量子力學的矩陣形式與表象變換

量子力學的矩陣形式與表象變換第七章量子力學的矩陣形式與表象變換

方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣。矩陣簡介1、定義第2頁,共68頁，2024年2月25日，星期天2、兩矩陣相等（行列數(shù)相等）3、兩矩陣相加（行列數(shù)相等）4、兩矩陣相乘（

一個n列的矩陣A與一個n行的矩陣B相乘）第3頁,共68頁，2024年2月25日，星期天

(1)稱A、B矩陣相互不對易稱A、B矩陣相互對易（2）(3)(4)，但B=C不一定成立(5)AB=0，但A=0，B=0不一定成立(6)A2=0，但A=0不一定成立第4頁,共68頁，2024年2月25日，星期天5、對角矩陣:除對角元外其余為零6、單位矩陣單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A：IA=A并且與任何矩陣都是可對易的：IA=AI第5頁,共68頁，2024年2月25日，星期天把矩陣A的行和列互相調(diào)換，所得出的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。

7、轉(zhuǎn)置矩陣：共軛矩陣：第6頁,共68頁，2024年2月25日，星期天8、厄密矩陣：如果一個矩陣A和它的共軛矩陣相等

則稱A矩陣為厄密矩陣第7頁,共68頁，2024年2月25日，星期天表象理論根據(jù)量子力學的基本原理，微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述，力學量用線性厄密算符描述。前面所使用的波函數(shù)及力學量算符均以坐標為變量而寫出其具體表達形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力學量的本征值譜為變量）回答是：不僅有，而且非常必要！因為恰當選擇描述體系的具體形式（自變量）可給運算帶來很多方便。量子力學中狀態(tài)和力學量的具體表示方式——表象常用表象：坐標表象，動量表象，能量表象，角動量表象等。第8頁,共68頁，2024年2月25日，星期天一個定義：表象的定義二個表示：態(tài)（波函數(shù)）在任意表象中的表示

力學量（算符）在任意表象中的表示三個公式：平均值公式本征值方程薛定諤方程在任意表象中的表示表象理論中采用的數(shù)學工具主要是矩陣矩陣力學（海森堡Heisenberg

）第9頁,共68頁，2024年2月25日，星期天§7.1量子態(tài)的不同表象討論分立譜的情況的本征值為：F1,F2,...,F

n,...，相應(yīng)本征函數(shù)：構(gòu)成正交歸一完備系在坐標表象中設(shè)力學量算符若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù)

(x,t)

描述，有：第10頁,共68頁，2024年2月25日，星期天說明：給出量子態(tài)在t時刻測量粒子坐標為x的概率密度（1）|an(t)

|2

表示在

(x,t)所描述的狀態(tài)中測量F得Fn的概率密度二者從不同角度對同一量子態(tài)給予描述,物理意義是等價的,數(shù)學上也是等價的.（2）an(t)一般不再是坐標x的函數(shù)而是力學量F的本征值Fn的函數(shù)，即量子數(shù)n的函數(shù)，隨n的不同取不同復(fù)數(shù)值.第11頁,共68頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：{an(t)}與

(x,t)描述體系的同一個態(tài)，(x,t)是這一狀態(tài)在坐標表象中的表示，而數(shù)列{an(t)}是這同一狀態(tài)在F表象中的表示。我們可以把數(shù)列{an(t)}寫成列矩陣的形式，用F標記：把矩陣

F稱為

(x,t)所描寫的狀態(tài)在F表象中的波函數(shù)

F的共軛矩陣是一個行矩陣，用

+F標記第12頁,共68頁，2024年2月25日，星期天若用矩陣表示歸一化，有：

綜上所述，量子力學中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學量表象中的波函數(shù)來描寫。所取表象不同，波函數(shù)的形式也不同。我們可以根據(jù)處理問題的需要選用適當?shù)谋硐笠苑奖闱蠼狻?/p>

第13頁,共68頁，2024年2月25日，星期天例:若給出：中心力場能量表象為：第14頁,共68頁，2024年2月25日，星期天Hilbert（希耳伯特）空間：態(tài)矢量所在的無限維空間

量子力學中，態(tài)的表象這一概念與幾何學中選取不同的坐標系來表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學中，我們可以建立一個n維（n可以是無窮大）空間，把波函數(shù)

