數(shù)學(xué)初二上學(xué)期壓軸題強(qiáng)化綜合檢測(cè)試卷含答案001

數(shù)學(xué)初二上學(xué)期壓軸題強(qiáng)化綜合檢測(cè)試卷含答案1、我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號(hào)）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，記BC＝m，DC＝n，求證：．2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)寫出其最小值，并加以說明.3、△ABC、△DPC都是等邊三角形．(1)如圖1，求證：AP＝BD；(2)如圖2，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，M為AC的中點(diǎn)，連PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求證：BP⊥BD；②判斷PC與PA的數(shù)量關(guān)系并證明．4、已知△ABC是等邊三角形，△ADE的頂點(diǎn)D在邊BC上（1）如圖1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AE＝AC，∠EAC＝90°，連CE，求證：CE＝2BF；（3）如圖3，若點(diǎn)D為BC的一動(dòng)點(diǎn)，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面積為4，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABE的面積是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變化請(qǐng)說明理由．5、在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（–a，0）、點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若點(diǎn)P在x軸上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出圖形（BP為虛線），并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P不在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6、已知：AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度數(shù)．(2)如圖1，求證：EF＝2AD．(3)如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，F(xiàn)C與EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，且∠BAE＝60°，請(qǐng)?zhí)骄俊螱AF和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．7、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，設(shè)，且．（1）直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形APQ，連接DQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖3，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)B作，且，連接AF交BC于點(diǎn)P，求的值．8、【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則ABD≌ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，ABC和AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°，其中正確的有_____．(將所有正確的序號(hào)填在橫線上）【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，BD=CD，AB=BE，∠ABE=∠BDC=60°，試探究∠A與∠BED的數(shù)量關(guān)系，并證明．【參考答案】1、(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得【解析】(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個(gè)特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)N，則DH=DN,則，由此即可得出結(jié)論．（1）根據(jù)菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過A作，交CB的延長(zhǎng)線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為16（3）①記，∴∵∴∴∵∴∴∴∴如圖：作，∴∴AMAD∴四邊形AMND為平行四邊形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD＝AB∴∴∴BD平分如圖：∵∴∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，對(duì)于同第登高的三角形的面積相等的推到是關(guān)鍵．2、（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，【解析】（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)H，證△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.(3)由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離.再由，在直角三角形中,即可得解.【詳解】解：（1）由已知條件得：

AC=12，OB=6

∴（2）過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF軸，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離,即點(diǎn)O到直線AE的垂線段的長(zhǎng)，∵，OA=6，∴OM+ON=3【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，軸對(duì)稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，弄懂題意，作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.3、(1)證明過程見解析；(2)①證明過程見解析；②PC=2PA，理由見解析．【分析】（1）證明△BCD≌△ACP（SAS），可得結(jié)論；（2）①如圖2中，延長(zhǎng)PM到K，使得MK=PM，連接CK．證【解析】(1)證明過程見解析；(2)①證明過程見解析；②PC=2PA，理由見解析．【分析】（1）證明△BCD≌△ACP（SAS），可得結(jié)論；（2）①如圖2中，延長(zhǎng)PM到K，使得MK=PM，連接CK．證明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再證明△PDB≌△PCK（SSS），可得結(jié)論；②結(jié)論：PC=2PA．想辦法證明∠DPB=30°，可得結(jié)論．（1）證明：如圖1中，∵△ABC，△CDP都是等邊三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)PM到K，使得MK=PM，連接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可證△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：結(jié)論：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，設(shè)∠DPB=∠CPK=x，則∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，關(guān)注全等三角形解決問題．4、（1）60°；（2）見解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=【解析】（1）60°；（2）見解析；（3）不變，【分析】（1）由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由題意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，即可得證；（3）延長(zhǎng)AE至F，使EF=AE，連DF、CF，先證明△ADF是等邊三角形，然后證明△EGF≌△EHA，結(jié)合HG是定值，即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵AD＝DE，∠AED＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴，即，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=60°；（2）連CF，如圖：∵AB=AC=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，∴∠BAE=150°，∴∠AEB=∠ABE=15°；∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC=45°，∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，∵AD垂直平分BC，點(diǎn)F在AD上，∴CF=BF，∴∠FCB=∠EBC=45°，∴∠CFE=90°，在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，∴CE=2CF=2BF；（3）延長(zhǎng)AE至F，使EF=AE，連DF、CF，如圖：∵∠AED＝90°，EF=AE，∴DE是中線，也是高，∴△ADF是等腰三角形，∵∠ADE＝30°，∴∠DAE=60°，∴△ADF是等邊三角形；由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，∴∠ACF=∠BAC=60°，∴CF∥AB，過E作EG⊥CF于G，延長(zhǎng)GE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證△EGF≌△EHA，∴EH=EG=HG，∵HG是兩平行線之間的距離，是定值，∴S△ABE＝S△ABC＝；【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．5、（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長(zhǎng)，結(jié)合∠APB＝【解析】（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負(fù)性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長(zhǎng)，結(jié)合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）分當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)和當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案為：2，4；（2）如圖1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且在x軸上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案為：（4，0）；（3）存在．理由如下：由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，Ⅰ、如圖2，當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，∵∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，過點(diǎn)P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（4，2），Ⅱ、如圖3，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，過點(diǎn)P'作P'D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴P'（2，﹣2）；即：滿足條件的點(diǎn)P（4，2）或（2，﹣2）；【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論.6、(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題【解析】(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長(zhǎng)AD至H，使DH＝AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想辦法證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再證明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)證明：證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH=AD，連接BH∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等邊三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．7、（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，因式分解可得，進(jìn)而可得，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，證明是等邊三角形，進(jìn)而即可求得；（2）連接BM，，進(jìn)而證明為等【解析】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，因式分解可得，進(jìn)而可得，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，證明是等邊三角形，進(jìn)而即可求得；（2）連接BM，，進(jìn)而證明為等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得（3）過點(diǎn)F作軸交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明，，設(shè)，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4a，，進(jìn)而計(jì)算可得，，即可求得的值．【詳解】（1）∵點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，如答圖1，在x軸的正半軸上取點(diǎn)C，使，連接BC，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）如答圖2，連接BM，∴是等邊三角形，∵，，∵∠，∴，∴，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，即，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（3）如答圖3，過點(diǎn)F作軸交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，又∵E是OC的中點(diǎn)，設(shè)，∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4a，，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，因式分解的應(yīng)用，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定并正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8、（1）見解析；（2）①②③；（3），證明見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用對(duì)頂角和三角形【解析】（1）見解析；（2）①②③；（3），證明見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC＝60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，進(jìn)而得出∠AOE＝60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDC是