超幾何分布高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)

超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解超幾何分布.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE1.定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2.均值：E(X)＝

.知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1.超幾何分布是不放回抽樣.(

)2.超幾何分布的總體是只有兩類物品.(

)3.超幾何分布與二項(xiàng)分布的均值相同.(

)4.超幾何分布與二項(xiàng)分布沒(méi)有任何聯(lián)系.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√×2題型探究PARTTWO一、超幾何分布的辨析例1下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由.(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；解樣本沒(méi)有分類，不是超幾何分布問(wèn)題，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題.(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；解符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布.(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列.解沒(méi)有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無(wú)法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問(wèn)題.反思感悟判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象.(2)是否為不放回抽樣.(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到

的次品數(shù)為XB.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲

型彩電的臺(tái)數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為

隨機(jī)變量XD.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X√√√解析依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問(wèn)題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.二、超幾何分布的概率例2

某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；解由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人.因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列.解根據(jù)題意，知X的所有的可能取值為1,2,3.所以X的分布列為反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練2

現(xiàn)有來(lái)自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為

.(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人.(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率.解由題意可知，ξ服從超幾何分布.三、超幾何分布與二項(xiàng)分布間的關(guān)系例3

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；解質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；解質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2，X服從超幾何分布.∴X的分布列為∴X的均值為(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問(wèn)題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過(guò)505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，∴Y的分布列為反思感悟二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布.區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布如本例(3)跟蹤訓(xùn)練3

(1)100件產(chǎn)品中有10件次品，從中有放回地任取5件，求其中次品數(shù)ξ的分布列；有放回的取出5件，相當(dāng)于5重伯努利試驗(yàn)，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列為ξ012345P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001(2)某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)抽取5件，求其中次品數(shù)η的分布列.解由于商品數(shù)量較大，從中只抽取5件，故η的分布列近似地為ξ的分布列.3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出

女生的人數(shù)為XC.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸

出黑球時(shí)的總次數(shù)12345√√√解析由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.123452.在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是√解析記X為2張中的中獎(jiǎng)數(shù)，123453.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為√解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，123454.盒子里有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩球，設(shè)取出白球的個(gè)數(shù)為ξ，則E(ξ)＝____.123455.某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競(jìng)賽，用X表示這6人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則當(dāng)X取____時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率為

.3解析由題意可知，X服從超幾何分布，1.知識(shí)清單：(1)超幾何分布的概念及特征.(2)超幾何分布的均值.(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系.2.方法歸納：類比.3.常見(jiàn)誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.一個(gè)盒子里裝有大小相同的10個(gè)黑球，12個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于

的是A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X＝1) D.P(X＝2)12345678910111213141516√解析本題相當(dāng)于求至多取出1個(gè)白球的概率，即取到1個(gè)白球或沒(méi)有取到白球的概率.3.有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的均值是12345678910111213141516√解析設(shè)抽到的次品數(shù)為X，則有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)X服從超幾何分布，123456789101112131415164.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為√12345678910111213141516解析正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，由超幾何分布的概率公式可知，123456789101112131415165.一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品，45件正品，從這批產(chǎn)品中任意抽2件，則出現(xiàn)2件次品的概率為√解析設(shè)抽到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.1234567891011121314156.某手機(jī)經(jīng)銷商從已購(gòu)買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝____.167.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P(X<2)＝____，隨機(jī)變量X的均值E(X)＝____.123456789101112131415解析X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，160.68.數(shù)學(xué)教師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是___.123456789101112131415解析設(shè)X表示解答正確的題的個(gè)數(shù)，由超幾何分布的概率公式可得，161234567891011121314159.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求ξ的分布列；16123456789101112131415解ξ可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布，16所以，ξ的分布列為12345678910111213141516(2)求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率.解由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率為12345678910111213141510.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A“取出的2件產(chǎn)品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；16解設(shè)任取一件產(chǎn)品是二等品的概率為p，依題意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，故從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率為0.2.123456789101112131415(2)若該批產(chǎn)品共10件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求X的分布列.16解若該批產(chǎn)品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值為0,1,2.所以X的分布列為12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141511.(多選)10名同學(xué)中有a名女生，若從中抽取2個(gè)人作為學(xué)生代表，恰抽取1名女生的概率為

，則a等于A.1 B.2 C.4 D.816√√整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.1234567891011121314151612.盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，則概率是

的事件為A.恰有1個(gè)是壞的

B.4個(gè)全是好的C.恰有2個(gè)是好的

D.至多有2個(gè)是壞的√解析設(shè)“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個(gè)是好的”，12345678910111213141513.一只袋內(nèi)裝有m個(gè)白球，(n－m)個(gè)黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹梗O(shè)此時(shí)取出了X個(gè)白球，則下列概率等于

的是A.P(X＝3) B.P(X≥2)C.P(X≤3) D.P(X＝2)16√123456789101112131415而在這3次拿球中可以認(rèn)為按順序排列，此排列順序即可認(rèn)為是依次拿出的球的順序，161234567891011121314151614.某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試，已知在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，則甲通過(guò)自主招生初試的概率為_(kāi)___，記甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為