解答題前三題1-20(學(xué)生版)

解答題前三題專練0001

1.已知數(shù)列｛4｝滿足：?！?]=2?！耙弧?1（〃GN*）,4=3.

（1）證明數(shù)列2=?！?〃（〃6'*）是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項;

（2）設(shè)%=%+「""，數(shù)列匕,｝的前〃項和為⑸｝,求證：S?<\.

anan+\

2.繼共享單車之后，又一種新型的出行方式----“共享汽車”也開始亮相北上廣深等十余

大中城市，一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”，每次租車收費

按行駛里程加用車時間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點10公里，

每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據(jù)

一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內(nèi)的情況如下：

時間（分鐘）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)

次數(shù)814882

以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為

[15,65]分鐘.

（I）若李先生上.下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交

通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)〈是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求J的分布列和期

望.

（II）若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月（以20天計算）平均用車費用大約

是多少（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）.

1

3.如圖，在長方體A6CD—A4G，中，48=1,4。=2,瓦尸分別為4。,441的中點,

。是BC上一個動點，且5Q=/lQC(；l>0).

(1)當(dāng);1=1時，求證：平面8EE//平面4OQ；

(2)是否存在；I,使得BDLFQ?若存在，請求出力的值；若不存在，請說明理由.

2

解答題前三題專練0002

1.已知數(shù)列｛4｝中，4=1,—^—(neN*

4+4、

（1）求證：是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式為；

（2）數(shù)列也｝滿足a=（4"-1）?生？■?6,，求數(shù)列也｝的前〃項和7；.

2.某市在對高三學(xué)生的4月理科數(shù)學(xué)調(diào)研測試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,全市10000名學(xué)生的成績服

從正態(tài)分布X?N（110,144）,現(xiàn)從甲校100分以上（含100分）的200份試卷中用系統(tǒng)抽

樣的方法抽取了20份試卷來分析，統(tǒng)計如下：

試卷編號叼28WIO

試卷得分109118112114126128127124126120

試卷編號叫3以14?15?n叫8%

試卷得分13513813513713513914214414B150

（注：表中試卷編號7?1V巧<28〈力4<%v<%））

甲校乙校

248

842159

87664026789

98755524579

8422337

0

（1）列出表中試卷得分為126分的試卷編號（寫出具體數(shù)據(jù)）；

（2）該市又從乙校中也用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得

分制作了莖葉圖（如圖6）,試通過莖葉圖比較兩校學(xué)生成績的平均分及分散程度（均不要

求計算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（3）在第（2）問的前提下，從甲乙兩校這40名學(xué)生中，從成績在140分以上（含140分）

3

的學(xué)生中任意抽取3人，該3人在全市前15名的人數(shù)記為求J的分布列和期望.

(附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(4，〃)，則P(〃一cr<X<〃+b)=68.3%

P(〃-2b<X<〃+2b)=95.4%,尸(〃-3cr<X<〃+3cr)=99.7%)

71

3.如圖1,在直角梯形ABC。中，AD//BC,ZBAD=~,AB=BC=\,AD=2,E

2

是A。的中點，。是AC與BE的交點.將aABE沿BE折起到△ABE的位置，如圖2.

圖1

(1)證明：CD_L平面40C；

(2)若平面4BE平面BCDE,求平面A.BC1與平面\CD夾角的余弦值.

4

解答題前三題專練0003

1.已知數(shù)列｛4｝中，4=0,an+i=2an+n,^n&N").

⑴令2=4用一?！?1，求證：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

⑶令g=2,當(dāng)%取得最大項時，求〃的值?

2.2018年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年，有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識，面

向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機會，通

過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示：

組距

0.0250...........................y—,

0.0225.............................................

