2019年四川省自貢市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年四川省自貢市中考數(shù)學試卷

一、選擇題［共12個小題，每小題4分，共48分,在每題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（4分）（2019?自貢）-2019的倒數(shù)是（）

A.-2019B.-―^—C.—D.2019

20192019

【考點】17：倒數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用倒數(shù)的定義進而得出答案.

【解答】解：-2019的倒數(shù)是--1—

2019

故選：B.

【點評】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（4分）（2019?自貢）近年來，中國高鐵發(fā)展迅速，高鐵技術(shù)不斷走出國門，成為展示我

國實力的新名片.現(xiàn)在中國高速鐵路營運里程將達到23000公里，將23000用科學記數(shù)

法表示應為（）

A.2.3X104B.23X103C.2.3X103D.0.23XI05

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其中”為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

【解答】解：23000=2.3X1（）4,

故選：A.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中"為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及”的值.

3.（4分）（2019?自貢）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

2、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合.

4.（4分）（2019?自貢）在5輪“中國漢字聽寫大賽”選拔賽中，甲、乙兩位同學的平均分

都是90分，甲的成績方差是15,乙的成績方差是3,下列說法正確的是（）

A.甲的成績比乙的成績穩(wěn)定

B.乙的成績比甲的成績穩(wěn)定

C.甲、乙兩人的成績一樣穩(wěn)定

D.無法確定甲、乙的成績誰更穩(wěn)定

【考點】W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】根據(jù)方差的意義求解可得.

【解答】解：???乙的成績方差〈甲成績的方差，

乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，

故選：B.

【點評】本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則

平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定

性越好.

5.（4分）（2019?自貢）如圖是一個水平放置的全封閉物體，則它的俯視圖是（）

B

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)俯視圖是從物體上面看，從而得到出物體的形狀.

【解答】解：從上面觀察可得到：

/1

故選：C.

【點評】本題考查了三視圖的概簡單幾何體的三視圖，本題的關(guān)鍵是要考慮到俯視圖中

看見的棱用實線表示.

6.（4分）（2019?自貢）已知三角形的兩邊長分別為1和4,第三邊長為整數(shù)，則該三角形

的周長為（）

A.7B.8C.9D.10

【考點】K6：三角形三邊關(guān)系.

【專題】552：三角形.

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊

的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得周長.

【解答】解：設(shè)第三邊為X,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：4-1〈尤＜4+1,

即3c尤＜5,

：尤為整數(shù)，

，尤的值為4.

三角形的周長為1+4+4=9.

故選：C.

【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系.關(guān)鍵是正確確定第三邊的取值范圍.

7.（4分）（2019?自貢）實數(shù)〃2,"在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是

（）

III1）

於01〃

A.|m|<lB.1-m>1C.mn>0D.m+1>0

【考點】15：絕對值；29：實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】511：實數(shù)；62：符號意識；68：模型思想.

【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到根<0<小然后對各選項進行判斷.

【解答】解：利用數(shù)軸得機

所以-MJ>0,1-m>1,mn<0,m+KQ.

故選：B.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸：數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應；右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)

大.

8.（4分）（2019?自貢）關(guān)于x的一元二次方程X?-2龍+根=0無實數(shù)根，則實數(shù)相的取值范

圍是（）

A.m<\B.機》1C.mWlD.m>\

【考點】AA：根的判別式.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】利用判別式的意義得到4=（-2）2-4m<0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-2）2-4/77<0,

解得m>1.

故選：D.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程o?+bx+c=o"wo）的根與△=呈-4℃

有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=（）時，方程有兩個相

等的兩個實數(shù)根；當△<（）時，方程無實數(shù)根.

9.（4分）（2019?自貢）一次函數(shù)y=or+b與反比列函數(shù)y=￡的圖象如圖所示，則二次函

數(shù)y=G?+6x+c的大致圖象是（)

【考點】F3：一次函數(shù)的圖象；F5：一次函數(shù)的性質(zhì)；G2：反比例函數(shù)的圖象；H2：二

次函數(shù)的圖象.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象找出a、b.c的正負，再根據(jù)拋物線的對稱軸

為苫=-4，找出二次函數(shù)對稱軸在y軸右側(cè)，比對四個選項的函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：,??一次函數(shù)月=以+6圖象過第一、二、四象限，

.?.aVO,/?>0,

-工>0,

2a

二次函數(shù)yi—ax'+bx+c開口向下，二次函數(shù)ys—ax^+bx+c對稱軸在y軸右側(cè)；

..?反比例函數(shù)”=￡的圖象在第一、三象限，

X

；.c>0,

.?.與y軸交點在X軸上方.

