廣東省湛江市美術(shù)中學高三數(shù)學文模擬試題含解析

廣東省湛江市美術(shù)中學高三數(shù)學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，點M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點，用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖依次為（）A．①③④

B.②④③

C.①②③

D．②③④參考答案：C2.雙曲線的離心率為（）A．4 B．C．D．參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程．【分析】通過雙曲線方程求出a，b，c的值然后求出離心率即可．【解答】解：因為雙曲線，所以a=，b=2，所以c=3，所以雙曲線的離心率為：e==．故選B．3.函數(shù)f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．

【專題】計算題．【分析】依題意可知要使函數(shù)有意義需要1﹣x＞0且3x+1＞0，進而可求得x的范圍．【解答】解：要使函數(shù)有意義需，解得﹣＜x＜1．故選B．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域．屬基礎題．4.已知，點C在內(nèi)，且與的夾角為30°，設，則的值為（

）A．2

B．

C．3

D．4參考答案：C如圖所示，建立直角坐標系．由已知，則=(1,0),=∴=m+n=.

5.已知函數(shù)f（x）=lnx+ln（2﹣x），則（）A．y=f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱B．f（x）在（0，2）單調(diào)遞減C．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱D．f（x）在（0，2）單調(diào)遞增參考答案：C【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡f（x）解析式，利用二次函數(shù)的對稱性【解答】解：f（x）的定義域為（0，2），f（x）=ln（2x﹣x2），令y=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，則y=2x﹣x2關(guān)于直線x=1對稱，∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故A錯誤，C正確；∴y=f（x）在（0，1）和（1，2）上單調(diào)性相反，故B，D錯誤；故選C．6.已知幾何體三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（

）A．6π B．5π C．4π D．3π參考答案：B幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為，故選B．7.設a＞0，b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a(chǎn)3+b3≥2ab2C．a(chǎn)2+b2+2≥2a+2bD．≥參考答案：D考點：基本不等式．

分析：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可知．≥排除A，取，判斷出B不成立．a(chǎn)2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排除C；看a＜b和a≥b，時D項均成立排除D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a(chǎn)3+b3≥2ab2，取，則B不成立C．a(chǎn)2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b則≥恒成立若a≥b，則=2≥0，∴≥故D恒成立點評：本題主要考查了基本不等式問題．考查了學生對基礎知識的掌握．8.設復數(shù)為實數(shù)，則x等于

（

）

A．－2

B．－1

C．1

D．2參考答案：答案：C9.已知集合｛x｜x=2a,｝，則集合A． B． C． D．參考答案：D略10.

設函數(shù)，則它的圖象關(guān)于

(

）

A．x軸對稱

B．y軸對稱

C．原點對稱

D．直線對稱參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.．正三棱錐內(nèi)接于球，且底面邊長為，側(cè)棱長為2，則球的表面積為

．參考答案：如圖，設三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．12.經(jīng)過點（2，﹣1），且與直線2x﹣3y﹣1=0垂直的直線方程是．參考答案：3x+2y﹣4=0略13.甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中6個選擇題，4個判斷題，甲、乙二人依次各抽一題，則甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是________．參考答案：14.向量滿足，向量滿足，則||的最小值為．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】由已知求出兩向量的夾角，進一步設出=（2，0），=（1，），=（x，y），結(jié)合，可得（x，y）表示以（）為圓心，以1為半徑的圓及圓內(nèi)部．畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：設，則cosθ=，∴θ=60°，∴由題意可設=（2，0），=（1，），=（x，y），則：=（2﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）．∴=≤0．即．∴（x，y）表示以（）為圓心，以1為半徑的圓及圓內(nèi)部．||=表示點（x，y）到原點的距離，如圖所示：連接圓心和原點O，與圓的交點到原點的距離最?。鄚|的最小值為﹣1．故答案為：．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓練了利用向量坐標解決向量問題的方法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（2）=1，且對于任意的x∈R，都有f′（x）＜，則不等式f（log2x）＞的解集為