0.0150

0.0100

O.OOSO

0.0025

-01^304050?)708090100

(I)估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(H)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(〃,210),〃近似

為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求

P(50.5<Z<94)；

(in)在(n)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

(i)得分不低于〃可獲贈2次隨機話費，得分低于〃則只有1次；

(ii)每次贈送的隨機產(chǎn)費和對應(yīng)概率如y：

贈送話費(單元：元)1020

5

31

概率

44

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：V210=14.5,

(若ZN("d),則P(〃—b<Z<〃+cr)=68.3%,P(〃—2b<Z<〃+2cr)=95.4%

.尸(M—3bvZ<〃+3cr)=99.7%)

3.如圖，三棱柱ABC—44G中，444=/^44=60°,例=AC=4,AB=2,

P,Q分別為棱4\,AC的中點.

(1)在平面ABC內(nèi)過點A作AM//平面PQ片交BC于點M,并寫出作圖步驟，但不要

求證明.

(2)若側(cè)面ACG4,側(cè)面A84A，求直線4G與平面所成角的正弦值.

6

解答題前三題專練0004

1.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為工，且滿足S“+a,用=—%L，4=L

25“2

（1）求S,及4；

—，〃為奇數(shù),1

⑵若Sn，求也｝的前2〃項的和耳.

為偶數(shù)

2.一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字

是2,2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.

（I）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

（IDX表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：若三個數(shù)a,"c滿足則稱匕為這三個數(shù)的中位數(shù)）.

7

3.如圖，在三棱柱ABC—44G中，。為8C的中點，ABAC=90°,ZA,AC=60°,

AB-AC-AA)=2.

(1)求證：4///平面AD0；

(2)當(dāng)BC|=4時，求直線4c與平面AOG所成角的正弦值.

8

解答題前三題專練0005

1.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足q+/+。4=28,且q+2是生，%的等差中項.

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(0)若數(shù)列也｝滿足，=含一島■+六■+言/求數(shù)列也｝的通

項公式；

2.菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但蔬菜上市時蔬菜仍存

有少量的殘留農(nóng)藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水X(單位：千克)清洗蔬菜

1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位：微克)的統(tǒng)計表：

X12345

y5854392910

(1)在下面的坐標(biāo)系中，描出散點圖，并判斷變量x與y是正相關(guān)還是負相關(guān);

W1491625

y5854392910

9

（2）若用解析式>=以2+1作為叱一詞

蔬菜農(nóng)藥殘量；與用水量X的回歸

方程，令?=一,計算平均值討與

?，完成以下表格（填在答題卡中），求出;與X的回歸方程.（c,d保留兩位有效數(shù)字）;

（3）對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食

用該蔬菜，請評估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精確到01，參考數(shù)據(jù)

2.230（附：對于一組數(shù)據(jù)（%,/）,（4,?,……,（w?,vn）,其回歸直線u=a+/?M的

斜率和截距的最小二乘法估計分別為：B—-V-,a^v-j3u^

Z\（-）

3.如圖，在三棱柱ABC—44G中，平面AACG_L平面ABC,AB=BC=2,

NACB=30,ZC,CB=120,BCt±,E為AC的中點.

（1）求證：AC_L平面GE8；.

（2）求二面角A—A6—C的余弦值.

10

解答題前三題專練0006

1.已知數(shù)列｛4｝,他｝3“為數(shù)列｛4｝的前"項和且5.=2/一2也=〃2(〃€*>

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

-華，〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛%｝的通項公式為&=｛:，令T“為的前〃項和匕｝，求與.

&&,〃為偶數(shù)

2.在一次體能測試中，某研究院對該地區(qū)甲、乙兩學(xué)校做抽樣調(diào)查，所得學(xué)生的測試成績?nèi)?/p>

下表所示：

甲67727579678288807090

乙69737580698189827191

(1)將甲、乙兩學(xué)校學(xué)生的成績整理在所給的莖葉圖中，并分別計算其平均數(shù);

(2)若在乙學(xué)校被抽取的10名學(xué)生中任選3人檢測肺活量，求被抽到的3人中，至少2

人成績超過80分的概率；

(3)以甲學(xué)校的體能測試情況估計該地區(qū)所有學(xué)生的體能情況，則若從該地區(qū)隨機抽取4

名學(xué)生，記測試成績在80分以上(含80分)的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

11

3.如圖，在正方形ABC。中，點￡,歹分別是4？,8c的中點，將△OCF分別

沿DE,OF折起，使A,C兩點重合于P.