滿足上述條件的函數(shù)圖象只有選項4

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的

關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象找出。、氏c的正負.本題屬于基礎(chǔ)題，難度

不大，熟悉函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.（4分）（2019?自貢）均勻的向一個容器內(nèi)注水，在注滿水的過程中，水面的高度/I與

時間f的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則該容器是下列四個中的（）

【專題】532：函數(shù)及其圖像.

【分析】由函數(shù)圖象可得容器形狀不是均勻物體分析判斷，由圖象及容積可求解.

【解答】解：相比較而言，前一個階段，用時較少，高度增加較快，那么下面的物體應

較細.由圖可得上面圓柱的底面半徑應大于下面圓柱的底面半徑.

故選：D.

【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)用的時間長短來判斷相應的

函數(shù)圖象.

11.（4分）（2019?自貢）圖中有兩張型號完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四

個弓形面板翻折起來后，就能形成一個圓形桌面（可近似看作正方形的外接圓），正方形

桌面與翻折成的圓形桌面的面積之比最接近（）

A.AB.▲C.2D.工

5432

【考點】MM：正多邊形和圓；MO：扇形面積的計算；PB：翻折變換（折疊問題）.

【專題】55B：正多邊形與圓.

【分析】連接AC,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NB=90°,根據(jù)圓周角定理得到AC為圓的

直徑，根據(jù)正方形面積公式、圓的面積公式計算即可.

【解答】解：連接AC,

設(shè)正方形的邊長為

:四邊形ABC。是正方形，

.,.ZB=90°，

；.AC為圓的直徑,

：.AC=42AB=y]2a，

則正方形桌面與翻折成的圓形桌面的面積之比為:

九3

兀X

【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握圓周角定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（4分）（2019?自貢）如圖，已知A、3兩點的坐標分別為（8,0）、（0,8）,點C、F

分別是直線x=-5和x軸上的動點，CE=10,點。是線段B的中點，連接AO交y軸

于點E,當△ABE面積取得最小值時，tan/BA。的值是（）

【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；K3：三角形的面積；T7：解直角三角形.

【專題】152：幾何綜合題；64：幾何直觀；66：運算能力；67：推理能力.

【分析】如圖，設(shè)直線尤=-5交x軸于K.由題意KD=LCP=5,推出點。的運動軌

2

跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當直線AD與OK相切時，AABE的面積最小，作

EHLAB于凡求出即，即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)直線x=-5交無軸于K.由題意KZ）=LCP=5,

點。的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓,

當直線A。與OK相切時，△ABE的面積最小，

是切線，點。是切點，

C.ADLKD,

：AK=13,DK=5,

：.AD=12,

OEDK

tanZ￡AO==

OAAD

?.?0E_5,

812

.-.O￡=M,

3

,'-A￡=VoE2+OA2=-y,

作EH±AB于H.

,**SAABE=—9^B9EH=SAAOB-S"OE，

2

3嚕

：.AH=^jAE2_EH2=1^1,

o

7V2

：.tanZBAD=^-=—^-i=7

AH17&17

3

故選：B.

【點評】本題考查解直角三角形，坐標與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的

面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）

13.（4分）（2019?自貢）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB//CD,Zl=120°,則

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接利用平角的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：=,

.?.Z3=180°-120°=60°,

'：AB//CD,

；./2=/3=60°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出/2=/3是解題關(guān)鍵.

14.（4分）（2019?自貢）在一次有12人參加的數(shù)學測試中，得100分、95分、90分、85

分、75分的人數(shù)分別是1、3、4、2、2,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90分.

【考點】W5：眾數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解可得.

【解答】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90分，

故答案為：90.

【點評】本題主要考查眾數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若

幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù).

15.（4分）（2019?自貢）分解因式：2?-2，=2（x+y）（x-y）.

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】先提取公因式2,再根據(jù)平方差公式進行二次分解即可求得答案.

【解答】解：-2/=2（/-/）=2（x+y）（尤-y）.

故答案為：2（x+y）（尤-y）.

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行

二次分解，注意分解要徹底.

