2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題答案解析

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

I.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的解析式為)，=-冬+4,與x軸交于點(diǎn)C,直線/

上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8，點(diǎn)A是。C的中點(diǎn).

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線上有兩點(diǎn)尸、Q,且PQ=4,使四邊形OAP。的周長最小，求周長的最

小值；

(3)直線AB與y軸交于點(diǎn)”，將△O8H沿AB翻折得到△”BG,M為直線AB上一動

點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)V、N,使得以H、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形，若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

備用圖

解：(1)對于尸—冬r+4,令y=0,則產(chǎn)-字:+4=0,解得》=4遍,

故點(diǎn)C(4V3,0),

??,點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)A(2V3,0),

當(dāng)x=6時，尸一堂x+4=3,故點(diǎn)B(?3),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為產(chǎn)sx+f,則戶=華+1,解得卜=一病，

10=2gs+t(t=6

故直線AB的表達(dá)式為y=—V3x+6；

(2)過點(diǎn)4作點(diǎn)4關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A',將點(diǎn)4'沿CB方向平移4個單位得到

點(diǎn)A",

連接OA"交BC于點(diǎn)P,將點(diǎn)尸沿BC方向平移4個單位得到Q,此時四邊形OAPQ的

周長最小.

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V

O\A

圖i

由點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)知，O4=AB=O8=2V5,故△04B為等邊三角形，由直線8C的

表達(dá)式知N8CO=30°,

則/A'AC=60°,故/BA4'=60°=NA8C+NABC=30°+ZABC,故/A8A'=

60°,故△ABA'為等邊三角形，

則A'B=48=2百且A'B〃x軸，故點(diǎn)4'（3遍，3）；

將點(diǎn)4'沿CB方向平移4個單位，相等于沿x軸負(fù)半軸方向平移2百個單位向上平移3

個單位，故點(diǎn)A"（V3,5）；

由點(diǎn)A的平移知，A"A'=PQ且A'A"http://PQ,故四邊形OAP。為平行四邊形，故A'

Q=A"P,

止匕時，四邊形OAPQ的周長=O4+PQ+AQ+OP=O4+4+A'Q+OP=2\[3+4+OA"為最小，

而OA"=2夕，

故以四邊形OAPQ的最小周長為2近4-4+2V3；

（3）存在，理由：

對于y=—Wx+6,令x=0,貝Iy=6,故點(diǎn)”（0,6）,

如圖2,按照（2）方法同理可得點(diǎn)G（3V3,3）,則HG=J（3g）2+（6-3>=6,

圖2

設(shè)點(diǎn)N(a,b),點(diǎn)、M(m,6—如m),

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①當(dāng)GH是邊時，

點(diǎn)H向右平移3次個單位向下平移3個單位得到點(diǎn)G,

同樣點(diǎn)M(N)向右平移38個單位向下平移3個單位得到點(diǎn)N(M),

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)例的下方時，

由題意得：機(jī)+3b=〃，6—次機(jī)-3=%①且HG=MW,

而HG=HM,即36=川+(6-V3/M-6)2②，

聯(lián)立①②并解得加=±3,

故點(diǎn)M(3,6-3次)或(-3,6+3V3)；

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時，

同理可得點(diǎn)〃(38，-3)；

②當(dāng)GH是對角線時，

1111

由中點(diǎn)公式得：-(0+3V3)=(。+，*)，-(6+3)=(b+6-y/^m)③，

由HM=HN得:m2+(6-V3/M-6)2^a2+(b-6)2@,

聯(lián)立③④并解得：m=>/3,

故點(diǎn)M(V3,3)；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,6-3V3)或(-3,6+3V3)或(3值，-3)或(心，3).

2.如圖1,矩形的邊。A在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,8).力是AB邊

上一點(diǎn)(不與點(diǎn)4、B重合)，將△BCD沿直線CD翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處.

(1)求直線AC所表示的函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在矩形的對角線AC上時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖3,當(dāng)以0、E、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，求△0EA的面積.

.?.點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,8),

設(shè)AC的表達(dá)式為y^kx+b,

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4

把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上式得｛；僅，解得*=一

AC:+b3

3=8

直線AC所表示的函數(shù)的表達(dá)式是y=-9+8；

(2)?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),

：.OA=6,OC=8.

；.R&OC中，AC=V62+82=10,

?.?四邊形OABC是矩形，

；.NB=90°,BC=6,AB=8,

?.?沿CO折疊，

：.ZCED=90a,BD=DE,CE=6,AE=4,

：.ZAED=90°,

設(shè)8O=Z)E=a,則AO=8-a,

「RtZvlE。中，由勾股定理得：AE1+DE1=AD1,

.\42+a2=(8-a)2,解得a=3,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,5)；

(3)過點(diǎn)E分別作x、y軸的垂線，垂足分別為M、N,

■:ENLOC,EMLOA,OC1.OA,

：.NENO=NN0M=ZOME=90°,

四邊形OMEN是矩形，

：.EM=ON.

①當(dāng)EC=E。時，

"：EC=EO,NELOC,

：.ON=^OC^4=EM,

△OE4的面積=/xOAXEM=4x6X4=12；

②當(dāng)OE=OC時，

,:ENLOC,

:.NENC=NENO=90°,

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設(shè)ON=b,則CN=8-〃，

在RtANEC中,N*=Ed-CN2,

在Rt/XENO中，NE1=EO2-ON2,

即62-(8-/>)2=82-b2,

解得:仁竽，

9Q

則EM=