(I)求證：平面PBD1平面BFDE；

(II)求二面角P-Z)￡_尸的余弦值.

12

解答題前三題專練0007

1.已知在A4BC中，28=A+C,且c=2a.

(1)求角A,5,C的大??；

(2)設(shè)數(shù)列｛凡｝滿足an=21cos〃C|,前〃項和為S,,,若5“=2(),求枕的值.

2.為了檢驗訓(xùn)練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員12人，女隊員

18人，測試結(jié)果如莖葉圖所示(單位：分).若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號，

其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號.

(1)若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人，然后再從這

10人中選4人，那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少？

(2)若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表，用§表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數(shù)，試求《的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

女隊員

7899

24589

3456

1

13

3.四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為矩形，A3=2,BC=PB.側(cè)面PAB_L

底面ABCD.

(1)證明：PCLBD；

(2)設(shè)3。與平面PAO所成的角為45。，求二面角8-PC-O的余弦值.

14

解答題前三題專練0008

1.己知等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，4=3,且％,a5,%,成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

-

(2)若勿=(-I)"'a?an+l,求數(shù)列｛bn｝的前2〃項和S2n.

2.如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳(剪刀、石頭、布)比賽決勝

誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环?/p>

原地不動，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一

級臺階.的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當(dāng)有任何一方登上第3個臺階時，游戲結(jié)束，

記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為X.

(1)求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率;

(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

15

3.如圖，在棱長為2的正方體ABCD—44GA中，E,F,M,N分別是棱AB,

AD,44A2的中點，點、P，。分別,在棱DDX,上移動，且

DP=B0=A(O<A<2).

(1)當(dāng)4=1時，證明：直線8G〃平面EFPQ；

(2)是否存在/I,使面EFPQ與面PQMV所成的二面角為直二面角？若存在，求

出丸的值；若不存在，說明理由.

16

解答題前三題專練0009

1.在等比數(shù)列｛%｝中，己知a,=3,公比qwl,等差數(shù)列｛bn｝滿足

瓦=%b尸，％件？

(I)求數(shù)列｛%｝與也｝的通項公式；

(II)記q,=(—l)”2+%,求數(shù)列｛c,｝的前〃項和S”.

2.袋中有大小相同的3個紅球和2個白球,現(xiàn)從袋中每次取出一個球,若取出的是紅球，則放

回袋中，繼續(xù)取一個球,若取出的是白球,則不放回，再從袋中取一球,直到取出兩個白球或者

取球5次,則停止取球,設(shè)取球次數(shù)為X,

(1)求取球3次則停止取球的概率；

(2)求隨機變量X的分布列.

17

3.如圖，四棱錐P—ABC。的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AO=3BC=6,

P5=6及，點”在線段AO上，且MO=4,ADYAB,PAL平面ABC。.

(1)求證：平面PCM，平面PA。；

(2)當(dāng)四棱錐P-ABC。的體積最大時，求平面PCM與平面PCD所成二面角的余弦值.

18

解答題前三題專練0010

2

1.設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的〃項和,SH=n,數(shù)列也｝滿足打=%，bn+i=bn+2.

(1)求q,即我；

(2)記⑺表示〃的個位數(shù)字，如(6174)=4,求數(shù)列<的前20項和.

