畫法幾何直線直線的相對(duì)位置直角投影定理直角三角性法市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

同學(xué)們好！大家好!第1頁(yè)第三章直線第二節(jié)各種位置直線第一節(jié)直線投影第三節(jié)普通位置線段實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影傾角第四節(jié)兩直線相對(duì)位置第五節(jié)直角投影定理第2頁(yè)H直線投影仍為直線，兩點(diǎn)確定一條直線，直線上兩點(diǎn)投影用直線連接，就得到直線投影。b第一節(jié)直線投影直線垂直于投影面其投影積聚為一點(diǎn)(積聚性)作CB//ab,則∠ABC為直線AB對(duì)投影面H傾角α.直線傾斜于投影面其投影比實(shí)長(zhǎng)短:

ab=AB·cosα(類似性）直線平行于投影面其投影反應(yīng)線段實(shí)長(zhǎng):

fg=FG（真實(shí)性）投影特征FABae(d)DECα(c)gfGC第3頁(yè)投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（只平行于Ｖ面）側(cè)平線（只平行于Ｗ面）水平線（只平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）普通位置直線與三個(gè)投影面都傾斜直線垂直于某一投影面(平行于另兩投影面)返回第二節(jié)各種位置直線特殊位置直線一、直線分類：第4頁(yè)VHX0ZYW二、相對(duì)投影面各種位置直線投影普通位置直線三個(gè)投影仍為直線；三個(gè)投影都傾斜于投影軸；投影長(zhǎng)度小于線段實(shí)長(zhǎng)；投影與投影軸夾角，不反應(yīng)直線對(duì)投影面傾角。b'a'b'a'b''a''bab''a''baAB普通位置直線ABβγαXZYHYWOb'a'b''a''baXZYWO第5頁(yè)直線上點(diǎn)投影，必在直線同面投影上；（c∈ab,c'∈a'b',c''∈a''b'')線段上點(diǎn)分割線段之比，投影后保持不變。AC/CB=ac/cb=a'c'/c'b'=a''b''/c''b'')1.普通位置直線上點(diǎn)投影VHX0ZYWXYWYHb'a'b''a''baABC是直線AB上點(diǎn)ABc'c''c0Zb'a'b''a''bac'c''cC第6頁(yè)例1如圖中黑色圖形所表示，作出分線段AB為3:2點(diǎn)c兩面投影。0作法：1.過點(diǎn)a任作一條直線ae；2.在ae上截取五等分；3.連接be；4.在離點(diǎn)a三等分點(diǎn)處作直線平行于be，交ab上一點(diǎn)c；

5.過點(diǎn)c作直線垂直于ox,交a′b′于點(diǎn)c′。點(diǎn)C(c,c′)即為所求。aba'b'c'cex第7頁(yè)VHX0ZYW2.投影面平行線X0ZYWYHb'a'b''a''ba1)正平線（投影面V平行線AB）αγαγAB投影特征：1.a"b"

//OZ，ab//OX；2.a'b'=AB；3.正面投影反應(yīng)α、γ角真實(shí)大小。bab'a'b''a''ABABAB第8頁(yè)VHX0ZYW投影特征：1.a'b'//OX，a"b"http://OYw；2.ab=AB；即：水平投影反應(yīng)線段實(shí)長(zhǎng)及β、γ角真實(shí)大小。aa'b'a''bb''Xa'b'a''b''ba0zYHYWβγ2)水平線（投影面H平行線AB）ABβγ第9頁(yè)3)側(cè)平線（投影面W平行線AB）XZa'b'b''baOYHYWa''αβVHX0ZYWaa'b'a''b''bABβα（小結(jié)）投影面平行線投影特征：1.在直線所平行投影面上投影，反應(yīng)線段實(shí)長(zhǎng)；它與投影軸夾角，分別反應(yīng)直線與另兩投影面夾角真實(shí)大小。2.在另外兩個(gè)投影面上投影，平行于對(duì)應(yīng)投影軸，長(zhǎng)度縮短。第10頁(yè)3.投影面垂直線VHX0ZYW1)正垂線(投影面V垂直線AB)(b')a'ABb''a''babab''a''(b')a'投影特征：1.

a'(b')積聚成一點(diǎn)

2.

a

b⊥Ox；a''b''⊥Oz

3.

a

b=a''

b''=ABzxyHyHo第11頁(yè)(投影面H垂直線AB)投影特征：1、ab

積聚成一點(diǎn)