16.（4分）（2019?自貢）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了466元，其

中籃球的單價比足球的單價多4元，求籃球的單價和足球的單價.設(shè)籃球的單價為尤元,

足球的單價為y元，依題意，可列方程組為

,4x+5y=466

【考點】99：由實際問題抽象出二元一次方程組.

【專題】521：一次方程（組）及應用.

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①4個籃球的花費+5個足球的花費=466元，②籃球

的單價-足球的單價=4元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【解答】解：設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：

（x-y=4

14x+5y=466

故答案為：4，

[4x+5y=466

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找

出題目中的等量關(guān)系.

17.（4分）（2019?自貢）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,CD//AB,

NABC的平分線BD交AC于點E,

5

【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】由C￡）〃AB,ZD=ZABE,ZD=ZCBE,所以CZ）=BC=6,再證明

△CEO,根據(jù)相似比求出。E的長.

【解答】解：VZACB=90°,AB=10,BC=6,

；.AC=8,

：8。平分/ABC,

ZABE=ZCDE,

'JCD//AB,

；.ND=NABE,

：.ZD=ZCBE,

：.CD=BC=6,

：.△AEBsXCED,

.AE_BE_AB__10_5

??而二ED=CD=6三

.,.CE=2AC=3><8=3,

88

B￡=VBC2+CE2=V62+32=3\/5'

故答案為2y.

5

【點評】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

18.(4分)(2019?自貢)如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，Na、Zp

如圖所示，貝Ucos(a+p)

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類；KK：等邊三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】2A：規(guī)律型；554：等腰三角形與直角三角形；55E：解直角三角形及其應用.

【分析】給圖中各點標上字母，連接。E,利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可

得出/a=30°,同理，可得出：ZCDE=ZCED=30°=Na,由/AEC=60°結(jié)合/

AEZ)=/AEC+NC￡D可得出NAE￡)=90°,設(shè)等邊三角形的邊長為。，則AE=2a,DE

=J茄，利用勾股定理可得出A。的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cos（a+0）的值.

【解答】解：給圖中各點標上字母，連接。E,如圖所示.

在△ABC中，ZABC=120°,BA=BC,

：.Za=30°.

同理，可得出：NCDE=/CED=30°=Za.

XVZAEC=60°,

ZAED=ZAEC+ZCED=90°.

設(shè)等邊三角形的邊長為a,則AE=2a,DE=2Xsin60°

'AD=YAE2+DE2=4。，

.,.cos（a+p）=DE_=V2T.

AD7

故答案為：叵.

7

【點評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)

造出含一個銳角等于Na+NB的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共8個題，共78分）

19.（8分）（2019?自貢）計算：|-3|-4sin45°+V8+（『3）°

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)幕；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】511：實數(shù).

【分析】原式第一項利用絕對值的意義化簡，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第

三項化為最簡二次根式，第四項利用零指數(shù)累法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=3-4義喙+2如+1=3-2圾+2&+1=4.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.（8分）（2019?自貢）解方程：

X-1

【考點】B3：解分式方程.

【專題】11：計算題；522：分式方程及應用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x+2=/-x,

解得:x=2,

檢驗：當x=2時，方程左右兩邊相等，

所以x=2是原方程的解.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

21.（8分）（2019?自貢）如圖，。。中，弦A3與CZ）相交于點E,AB=CD,連接A。、BC.

求證：（1）AD=BC;（2）AE=CE.

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】14：證明題；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】（1）由AB=C。知窟=而，BPAD+AC=BC+AC-據(jù)此可得答案；

（2）由俞=前知4。=8。結(jié)合/ADE=NCBE,NDAE=/BCE可證△ADEdCBE,

從而得出答案.

【解答】證明（1）'：AB=CD,

.-.AB=CD，即面+京=黃+京，

AD=BC；

(2)：AD=BC，

：.AD=BC,

又NADE=ZCBE,/DAE=ZBCE,

：.AADE^ACBE(ASA),

：.AE^CE.

【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：

在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”,

一項相等，其余二項皆相等.

22.（8分）（2019?自貢）某校舉行了自貢市創(chuàng)建全國文明城市知識競賽活動，初一年級全

體同學參加了知識競賽.

