湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試卷

2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意專項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如簡改動，用橡皮擦干靜后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（其中表示的共軛復(fù)數(shù)）表示的點(diǎn)在（）上A．x軸 B．y軸 C． D．2．已知角和，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．5．一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數(shù)是（）A．6 B．12 C．18 D．366．已知遞增的等比數(shù)列，，公比為q，且，，成等差數(shù)列，則q的值為（）A． B． C． D．7．已知平面內(nèi)的三個單位向量，，，且，，則（）A．0 B． C． D．或08．設(shè)方程的兩根為，，則（）A．， B．C． D．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．下列說法正確的是（）A．若事件A和事件B互斥，B．?dāng)?shù)據(jù)4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數(shù)為8C．若隨機(jī)變量服從，，則D．已知y關(guān)于x的回歸直線方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為10．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．若，則D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減且，則滿足的x的取值范圍是11．已知體積為2的四棱錐，底面是菱形，，，則下列說法正確的是（）A．若平面，則為B．過點(diǎn)P作平面，若，則C．與底面所成角的最小值為D．若點(diǎn)P僅在平面的一側(cè)，且，則P點(diǎn)軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知關(guān)于x的不等式的解集為M，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．13．已知拋物線的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則弦的最大值為______．14．已知，，則______，______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本小題滿分13分）在如圖所示的中，有．（1）求的大??；（2）直線繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)與的延長線交于點(diǎn)D，若為銳角三角形，，求長度的取值范圍．16．（本小題滿分15分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，橢圓W上的點(diǎn)到F的最大距離是短半軸長的倍，且橢圓W過點(diǎn)．記坐標(biāo)原點(diǎn)為O，圓E過O、A兩點(diǎn)且與直線相交于兩個不同的點(diǎn)P，Q（P，Q在第一象限，且P在Q的上方），，直線與橢圓W相交于另一個點(diǎn)B．（1）求橢圓W的方程；（2）求的面積．17．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，M是直線上的一點(diǎn)，N是直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得?請說明理由．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）函數(shù)的圖象上是否存在三個不同的點(diǎn)，，（其中且，，成等比數(shù)列），使直線的斜率等于?請說明理由．19．（本小題滿分17分）2023年10月11日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)成功構(gòu)建255個光子的量子計(jì)算機(jī)原型機(jī)“九章三號”，求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問題比目前全球是快的超級計(jì)算機(jī)快一億億倍．相較傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計(jì)算機(jī)的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進(jìn)行計(jì)算的．現(xiàn)假設(shè)某臺量子計(jì)算機(jī)以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨(dú)立．現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為X．（1）若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2的概率；（2）若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵．試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為X的信息熵H；（3）將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當(dāng)粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設(shè)停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為Y（，2，3，?，n，?）．證明：當(dāng)n無限增大時，Y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù)．參考公式：時，，．2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案題號1234567891011答案CDCABADCBCDACDBCD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．）1．C【解析】，所以對應(yīng)的點(diǎn)在直線上．2．D【解析】當(dāng)時，，沒有意義，所以由推不出，當(dāng)時，，所以由推不出，故“”是“”的既不充分也不必要條件．3．C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，則，所以，所以圓錐的高，圓錐的體積為．4．A【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的傾斜角為，，所以該漸近線的方程為，所以，解得或（舍去），所以，此雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，到一條漸近線的距離為．5．B【解析】．6．A【解析】由題意知，即，又?jǐn)?shù)列遞增，，所以，且，解得．7．D【解析】如圖，，，（或），由得，又，所以，由得，又，所以，（或，又，所以）所以，夾角為或，所以或0．8．C【解析】由題意得，，由得，令，則，，，由，得，，故A錯；由得，由，得，所以，故C對，B錯，由，，所以，D錯誤．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．）9．BCD【解析】對于A，若事件A和事件B互斥，，未必有，A錯；對于B，對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8個數(shù)字，由，得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個數(shù)8，B正確；對于C，因?yàn)樽兞糠?，且，則，故C正確；對于D，由，得樣本點(diǎn)的殘差為，故D正確；故選BCD．10．ACD【解析】令，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，所以，所以是奇函數(shù)，A正確；同樣，令，則，所以是奇函數(shù)，B錯誤；令代入，則，又，，所以，C正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，又，所以，由于在上單調(diào)遞減，要使成立，則，所以，D正確．11．BCD【解析】，則當(dāng)平面時，，則，即為或，A錯誤；如圖1，若平面，則，又，則平面，有，又，所以平面，，B正確；設(shè)與底面所成角為，又，則，因?yàn)?，則，則與底面所成角的最小值為，C正確；如圖2，當(dāng)，根據(jù)，得，即P點(diǎn)到底面的距離為，過A點(diǎn)作底面的垂線為l，過點(diǎn)P作交l于點(diǎn)O，則，點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，軌跡長度為，D正確．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．【解析】且，所以所以．13．5【解析】方法一：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入得或，所以；當(dāng)直線的斜率存在時，顯然不為零，設(shè)直線的方程為，代入消y并整理得，設(shè)，，判別式時有因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取到等號，故弦的最大值為5．方法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則，又，當(dāng)弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時，有，所以，當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時取到等號，故弦的最大值為5．14．（任意填對一空給3分）【解析】由得，則，由得，則，所以，．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．【解析】（1）方法一：由得，兩邊同時平方可得：，由整理得，解得或，又，則．方法二：，則，得或，又，則，．（2）由（1）得，則，由題可知，則，設(shè)，則，由余弦定理有，所以，由正弦定理有，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則得，所以，則，所以，即的取值范圍為．16．【解析】（1）依題有，又，所以，所以橢圓W的方程為，又點(diǎn)在橢圓W上，所以，解得，所以橢圓W的方程為．（2）設(shè)，，，，，因?yàn)?，所以，①圓E過點(diǎn)O與A且與直線相交于兩個不同的點(diǎn)P，Q，則圓心E的坐標(biāo)為，又，所以，解得，②（另法一：設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)G，則有，又，，所以，②另法二：由知，，，②）由①②解得，，所以，，所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去y得，解得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，又O到直線的距離，所以的面積．17．【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)O，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，，所以平面．?）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，，所以，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，則由平面可得，則以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)與，都重直的向量為，則得令，則，設(shè)直線與直線的距離為d，則，則不存在點(diǎn)M和N使得．18．【解析】（1）恒成立即恒成立，又，所以恒成立，今，所以，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取到極小值也是最小值，且，所以，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為．（2），，成等比數(shù)列且，設(shè)公比為，則，，求導(dǎo)得，所以，直線的斜率為，若存在不同的三點(diǎn)A，B，C，使直線的斜率等于，則有，整理成．令，則，所以在時單調(diào)遞增，而，故方程在時無實(shí)數(shù)解