2、a'

b'⊥ox,a''

b''⊥oyw

3、a'

b'=a''

b''=ABzb'xa'b''a(b)oYHYWa''VHX0ZYWa''b''b'a'a(b)AB2)鉛垂線第12頁(yè)(投影面W垂直線AB)投影面垂直線投影特征：1.在與直線垂直投影面上投影積聚成一點(diǎn)。2.在另外兩個(gè)投影面上投影垂直于對(duì)應(yīng)投影軸且反應(yīng)線段實(shí)長(zhǎng)。VHX0ZYWbaa'b'a''(b'')ABZxa''(b'')b'aoYHYWa'b3)側(cè)垂線第13頁(yè)zz1z1zoxa′b′abk′k12例2側(cè)平線上點(diǎn)已知AB兩面投影及其上面點(diǎn)K正面投影，求點(diǎn)K水平投影。利用點(diǎn)在線上分割線段成定比，投影后不變性質(zhì)作圖。第14頁(yè)第三節(jié)普通位置線段實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角方法是：以線段在某一投影面上投影長(zhǎng)為一直角邊，兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面距離差為另一直角邊形成直角三角形。其斜邊是線段實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)夾角就是該直線與這個(gè)投影面傾角。VHX0ZYWb'a'b''a''baABαγβ

X0ZYWYHb'a'b''a''ba在正面投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角β在水平投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角α在側(cè)面投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角γ實(shí)長(zhǎng)βγα實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ββγ直角三角形法Bo第15頁(yè)直角三角形求線段實(shí)長(zhǎng)及其

與投影面傾角中三個(gè)三角形

設(shè)所求線段為AB在三個(gè)直角三角形中，斜邊為線段實(shí)長(zhǎng)；一個(gè)直角邊為某投影長(zhǎng)，該投影與斜邊夾角為該直線與投影面夾角；夾角所正確邊為線段兩端點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)差。βαAB線段實(shí)長(zhǎng)ΔZABab長(zhǎng)γAB線段實(shí)長(zhǎng)ΔXABa''b''長(zhǎng)βββAB線段實(shí)長(zhǎng)ΔYABa'b'長(zhǎng)第16頁(yè)例1已知線段實(shí)長(zhǎng)AB，求它水平投影。aAB依據(jù)已知條件，要求得ab，其方法一是求得A、B兩點(diǎn)Y坐標(biāo)差(ΔYAB)

；方法二是求得ab長(zhǎng)。此題有兩解(多解時(shí)普通只畫一解）b'xa'obABb'xa'obABb'xa'ob第17頁(yè)a'b'AB方法二已知線段實(shí)長(zhǎng)AB，求它水平投影。aAB此題有兩解b'xa'ob解法二第18頁(yè)方法三：求出ab長(zhǎng)ABb'xa'obABxa'bABBaΔZAB12以AB兩點(diǎn)Z坐標(biāo)差為一直角邊直角三角形中，另一直角邊為AB水平投影ab長(zhǎng)。即：12=ab第19頁(yè)ΔZAB例2已知直線ABα=30°求作AB正面投影。oxaba′b′ΔZAB30°1.分析要求得a′b′，其實(shí)就是求b′；要求得b′也就是想方法找到A、B兩點(diǎn)Z坐標(biāo)差或者求出a′b′長(zhǎng)。B02.作圖1）作ΔabB0,使∠α=30°∠A對(duì)邊為ΔZAB2）過a′作直線平行于Ox軸，與過b而垂直于ox軸直線交于一點(diǎn)b03）以b0為圓心以ΔZAB為半徑畫圓弧，交bb0延長(zhǎng)線于點(diǎn)b′4）用直線連接a′b′即為所求。b0第20頁(yè)oxaa′b′kbcd6820d′c′6820k′例3已知CD∩AB=K，CD∥H，求CD正面投影。求k′同前。因?yàn)镃D∥H所以c′d′∥ox軸。第21頁(yè)

同學(xué)們好！第22頁(yè)第四節(jié)兩直線相對(duì)位置分析：1.已知AB∥CD,依據(jù)正投影圖作圖法可知：(AaP∥BbP∥CcP∥DcP)⊥P面，則平面ABbPaP∥CDdPcP；2.兩個(gè)平行平面（ABbPaP與CDdPcP）與第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交線平行；3.總而言之，我們能夠得出：若空間兩直線平行那么他們同面投影也對(duì)應(yīng)平行（如：ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″）

一.兩平行直線XZYWOYHXZYWOBDa′b′aba″b″cdd′c′d″c″PAaPbPCcPdPAXYHXZYWOa′b′aba″b″cdd′c′d″c″第23頁(yè)例1判斷兩直線是否平行aa'bd'c'b'cdox方法一：