看成是這個空間中的一個矢量，稱為態(tài)矢量。選取一個特定力學量F表象，相當于選取特定的坐標系。該坐標系是以力學量F的本征函數(shù)系為基矢，態(tài)矢量在各基矢上的分量則為展開系數(shù)可用這組分量來表示。，在F表象中態(tài)矢量

F表象的基矢有無限多個，所以態(tài)矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。第15頁,共68頁，2024年2月25日，星期天§7.2力學量(算符)的矩陣表示力學量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對應(yīng)，以保證對波函數(shù)的作用有意義。F表象中的算符表示（分立譜的情況）：設(shè)量子態(tài)

經(jīng)過算符運算后變成另一個態(tài)

：在以力學量完全集F的本征態(tài)

k為基矢的表象（F表象）中，上式變成：第16頁,共68頁，2024年2月25日，星期天以左乘上式兩邊并對x積分，積分范圍是x變化的整個區(qū)域得表成矩陣的形式則為：第17頁,共68頁，2024年2月25日，星期天

在F表象中的矩陣表示，而矩陣左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù)

和波函數(shù)中的表示。即算符則有：

用表示這個矩陣在F表象第18頁,共68頁，2024年2月25日，星期天的性質(zhì)討論：

F表象中力學量算符1、算符在自身表象中是一對角矩陣，對角元素就是算符的本征值。第19頁,共68頁，2024年2月25日，星期天證明:第20頁,共68頁，2024年2月25日，星期天2、力學量算符用厄密矩陣表示即L矩陣的第m列第n行的矩陣元等于第n列第m行矩陣元的復(fù)共軛，這就是厄密矩陣。用L+表示矩陣L的共軛矩陣，則有：其對角矩陣元為實數(shù)第21頁,共68頁，2024年2月25日，星期天證明:第22頁,共68頁，2024年2月25日，星期天一維無限深勢阱能量的本征函數(shù)基矢為:求一維無限深勢阱中粒子的坐標算符

及哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示。

解：能級n=1,2,3,…..例:第23頁,共68頁，2024年2月25日，星期天當時，非對角元為:當m=n時,對角元為:坐標算符第24頁,共68頁，2024年2月25日，星期天哈密頓算符對角元：第25頁,共68頁，2024年2月25日，星期天§7.3量子力學公式的矩陣表示一、Schr?dinger方程

在F表象中，

(t)按力學量算符F的本征函數(shù)展開,表示為左乘

j*對x整個空間積分（取標積）

第26頁,共68頁，2024年2月25日，星期天F表象中的Schr?dinger方程(表示為矩陣形式):第27頁,共68頁，2024年2月25日，星期天二、平均值公式在量子態(tài)

下，力學量L的平均值為:F表象中力學量L的平均值的矩陣形式

第28頁,共68頁，2024年2月25日，星期天特例：若，則

（對角矩陣）則

，假定

已歸一化，即

則表示在

態(tài)下測量L得到Lk值的概率。第29頁,共68頁，2024年2月25日，星期天三、本征值方程在F表象中，

(t)按力學量算符F的本征函數(shù)展開,表示為:左乘

j*對x整個空間積分（取標積）

第30頁,共68頁，2024年2月25日，星期天的本征方程在F表象中的矩陣形式:它是ak（k=0,1,2,

）滿足的線性齊次方程組，有非平庸解的條件為（此方程組有非零解的條件)其系數(shù)行列式等于零，即即：第31頁,共68頁，2024年2月25日，星期天稱為久期方程設(shè)表象空間維數(shù)為N，則上式是的N次冪代數(shù)方程。對于可觀測量，Ljk為厄米矩陣，可以證明，上列方程必有N個實根，記為，(j=0,1,2,

,N)?？汕蟪鱿鄳?yīng)的解(k=0,1,2,,N)，表成列矢相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示

與本征值第32頁,共68頁，2024年2月25日，星期天給定算符如何求本征值與本征函數(shù)——（1）先求用矩陣表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函數(shù)。