2.為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取10件零件,

度量其內(nèi)徑尺寸(單位：pm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)

的零件的內(nèi)徑尺寸服從正態(tài)分布N.d).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某一天內(nèi)抽取的10個零件中其尺寸在(〃一3cr,〃+3cr)

之外的零件數(shù)，求產(chǎn)(X22)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)某天正常工作的一條生產(chǎn)線數(shù)據(jù)記錄的莖葉圖如下圖所示：

97788

1056788

116

①計算這一天平均值〃與標(biāo)準(zhǔn)差b；

②一家公司引進了一條這種生產(chǎn)線，為了檢查這條生產(chǎn)線是否正常，用這條生產(chǎn)線試生產(chǎn)了

5個零件，度量其內(nèi)徑分別為(單位：gm)：85,95,103,109,119,試問此條生產(chǎn)線是否需

要進一步調(diào)試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：P(4—2tr<X<4+2cr)=0.9544,P(4—3cr<X<"+3b)=0.9974,

O.997410x0.9743,0.99744?0.99,0.95443?0.87,

0.026x0.99749?0.0254,0.04562?0.002,7352?5.9330.

19

3.在五面體ABCDEF中，AB/CD/,ADLCD,ZDCF=60

CD=EF=CF=2AB=2AD=2,平面CDEF±平面ABCD..

(1)證明：直線CEJ_平面AOF；

(2)已知尸為棱BC上的點，試確定P點位置，使二面角P-OF-A的大小為60.

20

解答題前三題專練0011

1.函數(shù)“X)滿足：/(g)=g,且對任意a/eR,都有〃a/)=a/(/7)+4/(a),

設(shè)怎7目

⑴求數(shù)列優(yōu)｝的通項公式；

⑵求數(shù)列優(yōu)｝的前〃項和s”.

2.某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上，這些采用水培、無土栽培方

式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭相購買的對象，過去50周的資料顯示，該地周光照

量X(小時)都在30以上，其中不足50的周數(shù)大約5周，不低于50且不超過70的周數(shù)

大約有35周，超過70的大約有10周，根據(jù)統(tǒng)計某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量》(百

斤)與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料九(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.

y(百斤)

ii

巴；；：

：：：：

3.!!■■,

O24568x(千克)

(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$=%+△；并根據(jù)

所求線性回歸方程，估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每

個蔬菜大鵬增加量y是多少斤？

(2)因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應(yīng)對惡劣天氣對光照的影響，為該

基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運行，但每周光照控制儀

最多可運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：

21

周光照量X（單位：小時）30<X<5050<X<70X〉70

光照控制儀最多可運行臺數(shù)321

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照儀周利潤為4000元：若某臺光照儀未運行，則該臺光

照儀周虧損500元，欲使商家周總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？

〉xV-ivcy八八

附：回歸方程系數(shù)公式：43——一，=9—%.

￡/-〃（?&b

3.棱臺A6CD-A4G。的三視圖與直觀圖如圖所示.

（1）求證：平面ACG4，平面；

9[7

（2）在線段上是否存在一點。，使C。與平面所成的角的正弦值為望？

若存在，指出點。的位置，若不存在，說明理由.

22

解答題前三題專練0012

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且4=2,S5=30,數(shù)列也｝的前〃項和為7；，且

7；=2"-1.

⑴求數(shù)列｛q｝,也｝的通項公式；

(2)設(shè)c”=lna+(-l)”lnS"，求數(shù)列｛%｝的前〃項和.

R

2.測試中，客觀題難度的計算公式為￡=號，其中片為第i題的難度，用為答對該題的人

數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進行一次測試.共5道客觀題.

測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

題號12345

考前預(yù)估難度Pi0.90.80.70.60.4

測試后，隨機抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下

題號12345

實測答對人數(shù)161614148

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；

(2)從抽取的20名學(xué)生中再隨機抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

23

(3)定義統(tǒng)計量S=/[(R--6『++(《’一匕)[，其中升為第i題的實測

難度，4為第i題的預(yù)估難度(i=l,2,,〃).規(guī)定：若S<0.05,則稱該次測試的難度預(yù)

估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.

