向量及其運(yùn)算

一、向量概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系§7.1向量及其運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)五、向量的模、方向解、投影1向量及其運(yùn)算5/8/2024一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

有向線段的長(zhǎng)度表示方向的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

下頁(yè)2向量及其運(yùn)算5/8/2024一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量

向量可用粗體字母、

或加箭頭的書(shū)寫體字母表示.

以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB

→向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.向量的表示法

下頁(yè)與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量,稱為自由向量,簡(jiǎn)稱向量.自由向量

3向量及其運(yùn)算5/8/2024如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的,記為a=b.

相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合.向量的相等下頁(yè)4向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的模向量的大小叫做向量的模.單位向量

模等于1的向量叫做單位向量.零向量零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,它的方向可以看作是任意的.如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的,記為a=b.向量的相等下頁(yè)5向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的平行兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a//b.a//b//c零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)

它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上

因此

兩向量平行又稱兩向量共線

共線向量與共面向量下頁(yè)6向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的平行兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a//b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.共線向量與共面向量當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)

它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上

因此

兩向量平行又稱兩向量共線

設(shè)有k(k

3)個(gè)向量

當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)

如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上

就稱這k個(gè)向量共面

首頁(yè)7向量及其運(yùn)算5/8/2024二、向量的線性運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量,使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,則從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b.1.向量的加法

c=a+b三角形法則平行四邊形法則下頁(yè)8向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的加法的運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).下頁(yè)9向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的減法向量b與a的差規(guī)定為

b-a=b+(-a).負(fù)向量三角不等式

|a+b|

|a|+|b|,|a-b|

|a|+|b|,等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-a.下頁(yè)10向量及其運(yùn)算5/8/2024當(dāng)

=0時(shí),|

a|=0,即

a為零向量.向量a與實(shí)數(shù)

的乘積記作

a,規(guī)定

a是一個(gè)向量,它的模|

a|=|

||a|,它的方向當(dāng)

>0時(shí)與a相同,當(dāng)

<0時(shí)與a相反.>>>2.向量與數(shù)的乘法當(dāng)

=-1時(shí),有(-1)a=-a.當(dāng)

=1時(shí),有1a=a;下頁(yè)11向量及其運(yùn)算5/8/2024(1)結(jié)合律

(

a)=

(

a)=(

)a;(2)分配律(

+

)a=

a+

a;

(a+b)=

a+

b.向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律向量的單位化于是a=|a|ea.當(dāng)

=0時(shí),|

a|=0,即

a為零向量.向量a與實(shí)數(shù)

的乘積記作

a,規(guī)定

a是一個(gè)向量,它的模|

a|=|

||a|,它的方向當(dāng)

>0時(shí)與a相同,當(dāng)

<0時(shí)與a相反.2.向量與數(shù)的乘法當(dāng)

=-1時(shí),有(-1)a=-a.當(dāng)

=1時(shí),有1a=a;設(shè)a

0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.下頁(yè)12向量及其運(yùn)算5/8/2024

例1

形對(duì)角線的交點(diǎn).于是

解

由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以下頁(yè)13向量及其運(yùn)算5/8/2024設(shè)向量a

0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)

,使b=

a.>>>

定理1(向量平行的充要條件)

定理證明給定一個(gè)點(diǎn)O及一個(gè)單位向量i就確定了一條數(shù)軸Ox

并且軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系:

點(diǎn)P

實(shí)數(shù)x

實(shí)數(shù)x稱為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)

數(shù)軸與點(diǎn)的坐標(biāo)首頁(yè)14向量及其運(yùn)算5/8/2024說(shuō)明：三、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系

y軸z軸原點(diǎn)x軸在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k

就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸

依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)

統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸

它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

稱為Oxyz坐標(biāo)系

(2)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則.(1)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線;下頁(yè)15向量及其運(yùn)算5/8/2024

在空間直角坐標(biāo)系中,任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.下頁(yè)16向量及其運(yùn)算5/8/2024

在空間直角坐標(biāo)系中,任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy面,yOz面和zOx面.卦限坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一部分叫做卦限,分別用字母I、II、III、IV等表示.下頁(yè)17向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的坐標(biāo)分解式以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體

有下頁(yè)18向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的坐標(biāo)分解式上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量

點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系任給向量r

存在點(diǎn)M及xi、yj、zk

使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標(biāo)

記作r

(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)

記為M(x

y

z)

下頁(yè)19向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的坐標(biāo)分解式上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式

xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量

任給向量r

存在點(diǎn)M及xi、yj、zk

使有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標(biāo)