收集教據(jù)：現(xiàn)隨機抽取了初一年級30名同學的“創(chuàng)文知識競賽”成績，分數(shù)如下（單位:

分）：

908568928184959387897899898597

888195869895938986848779858982

整理分析數(shù)據(jù)：

成績X（單位：分）頻數(shù)（人數(shù)）

60?701

70Wx<802

80Wx<9017

90^x<10010

頻數(shù)/人數(shù)

18--------------------------

16--------------------------

14--------------------------

12--------------------------

10--------------------------

8--------------------------

6--------------------------

4--------------------------

2-----t-------------------

0----11-----------------?

60708090100成績分

（1）請將圖表中空缺的部分補充完整；

（2）學校決定表彰“創(chuàng)文知識競賽”成績在90分及其以上的同學.根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果

估計該校初一年級360人中，約有多少人將獲得表彰；

（3）“創(chuàng)文知識競賽”中，受到表彰的小紅同學得到了印有龔扇、剪紙、彩燈、恐龍圖

案的四枚紀念章，她從中選取兩枚送給弟弟，則小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有

恐龍圖案的概率是1

一2一

【考點】V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】（1）由己知數(shù)據(jù)計數(shù)即可得；

（2）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中對應部分人數(shù)所占比例即可得；

（3）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解可

得.

（2）估計該校初一年級360人中，獲得表彰的人數(shù)約為360義獨=120（人）；

30

（3）將印有龔扇、剪紙、彩燈、恐龍圖案分別記為A、B、C、D,

畫樹狀圖如下:

則共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有恐龍圖案的結(jié)

果數(shù)為6,

所以小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有恐龍圖案的概率為工，

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求

出“再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目如求出概率，也考查了條形統(tǒng)計圖與樣

本估計總體.

23.（10分）（2019?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)力=履+匕（左#0）的圖象

與反比例函數(shù)y2=史（機W。）的圖象相交于第一、象限內(nèi)的A（3,5）,B（a,-3）兩

x

點，與無軸交于點C

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上找一點P使-PC最大，求PB-PC的最大值及點P的坐標；

（3）直接寫出當月＞m時，x的取值范圍.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)一次函數(shù)月=尤+2,求得與y軸的交點P,此交點即為所求；

（3）根據(jù)兩點的橫坐標及直線與雙曲線的位置關(guān)系求尤的取值范圍.

【解答】解：（1）把A（3,5）代入以=電（〃zW0）,可得加=3X5=15,

X

...反比例函數(shù)的解析式為＞2=』^；

X

把點B（〃，-3）代入，可得a=-5,

：.B（-5,-3）.

把A（3,5）,B（-5,-3）代入月=丘+6,3k+b=5,

l-5k+b=-3

解得，卜口,

lb=2

...一次函數(shù)的解析式為力=x+2；

（2）一次函數(shù)的解析式為yi=x+2,令x=0,則y=2,

，一次函數(shù)與y軸的交點為尸（0,2）,

此時，PB-PC=BC最大,產(chǎn)即為所求，

令y=0,則x=-2,

：.C(-2,0),

BC=7(-5+2)2+32=3近■

(3)當月>”時，-5<x<0或x>3.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一

次函數(shù)的解析式，根據(jù)點的坐標求線段長，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(10分)(2019?自貢)閱讀下列材料：小明為了計算1+2+2?+…+22°17+22°18的值，采用

以下方法：

設(shè)S=1+2+22+—+22017+220180

則25=2+22+???+22018+22019@

②-①得2s-S=S=22019-1

2201720182019

.?.5=1+2+2+-+2+2=2-1

請仿照小明的方法解決以下問題：

(1)1+2+22+-+29=210-1；

(2)3+32+—+310=；

~2-

(3)求1+4+J+…+/的和(a>0,"是正整數(shù)，請寫出計算過程).

【考點】1G：有理數(shù)的混合運算；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】(1)利用題中的方法設(shè)S=1+2+2?+…+29,兩邊乘以2得至！|25=2+2?+…+2、

然后把兩式相減計算出S即可；

(2)利用題中的方法設(shè)S=1+3+32+33+34+???+310,兩邊乘以3得到3S=

3+32+33+34+35+-+3U，然后把兩式相減計算出S即可；

(3)利用(2)的方法計算.

