎn)二次根式的過程中，常常會(huì)因?yàn)楦较碌氖阶舆^于復(fù)雜而無從下手，這時(shí)可以考慮通過換元將復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化，從而有助于二次根式的化簡(jiǎn)，下面介紹兩種應(yīng)用換元法化簡(jiǎn)二次根式的方法。3.1設(shè)元代數(shù)，化已知為未知例3.若，求的值分析：是一個(gè)較大、帶根號(hào)的無理數(shù)，直接代入較復(fù)雜，因此可以嘗試用字母換元代入。解：設(shè)，則，，且原式3.2設(shè)元代式，無理變有理例4.化簡(jiǎn)（陜西省2008）分析：本題中的式子較復(fù)雜，可以利用換元，將無理式轉(zhuǎn)化為有理式，便于計(jì)算。解：設(shè)，，原式解題時(shí)，根據(jù)需要，把較大的數(shù)字或復(fù)雜的式子用字母代換，這樣會(huì)使得式子中的各種關(guān)系更加明朗，化簡(jiǎn)或計(jì)算也會(huì)更加簡(jiǎn)便。第四章?lián)Q元法在解方程中的應(yīng)用除了課本中介紹的解方程的基本方法以外，換元法也是解方程的一種常用的方法。如果方程的左端是一個(gè)復(fù)合函數(shù)：，，而方程和是比較簡(jiǎn)單的方程，則可進(jìn)行換元。令，這樣方程就轉(zhuǎn)化為，方便運(yùn)算。但值得注意的是，換元后的方程定義域發(fā)生了變化，應(yīng)考慮增根或失根的可能。下面就列舉三種常見的用換元法可解的方程類型及換元方法。4.1分式方程形如令，原方程化為，即解得，原方程化為兩個(gè)簡(jiǎn)單方程，，注意檢驗(yàn)根。例5.解方程分析：此分式方程左邊的兩個(gè)分式互為倒數(shù)，可采用換元法來解。解：設(shè)，則，原方程化為解得，當(dāng)時(shí)，有，即，解得當(dāng)時(shí)，有，即，無實(shí)數(shù)解經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解。4.2一元二次方程形如令，原方程化為一元二次方程解得，原方程化為兩個(gè)簡(jiǎn)單方程，當(dāng)是整式時(shí)，上述兩方程的根都是原方程的跟，當(dāng)是分式或無理式時(shí)，應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)根。例6.解方程（哈爾濱2007）分析：則可以將看成整體進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解。解：設(shè)，原方程化為，解之得，當(dāng)時(shí)，即，得，當(dāng)時(shí)，即，，經(jīng)檢驗(yàn)，，，是原方程的根4.3三角有理方程形如運(yùn)用萬能代換，得代數(shù)有理方程。需要注意的是，因的自變量允許值是，，縮小了未知量的范圍，因此用萬能代換解三角有理方程時(shí)，應(yīng)注意有失根的可能。例7.解方程分析：運(yùn)用萬能代換，將原方程化為代數(shù)有理方程，再求解。解：設(shè)，原方程化為，解之得因此，經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的根從以上分析可以看出，換元的方法是以所討論方程的特有性質(zhì)為依據(jù)的，因此不同的方程就有不同的換元方法。因此，這種方法靈活性大，技巧性強(qiáng)，適當(dāng)?shù)膿Q元，可以將復(fù)雜的方程化簡(jiǎn)，方便求解。第五章?lián)Q元法在證明不等式中的應(yīng)用不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位。在不等式證明中，有些問題直接證明較為困難，但如果通過換元的思想與方法去解決就方便多了。下面列舉兩種基本的換元方法。5.1三角換元法三角換元是常用的一種換元方法，多用于條件不等式的證明。在解類似這些問題時(shí)，選用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題。例8.已知，且，求證：分析：由條件不難想到公式，假設(shè)，，其中，，這樣就將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題了。證明：設(shè)，，其中，，則當(dāng)，或時(shí)，等號(hào)成立。5.2增量換元法一般的，對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>b>c）的不等式，常用增量法進(jìn)行換元，換元的目的是通過減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。例9.已知>2,>2,求證：<分析：因?yàn)槎荚诔Ａ?附近變化，運(yùn)用增量換元法，設(shè)，，其中>0，>0，再運(yùn)算證明。證明：設(shè)，，其中>0，>0則<0故<不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，換元法是常用的一種方法，然而在具體解題時(shí)要根據(jù)不同的條件和結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的換元，技巧性很強(qiáng)。第六章?lián)Q元法常見錯(cuò)誤分析雖然合理運(yùn)用換元法能夠做到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用，但在使用過程中如果不注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，往往會(huì)出現(xiàn)不易察覺的錯(cuò)誤。錯(cuò)誤常表現(xiàn)為：6.1將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談函數(shù)經(jīng)過換元就變?yōu)檫@種形式的復(fù)合函數(shù)。常常出現(xiàn)只考慮的單調(diào)性，而不考慮的單調(diào)性的情況，最終導(dǎo)致錯(cuò)解。例10.試討論函數(shù)（<0）的單調(diào)性錯(cuò)解：設(shè)，則因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，且<0所以（<0）是增函數(shù)分析：換元過后，只考慮了的單調(diào)性，沒有考慮的單調(diào)性，導(dǎo)致了錯(cuò)解。正確的解答應(yīng)該在考慮的單調(diào)性的同時(shí)，還考慮到的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。正確解：設(shè)，則因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)所以（<0）是減函數(shù)對(duì)于這種形式的復(fù)合函數(shù)，在考慮的單調(diào)性的同時(shí)，還要考慮的單調(diào)性，兩者結(jié)合，最終得出結(jié)論。6.2改變換元后中間變量的范圍換元后，根據(jù)原自變量的范圍錯(cuò)誤地確定中間變量的取值范圍的情況也常常發(fā)生。例11.若，求的取值范圍錯(cuò)解：設(shè)，則：，所以且，，又>0且，即，所以分析：在用推得時(shí)，還包含了的情況，這實(shí)際上是錯(cuò)解了的范圍，造成了非等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而縮小了的范圍。正確解：設(shè)，則：，所以且所以通過原自變量的范圍求解中間變量范圍時(shí)一定要特別注意，既不能擴(kuò)大范圍，也不能縮小范圍，在遇到比較難判斷的點(diǎn)時(shí)，可以代回原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。6.3換元的選擇不恰當(dāng)換元的選擇不恰當(dāng)，不僅會(huì)使得計(jì)算變復(fù)雜，很多時(shí)候還會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解。例12.設(shè)，求的最值錯(cuò)解：因?yàn)椋?，所以設(shè)，，，即則，兩邊平方得：，的最大值為1，最小值為-1分析：事實(shí)上，由已知可得，，而上題假設(shè)將原函數(shù)的定義域擴(kuò)大了，且條件中沒有，就導(dǎo)致了錯(cuò)解。正確解法是重新?lián)Q元，再求的最值。正確解：因?yàn)?，，又，所以，同理，即，設(shè)，，則，即又，所以，即，其中當(dāng)時(shí)，即，取最小值為1，當(dāng)時(shí)，即，取最小值為運(yùn)用換元法時(shí)