第33頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（1）在A表象中，算符A,B的矩陣表示。（2）在A表象中，算符B的本征值和本征函數(shù)。例1、設(shè)Hermite算符，滿足，且AB+BA=0，求:第34頁,共68頁，2024年2月25日，星期天解題思路：由A的本征函數(shù)的定義，很容易求出在A表象中A的本征函數(shù)及矩陣，利用A,B之間的反對易關(guān)系和幺正性，即可給出B的矩陣，本征函數(shù)和本征值.第35頁,共68頁，2024年2月25日，星期天由解：（1）在A的自身表象中若無簡并，A的矩陣為第36頁,共68頁，2024年2月25日，星期天由

AB+BA=0

，所以：第37頁,共68頁，2024年2月25日，星期天因為：有：bc=1即：所以，在A表象下，第38頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（2）設(shè)在A表象中，B的本征函數(shù)與本征值為久期方程為：第39頁,共68頁，2024年2月25日，星期天同理，當λ=-1

時本征函數(shù)為：結(jié)合歸一化條件，當λ=1時本征函數(shù)為，第40頁,共68頁，2024年2月25日，星期天例2、已知體系的哈密頓算符?與某一力學量算符在能量表象中的矩陣形式為：(1)、H和B是否是厄密矩陣；其中

和b為實常數(shù)，問(3)、算符B的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù)；(2)、H和B是否對易；第41頁,共68頁，2024年2月25日，星期天解：（1）所以H和B是厄密矩陣。第42頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（2）所以H和B對易。第43頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（3）設(shè)B的本征值為代入久期方程有：第44頁,共68頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共68頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共68頁，2024年2月25日，星期天例題3在正交歸一化基矢所張的三維矢量空間中，t=0時的態(tài)矢而物理體系的能量算符H和另外兩個物理量算符A與B的矩陣形式為:第47頁,共68頁，2024年2月25日，星期天態(tài)中算符A、B的

均為實數(shù)，求：（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函數(shù)（態(tài)矢）的表示；（3）態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、（4）可能值、相應(yīng)概率及平均值。第48頁,共68頁，2024年2月25日，星期天解：（1）因為矩陣H為對角矩陣.所以是能量表象；此表象為H的本征態(tài)，基矢在能量表象中為第49頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（2）表象中波函數(shù)的表示為x表象有：故能量表象中態(tài)矢為:第50頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（3）由對角矩陣可知，能量取值只能是且是兩度簡并的，取和的概率分別是:故或第51頁,共68頁，2024年2月25日，星期天（4）卻不是A的本征函數(shù)集。令A(yù)在能量表象中的本征態(tài)為:是H的本征函數(shù)集，，則本征方程為本征值為第52頁,共68頁，2024年2月25日，星期天

故

故故解久期方程得時當當當時時第53頁,共68頁，2024年2月25日，星期天可見，由于能量表象不是的自身表象，故的矩陣形式不同于要求A的可能值(2a,a,-a)在態(tài)中（即態(tài)中）的概率分布，就要把按A的本征態(tài)展開第54頁,共68頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共68頁，2024年2月25日，星期天最后得A表象中態(tài)矢表達式:所以A取值為(2a,a)的概率分別為:第56頁,共68頁，2024年2月25日，星期天量子力學可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運動規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以該方法所使用的符號稱為Dirac符號?！?Dirac符號第57頁,共68頁，2024年2月25日，星期天1、右矢空間(ket)

量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間?？臻g中的一個矢量（方向）一般為復(fù)量，用以標記一個量子態(tài)。在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個矢量|>與量子狀態(tài)相對應(yīng)，該矢量稱為右矢。若要標志某個特殊的態(tài)，則在右矢內(nèi)標上某種記號。因為力學量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡稱基矢）。右矢空間的任一矢量|

>可按該空間的某一完備基矢展開。

例如：

第58頁,共68頁，2024年2月25日，星期天右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應(yīng)的左矢量，記為<|。2、左矢空間(bra)左矢<|表示共軛空間中與|>相應(yīng)的一個抽象態(tài)矢。例如：互為共軛態(tài)矢

與第59頁,共68頁，2024年2月25日，星期天3、標積記為：

態(tài)矢間的標積：

有為歸一化態(tài)矢。正交；若，則稱與若，則稱設(shè)力學量完全集F的本征態(tài)（離散）記為|k>，它們的正交歸一性表示為：第60頁,共68頁，2024年2月25日，星期天4、態(tài)矢在具體表象中的表示在F表象中（基矢記為|k>），態(tài)矢|

>可用