記作r

(x

y

z)

有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)

記為M(x

y

z)

向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑

下頁(yè)20向量及其運(yùn)算5/8/2024坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

其坐標(biāo)各有一定的特征

例如

點(diǎn)M在yOz面上

則x

0

點(diǎn)M在zOx面上的點(diǎn)

y

0

點(diǎn)M在xOy面上的點(diǎn)

z

0

點(diǎn)M在x軸上

則y

z

0

點(diǎn)M在y軸上,有z

x

0

點(diǎn)M在z軸上的點(diǎn)

有x

y

0

點(diǎn)M為原點(diǎn)

則x

y

z

0

坐標(biāo)軸上及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特征首頁(yè)21向量及其運(yùn)算5/8/2024提示：四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

下頁(yè)

a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,

a=(

ax)i+(

ay)j+(

az)k.設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),22向量及其運(yùn)算5/8/2024四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

例2其中a=(2

1

2)

b=(-1

1

-2).

解

如同解二元一次線性方程組

可得x

2a

3b

y

3a

5b

以a、b的坐標(biāo)表示式代入

即得x

2(2

1

2)

3(

1

1

2)

(7

1

10)

y

3(2

1

2)

5(

1

1

2)

(11

2

16)

設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),下頁(yè)23向量及其運(yùn)算5/8/2024利用坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行

設(shè)a=(ax,ay,az)

0,b=(bx,by,bz),因?yàn)閎//a

b

a,即b//a

(bx,by,bz)=

(ax,ay,az),所以b//a

下頁(yè)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算

設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),則

a=(

ax,

ay,

az).a

b=(ax

bx,ay

by,az

bz),平行四邊形法則三角形法則

24向量及其運(yùn)算5/8/2024

解

例3已知兩點(diǎn)A(x1

y1

z1)和B(x2

y2

z2)以及實(shí)數(shù)

1

這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)

由于首頁(yè)25向量及其運(yùn)算5/8/2024五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式按勾股定理可得有|OP|

|x|

|OQ|

|y|

|OR|

|z|

于是得向量模的坐標(biāo)表示式下頁(yè)26向量及其運(yùn)算5/8/20241.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r

(x

y

z)

作

則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)

則

(x2

y2

z2)

(x1

y1

z1)

(x2

x1

y2

y1

z2

z1)

于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為下頁(yè)五、向量的模、方向角、投影27向量及其運(yùn)算5/8/2024

例4求證以M1(4

3

1)、M2(7

1

2)、M3(5

2

3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r

(x

y

z)

作

則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)

則所以|M2M3|

|M1M3|

即DM1M2M3為等腰三角形

|M1M3|2

6

(5

4)2

(2

3)2

(3

1)2

6

(5

7)2

(2

1)2

(3

2)2|M2M3|2

14

(7

4)2

(1

3)2

(2

1)2|M1M2|2

解因?yàn)橄马?yè)五、向量的模、方向角、投影28向量及其運(yùn)算5/8/2024

例5在z軸上求與點(diǎn)A(

4

1

7)和B(3

5

2)等距離的點(diǎn)

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r

(x

y

z)

作

則設(shè)有點(diǎn)A(x1

y1

z1)和點(diǎn)B(x2

y2

z2)

則即(0

4)2

(0

1)2

(z

7)2設(shè)所求的點(diǎn)為M(0

0

z)

解依題意有|MA|2|MB|2

(3

0)2

(5

0)2

(

2

z)2

下頁(yè)五、向量的模、方向角、投影29向量及其運(yùn)算5/8/2024

例6已知兩點(diǎn)A(4

0

5)和B(7

1

3)

求與方向相同的單位向量e

解下頁(yè)30向量及其運(yùn)算5/8/20242.方向角與方向余弦兩個(gè)向量的夾角下頁(yè)當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí)

兩個(gè)向量之間的不超過(guò)

的夾角稱為向量a與b的夾角

記作(a

^b)或(b

^a)

如果向量a與b中有一個(gè)是零向量

規(guī)定它們的夾角可以在0與

之間任意取值

類似地

可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角

31向量及其運(yùn)算5/8/2024向量的方向角和方向余弦下頁(yè)非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角

、

、

稱為向量r的方向角

cos

、cos

、cos

稱為向量r的方向余弦

設(shè)r

(x

y

z)

則顯然以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e

r

cos2

cos2

cos2

1

因此32向量及其運(yùn)算5/8/2024下頁(yè)解

例733向量及其運(yùn)算5/8/20243.向量在軸上的投影