3.如圖1,在矩形ABCD中,A8=5,A￡>=2,點分別在邊上，且

AE=4,￡)R=1,AC交OE于點G.現(xiàn)將AADF沿AF折起，使得平面4。/_1_平

ffiABCF,得到圖2.

(I)在圖2中，求證：CE_LDG；

(II)若點M是線段。E上的一動點，問點M在什么位置時，二面角的

余弦值為二.

24

解答題前三題專練0013

1.已知函數(shù)二百sin'+siawosx-^^

(I)求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(H)在4ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,"c,若A為銳角且/")=等

，〃+c=4,

求。的取值范圍.

2.某印刷廠的打印機每5年需淘汰一批舊打印機并購買新機，買新機時，同時購買墨盒，每

臺新機隨機購買第一盒墨150元，優(yōu)惠0元；再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一

元，即第一盒墨沒有優(yōu)惠，第二盒墨優(yōu)惠一元，第三盒墨優(yōu)惠2元，……，依此類推，每臺

新機最多可隨新機購買25盒墨.平時購買墨盒按零售每盒200元.

公司根據(jù)以往的記錄，十臺打印機正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表:

消耗墨盒數(shù)22232425

打印機臺數(shù)1441

以這十臺打印機消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺打印機消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率，記J表示兩臺打

印機5年消耗的墨盒數(shù).

⑴求J的分布列；

⑵若在購買兩臺新機時，每臺機隨機購買23盒墨，求這兩臺打印機正常使用五年在消耗墨

盒上所需費用的期望.

25

3.如圖，在三棱柱ABC—44G中，。為8C的中點，ZfiAC=90°,AC=60%

AB-AC=A4j=2.

(1)求證：AB//平面A￡>G；

(2)當(dāng)8C1=4時、求直線4c與平面AQG所成角的正弦值.

26

解答題前三題專練0014

1,已知A48C中，角4,8,C所對的邊分別是a,b,c,且加幺。+上=0,其中S

3

TT

是A4BC的面積，C=±.

4

(1)求cosB的值;

(2)若S=24,求。的值.

2.隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視.為此貴陽市建立了公

共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車，初次辦

卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分，當(dāng)積分為0時，借車卡將自動鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到

公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車

出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公

共自行車按每車每次的租用時間進行扣分收費，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：

①租用時間不超過1小時，免費；

②租用時間為1小時以上且不超過2小時，扣1分；

③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分；

④租用時間超過3小時，按每小時扣2分收費(不足1小時的部分按1小時計算).

甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙

租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的

概率分別是0.4和0.3.

(1)求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機變量求。的分布列和數(shù)學(xué)期望E(J).

27

3.如圖，在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面PAO,底面A3CD,底面A8CO是平行四邊形,

NABC=45,AD=AP=2,AB=DP=2垃,E為CO的中點，點F在線段PB上.

(I)求證：AOJ.PC；

(II)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面A8CO所

成的角相等.

28

解答題前三題專練0015

1.已知函數(shù)/(x)=Asin(C9A：+^)(A>0,69>0,|^|<y)的部分圖像如圖所示.

(1)求/(X)的解析式；

3「乃"I

(2)方程=]在0,y上的兩解分別為X],%2，求sin(%+%2),cos(%-的值.

2.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒。M4來確定是否感染.

下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分

為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，若存在病毒。M4,則表明感染在這

三只當(dāng)中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒ONA,則在另外一

組中逐個進行化驗.

(1)求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率.

(2)首次化驗化驗費為10元，第二次化驗化驗費為8元，第三次及其以后每次化

驗費都是6元，列出方案甲所需化驗費用的分布列，并估計用方案甲平均需要體驗

費多少元？

29

3.如圖，五面體ABCQE中，四邊形A5OE是菱形，A4BC是邊長為2的正三角形,

NDBA=60。，CD=B

(1)證明：DC1AB；

(2)若點C在平面ABOE內(nèi)的射影〃，求C”與平面BCO所成的角的正弦值.