【解答】解：（1）設(shè)5=1+2+2?+…+29①

則2s=2+2?+…+21°②

②-①得2S-S=S=210-1

.?.S=l+2+22+-+29=210-1；

故答案為：210-1

（2）S=3+3+32+33+34+-+3100,

則3S=32+33+34+35+-+3H②,

②-①得2s=3“-1,

oil1

所以s=2=L,

2

BP3+32+33+34+―+310=311；

2

oH1

故答案為：

2

（3）設(shè)S=I+Q+J+J+J+.+Q〃①

貝!j〃5=。+。2+43+〃4+..+〃八+〃"+1②，

②-①得：（〃-1）-1,

4=1時，不能直接除以4-1,此時原式等于〃+1；

n+1

〃不等于1時，〃-1才能做分母，所以S=W_工，

a-l

n+1

即1+ci+ci^+a+ct+..+t/n=-.............,

a-l

【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想，利用類

比的方法是解決這類問題的方法.

25.（12分）（2019?自貢）（1）如圖1,E是正方形ABCO邊4B上的一點，連接跳入DE,

將/2DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.

①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是DB=DG；

②寫出線段BE,8尸和DB之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）當四邊形ABCD為菱形，NA￡）C=60°,點E是菱形48CD邊AB所在直線上的一

點，連接2。、DE,將繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC

交于點F和點G.

①如圖2,點E在線段上時，請?zhí)骄烤€段BE、B尸和8。之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論

并給出證明；

②如圖3,點E在線段AB的延長線上時，OE交射線BC于點M,若BE=1,46=2,

直接寫出線段GM的長度.

圖1圖2圖3

【考點】LO：四邊形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

②作輔助線，計算和的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得的長，根據(jù)線

段的差可得結(jié)論.

【解答】解：（1）①DB=DG,理由是：

繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖1,

由旋轉(zhuǎn)可知，ZBDE^ZFDG,ZBDG=9Q°,

:四邊形A8CZ）是正方形，

：.ZCBD=45°,

.-.ZG=45°,

；./G=/CBD=45°,

：.DB=DG；

故答案為：DB=DG；

②BF+BE=MBD,理由如下：

由①知：NFDG=/EDB,NG=NDBE=45°,BD=DG,

:.叢FDG沿叢EDB(ASA),

:.BE=FG,

：.BF+FG=BF+BE=BC+CG,

RtZkOCG中，：NG=NC￡)G=45°,

：.CD=CG=CB,

,:DG=BD=4^fiC,

即BF+BE=2BC=\&D；

(2)①如圖2,BF+BE=\[^BD,

理由如下：在菱形ABCD中，ZADB=ZCDB=—ZADC=—X60°=30°

22

由旋轉(zhuǎn)120°得/EDF=/BDG=120°,ZEDB=ZFDG,

在△DBG中，NG=180°-120°-30°=30°,

：.ZDBG=ZG=30°,

：.DB=DG,

，叢EDB名AFDG(ASA),

:.BE=FG,

：.BF+BE=BF+FG=BG,

過點。作DMLBG于點M,如圖2,

,;BD=DG,

:.BG=2BM,

在RtZkAW。中，ZDBM=3Q°,

:.BD=2DM.

設(shè)Z)M=a,則8Z)=2a,

DM=\[3a,

:.BG=2^^a,

-BD_2a_1

"BG-2V3aM'

：.BG=43BD,

：.BF+BE=BG='@D；

②過點A作AN_LBD于M過。作。尸_L8G于P,如圖3,

RtZXABN中，/ABN=30°,AB=2,

：.AN=1,BN=M，

：.BD=2BN=2M，

?:DC"BE,

.CD_CM_2

"BF^BMT

\'CM+BM^2,

:.BM=4

3

尸中，ZDBP=3Q°,BD=2y/3,

，2尸=3,

由旋轉(zhuǎn)得：BD=BF,

：.BF=2BP=6,

:.GM=BG-6+1-2=U_.

33

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成

比例定理，正方形和菱形的性質(zhì)，直角三角形30度的角性質(zhì)等知識，本題證明△FDG絲

△BAE是解本題的關(guān)鍵.

26.（14分）（2019?自貢）如圖，已知直線A8與拋物線C：y=ax2+2x+c相交于點A（-1,

0)和點8(2,3)兩點.