．參考答案：{x丨0＜x＜4}

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；指、對數(shù)不等式的解法．【分析】構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，由題意可知F（x）=f（x）﹣x在R單調(diào)遞減，原不等式轉(zhuǎn)化成F（log2x）＞F（2），（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式的解集．【解答】解：設F（x）=f（x）﹣x，求導F′（x）=f′（x）﹣＜0，則F（x）在R單調(diào)遞減，由f（log2x）＞，即f（log2x）﹣?log2x＞，由f（2）﹣×2=，∴F（log2x）＞F（2），（x＞0），則log2x＜2，解得：0＜x＜4，∴不等式的解集為：{x丨0＜x＜4}，故答案為：：{x丨0＜x＜4}．故答案為：{x丨0＜x＜4}．【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16.直線l斜率的在[﹣，]上取值時，傾斜角的范圍是

．參考答案：[0，]∪[，π）【考點】直線的傾斜角．【分析】由直線的斜率范圍，得到傾斜角的正切值的范圍，利用正切函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合傾斜角的范圍，最后確定傾斜角的具體范圍．【解答】解：設直線的傾斜角為α，則α∈[0，π），由﹣≤k≤，即﹣≤tanα≤，當0≤tanα≤時，α∈[0，]；當﹣≤tanα＜0時，α∈[，π），∴α∈[0，]∪[，π），故答案為：[0，]∪[，π）．17.設函數(shù)f（x）=，①若a=1，則f（x）的最小值為；②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：﹣1；≤a＜1或a≥2。考點： 函數(shù)的零點；分段函數(shù)的應用．

專題： 創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： ①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；②分別設h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．解答： 解：①當a=1時，f（x）=，當x＜1時，f（x）=2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當x＞1時，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，當1＜x＜時，函數(shù)單調(diào)遞減，當x＞時，函數(shù)單調(diào)遞增，故當x=時，f（x）min=f（）=﹣1，②設h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時，h（x）=與x軸有一個交點，所以a＞0，并且當x=1時，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一個交點，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函數(shù)h（x）=2x﹣a在x＜1時，與x軸沒有交點，則函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個交點，當a≤0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），當h（1）=2﹣a≤時，即a≥2時，g（x）的兩個交點滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是≤a＜1，或a≥2．點評： 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）某體育雜志針對2014年巴西世界杯發(fā)起了一項調(diào)查活動，調(diào)查“各球隊在世界杯的名次與該隊歷史上的的實力和表現(xiàn)有沒有關(guān)系”，在所有參與調(diào)查的人中，持“有關(guān)系”“無關(guān)系”“不知道”態(tài)度的人數(shù)如表所示：

有關(guān)系無關(guān)系不知道40歲以下80045020040歲以上（含40歲）100150300（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“有關(guān)系”態(tài)度的人中抽取45人，求n的值，并求從持其他兩種態(tài)度的人中應抽取的人數(shù)；（2）在持“不知道”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任選取2人，求至少一人在40歲以下的概率.參考答案：（Ⅰ）由題意，得

…………2分從持“無關(guān)系”態(tài)度的人中，應抽取人…………3分從持“不知道”態(tài)度的人中，應抽取人…………4分（Ⅱ）設所選取的人中，有m人在40歲以下，則，解得m=2.……6分就是40歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作則從中任取2人的所有基本事件為

共10個……………9分其中至少有1人在40歲以下的基本事件為共7個

…11分

記事件“選取2人中至少一人在40歲以下”為,則

所以選取2人中至少一人在40歲以下的概率為

………12分19.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前n項和．（Ⅲ）設，求數(shù)列{}的前項和．參考答案：解：（Ⅰ）設數(shù)列{an}的公比為q，由得，所以．由條件可知，故．由得，所以．故數(shù)列{an}的通項公式為an=．（Ⅱ），故，，所以數(shù)列的前n項和為．（Ⅲ）由=．由錯位相減法得其前和為

20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底(1)求的最小值;(2)設不等式的解集為P，且,求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）令，解得；令，解得………3分從而在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當時取得最小值.

………5分（2）因為不等式的解集為P，且，所以，對任意的，不等式恒成立，

………6分由得.當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.

………7分將變形得

………8分令，令，解得；令，解得

………10分從而在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增.所以，當時，取得最小值，從而所求實數(shù)的取值范圍是.………12分21.（本小題滿分14分）在正三棱柱中，點是的中點，．（1）求證：∥平面；（2）試在棱上找一點，使．參考答案：（1）證明：連接，交于點,連接.∵、分別是、的中點，∴∥．

………3分∵平面，平面，∴∥平面．

………6分（2）為的中點．

………7分證明如下：∵在正三棱柱中，，∴四邊形是正方形．∵為的中點，是的中點，∴，

………9分∴，．又∵，，∴．