看直線方位：由投影圖能夠看出ab、cd同向（均由后向前）；a'b'與c'd'反向（a'b'由上向下，c'd'由下向上）由此看出AB與CD不平行。方法二：看百分比：a'b'/c'd'≈1,ab/cd＜1,由此可知，AB不平行于CD。第24頁(yè)例2如圖所表示，判斷兩側(cè)平線相對(duì)位置。bX0a'cdd'c'b'a作輔助直線AD與BC兩面投影,判斷：AD與BC是兩相交直線,則AB與CD共面.只要證實(shí)AB與CD共面則有AB∥CD。X0a'bcc'b'ab''c''d''ccca'bc'b'caa'bc'b'cdYWX0a'bcc'b'ab''c''d''ccca'bc'b'caa'bc'b'cdYWX0a'bcc'ab''c''d''ccca'bc'caa'bc'cdYWX0a'bcc'ac''d''ca'bc'aa'bd'c'dYWYHa''Z方法三：求第三投影(三個(gè)投影都相互平行，則AB∥CD)方法四：看已知二直線是否共面第25頁(yè)abcdc

a

b

d

例3判斷圖中兩條直線是否平行。由此可知：對(duì)于普通位置直線，只要有兩個(gè)同名投影相互平行，空間兩直線就平行。即AB//CD返回1

1∴a

b

:c

d

=ab:cd∵a

b

∥c

d

,ab∥cd△a

b

1

∽

△1

c

d

;△ab

1∽

△

1

cd;∴a

1

:1

d

=a1:1da

a∥1

1∥d

d∴AB與CD共面a

b

∥c

d

,ab∥cdox第26頁(yè)二、兩相交直線所以，三對(duì)同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)三面投影特規(guī)律ZYHa'bX0YWb'b''a''ae''e'ed'c'd''c''dcPABCDEapbpcpdpe兩直線相交有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（E）交點(diǎn)是相交兩直線公有點(diǎn)（P面能夠看作H、V、W面）第27頁(yè)例1

已知AB與CD相交，又知AB兩面投影及CD正面投影c

d，且CD平行于V面。求CD水平投影a

b

c

d

aboxk

分析：∵AB∩CD=K∴K∈AB，K∈CD∴k∈ab，k∈cda

k

/k

b

=ak/kb又因?yàn)锳B平行于W面，所以cd//ox軸。用定比分點(diǎn)法求k。解：1.過a任作一條直線ae；2.在ae上截取a1=a

b；a2=a

k

長(zhǎng)度3.連接1b4.作2k∥1b,與ab交于點(diǎn)k5.過k作直線平行于ox軸6.過c、d作直線垂直于ox,交上述直線于點(diǎn)c、de12a

k

長(zhǎng)

cd第28頁(yè)三、交織直線交織兩直線投影既不符合平行兩直線投影特征，也不符合相交兩直線投影特征。XXXXYHXXXXb'a'ae'ec'cfb'a'ae'ec'cfb'a'ae'ec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'aec'cfb'a'ac'c

AB與CD交織，為何他們?cè)赑面上投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上點(diǎn)F和直線CD上點(diǎn)E位于指向P面同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上投影重合，點(diǎn)F投影可見而點(diǎn)E投影不可見。ZYH0YWb''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''b''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWb''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''b''a''be''d'd''c''df''0YWa''be''d'd''c''df''0YWe''d'd''c''df''dddpbp(f')ABDapFEfp（ep）PScpfaZYH0YWb'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''b'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''b'b''a''be''d'd''c''df''0YWb'a''be''d'd''c''df''0YWb'e''d'd''c''df''dda'ae'efa'ae'efa'ae'efa'aefa'aefa'aefa'aefa'aefa'aefa'ac

AB與CD交織，為何他們?cè)赑面上投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上點(diǎn)F和直線CD上點(diǎn)E位于指向P面同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上投影重合，點(diǎn)F投影可見，本題中點(diǎn)E、F是對(duì)V面一對(duì)重影點(diǎn)；點(diǎn)E在前，所以點(diǎn)F正面投影f'不可見。(f')C第29頁(yè)例1判斷兩直線相對(duì)位置xa'ac'd'dcbb'od''a''c''b''yzy

解法1:作出側(cè)面投影,由三面投影可知,兩直線交織第30頁(yè)xa'ac'd'dcbb'o例2判斷兩直線相對(duì)位置(解法2)1'1用點(diǎn)分割直線段之比，投影后保持不變性質(zhì)判斷。由水平投影可判斷，點(diǎn)Ⅰ不屬于直線AB，故兩直線交織。第31頁(yè)第五節(jié)直角投影定理

直角投影定理：

相互垂直兩直線，當(dāng)一邊為某投影面平行線時(shí)，他們?cè)谠撏队懊嫔贤队笆侵苯?。逆定理也是成立。AB⊥BC，直角邊AB平行于投影面P(P面能夠被看作是H、V、W面）∵AB∥P，Bbp⊥P∴AB⊥Bbp又∵AB⊥BC，

∴AB⊥Q，即AB⊥bpcp

∵ab∥AB,∴ab⊥Q,即apbp⊥bpcpabcX0a'c'b'