30

解答題前三題專練0016

1.已知/(x)=(V3sincox+cos<59x^coscox--,其中<y>0,若/(x)的最小正周期為4乃.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2.)銳角三角形ABC中，(2a—c)cos8=AosC,求/(4)的取值范圍.

2.為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動.對于A,3兩種游戲，每種游戲玩一

次均會出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨立,具體規(guī)則如下:玩一次游戲A,

若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分(即獲得-10分)，綠燈閃亮

的概率為L；玩一次游戲B,若出現(xiàn)音樂，獲得60分,若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20

2

2

分(即獲得-20分)，出現(xiàn)音樂的概率為|■.玩多次游戲后累計積分達到130分可以

兌換獎品.

(1)記X為玩游戲A和B各一次所得的總分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)記某人玩5次游戲B,求該人能兌換獎品的概率.

31

3.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。是直角梯形，側(cè)棱SA_L底面ABC。,

A8垂直于AO和BC,SA=A6=BC=2,AD=l,M是棱SB的中點.

(I)求證：AM//平面SC。；

(ID求平面SCO與平面SAB所成的二面角的余弦值；

(III)設(shè)點N是直線CO上的動點，MN與平面SAB所成的角為。，求sin。的最

大值.

32

解答題前三題專練0017

TT

1.如圖，在A4BC中，Z5=-,。為邊上的點，￡為4。上的點，且AE=8,

3

AC=4V10,ZCED=-.

4

(1)求CE的長；

(2)若CO=5,求cos/DAB的值.

2.專家研究表明，PM2.5是霾的主要成份，在研究PM2.5形成原因時，某研究人員研究

了PM2.5與燃燒排放的CO2，Na，CO，02等物質(zhì)的相關(guān)關(guān)系.下圖是某地某月尸”2.5與

C。和Q相關(guān)性的散點圖.

（I）根據(jù)上面散點圖，請你就C。和&對PM2.5的影響關(guān)系做出初步評價；

（II）根據(jù)有關(guān)規(guī)定，當(dāng)C。排放量低于l（）（）〃g/m2時C。排放量達標(biāo)，反之為C。排放量

超標(biāo)；當(dāng)PM2.5值大于20（）“g/w2時霧霾嚴(yán)重，反之霧霾不嚴(yán)重.根據(jù)PM2.5與C。相

關(guān)性的散點圖填寫好下面2x2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認為“霧霾是否嚴(yán)重與排放量

有關(guān)”：

霧霾不嚴(yán)重霧霾嚴(yán)重:總計

C。排放量達標(biāo)

33

C。排放量超標(biāo)

總計

（ni）我們知道霧霾對交通影響較大.某市交通部門發(fā)現(xiàn)，在一個月內(nèi)，當(dāng)c。排放量分別

是60,120,180時，某路口的交通流量（單位：萬輛）一次是800,600,200,而在一個月

內(nèi)，C。排放量是60,120,180的概率一次是<P<1），求該路口一個月的交通流

量期望值的取值范圍.

附：

P(K2>k?)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

2

參考公式：k=-------Mad-bcY----其---中--“=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

3.在正方形ABC。中，8c的中點為點E,CD的中點為點尸.，沿OE將ACOE向

上折起得到AC'OE,使得面50。，面ABC。，此時點F位于點F'處.

（I）證明：AF'IDE；

（II）求面與面3EO所成二面角的正弦值.

34

解答題前三題專練0018

1.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,/?,c,且8$24+。0528+2510245汕3=2852(7.

(1)求角C的值；

(1)若A48c為銳角三角形，且c=G，求a-匕的取值范圍.

2.某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為1,2,3,4,5的五批疫苗,

供全市所轄的A,5,C三個區(qū)市民注射，每個區(qū)均能從中任選其中一個批號的疫苗接種.

(1)求三個區(qū)注射的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率；

(2)記A,6,C三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為X,求X的分布列及期望.

3.如圖，A3是圓。的直徑，C是圓。上異于A,5的一個動點，0c垂直于圓。