(1)求拋物線C函數(shù)表達式；

(2)若點M是位于直線上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行

四邊形MAN3,當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S

及點M的坐標；

(3)在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離

等于到直線>=」上的距離？若存在，求出定點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】15：綜合題.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，將48的坐標代入>=辦2+2犬+。即可求得二次函數(shù)的解

析式；

(2)過點M作無軸于交直線于K,求出直線AB的解析式，設(shè)點Af(a,

-J+2a+3),則K(a,a+1),利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出面積的

最大值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；

(3)如圖2,分別過點8,C作直線y=紅的垂線，垂足為N,H,設(shè)拋物線對稱軸上

4

存在點尸，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=的距離，其中尸(1,

a),連接CF,則可根據(jù)8P=8N,CP=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于。的方程組，解

方程組即可.

【解答】解：(1)由題意把點(-1,0)、(2,3)代入y=a?+2x+c,

得，(a-2+c=0,

I4a+4+c=3

解得a=-1,c=3,

...此拋物線C函數(shù)表達式為：-X2+2X+3；

(2)如圖1,過點M作MHLx軸于X,交直線AB于K,

將點(-I,0)、(2,3)代入>=丘+6中，

得，卜k+b=0,

l2k+b=3

解得，k=l,b=l,

，劃8=尤+1，

設(shè)點M(a,-a+2a+3),則K(a,a+1),

貝ljMK=-J+2a+3-(a+1)

=-(a-—)2+—,

24

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當。=工時，MK有最大長度旦，

24

S^AMB最大—SAAMHSABMK

^LMK'AH+—MK<XB-XH)

22

=LMK《XB-XA)

2

=LX2X3

24

_2-7,

8

/.以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB,當平行四邊形MANB的面積最大時,

S最大=2SAAMB最大=2X2L=ZL,M(―,—)；

8424

(3)存在點F,

丁尸-f+2x+3

=-(x-1)2+4,

工對稱軸為直線x=l，

當y=0時，%i=-1,冗2=3,

???拋物線與點力軸正半軸交于點C(3,0),

如圖2,分別過點2,C作直線>=工工的垂線，垂足為N,H,

4

拋物線對稱軸上存在點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=#■的

距離，設(shè)尸（1,a）,連接BF,CF,

則BF=BN=^~3=5,CF=CH=^-,

444

222

(2-l)+(a-3)=(1)

由題意可列:

222

(3-l)+a=(^)

解得，4=艮

4

：.F(1,1^).

4

A

X

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是

能夠判斷出當平行四邊形的面積最大時，的面積最大，且此時線段MK的

長度也最大.

考點卡片

1.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當。是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身a；

②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-。；

③當。是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，=1(aWO),就說a(aWO)的倒數(shù)是上.

aa

(2)方法指引：

①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一

樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

3.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右

的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的

兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

4.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（I）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXIO",其中l(wèi)Wa<10,

w為正整數(shù).】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

5.實數(shù)與數(shù)軸

（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關(guān)系.

任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).數(shù)軸

上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a

的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離.

（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小.

6.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

I.運算法則：乘方和開方運算、暴的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

7.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

(2)利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

8.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

9.提公因式法與公式法的綜合運用

提公因式法與公式法的綜合運用.

10.零指數(shù)幕

零指數(shù)塞：a°=l(aWO)

由a-,可推出整=1(60)

注意：0°#1.

11.由實際問題抽象出二元一次方程組

(1)由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量

和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

(2)一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

(3)找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：

①確定應用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系.②將問題中給出的條件按意思分割

成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系.③借助表格提供

信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系.④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量

關(guān)系.

12.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=『-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程依2+法+o=0(a=0)的根與△=/-4ac有如下關(guān)系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

13.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

14.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距

離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

15.函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象定義

對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平

面內(nèi)由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象.

注意：①函數(shù)圖形上的任意點（尤，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對小

y的值，所對應的點一定在函數(shù)圖象上；③判斷點P（尤，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：

將點P（x,y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點就在函數(shù)

的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點就不在函數(shù)的圖象上..

16.一次函數(shù)的圖象

（1）一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點（0,6）、（-今0）或（1，k+b）作直線y=fcc+6.

注意：①使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，

所選取的點的橫、縱坐標盡量取整數(shù)，以便于描點準確.②一次函數(shù)的圖象是與坐標軸不

平行的一條直線（正比例函數(shù)是過原點的直線），但直線不一定是一次函數(shù)的圖象.如x=a,

y=b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象.

（2）一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y=fcv+b,可以看做由直線>=依平移以個單位而

得到.

當6>0時，向上平移；b<0時，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；

②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線.

17.一次函數(shù)的性質(zhì)

一次函數(shù)的性質(zhì)：

k>0,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,