考研數(shù)學(xué)三(線性方程組與矩陣的特征值和特征向量)模擬試卷2題

考研數(shù)學(xué)三（線性方程組與矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷2(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)三階矩陣A的特征值為－1，1，2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為a1，a2，a3，令P＝(3a2，－a3，2a1)，則P－1AP等于()．A．B．C．D．正確答案：C解析：顯然3a1，－a3，2a1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P－1AP＝，選C．知識(shí)模塊：矩陣的特征值和特征向量2．設(shè)A，B為n階矩陣，且A，B的特征值相同，則()．A．A，B相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣B．存在正交陣Q，使得QTAQ＝BC．r(A)＝r(B)D．以上都不對(duì)正確答案：D解析：令A(yù)＝，B＝顯然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不對(duì)，選D．知識(shí)模塊：矩陣的特征值和特征向量填空題3．設(shè)A＝，｜A｜＞0且A*的特征值為－1，－2，2，則a11＋a22＋a33＝_____________．正確答案：－2解析：因?yàn)椋麬*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A－1＝A*，從而A－1的特征值為－，－1，1，根據(jù)逆矩陣之間特征值的倒數(shù)關(guān)系，得A的特征值為－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．知識(shí)模塊：矩陣的特征值和特征向量4．設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其對(duì)應(yīng)的特征向量為a1，a2，a3，令P＝(2a3，－3a1，－a2)，則P－1(A－1＋2E)P＝_____________．正確答案：解析：P－1(A－1＋2E)P＝P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝．知識(shí)模塊：矩陣的特征值和特征向量5．設(shè)λ1，λ2，λ3是三階矩陣A的三個(gè)不同特征值，a1，a2，a3分別是屬于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若a1，A(a1＋a2)，A2(a1＋a2＋a3)線性無(wú)關(guān)，則λ1，λ2，λ3滿足_____________．正確答案：≠0解析：令x1a1＋x2A(a1＋a2)＋x3A2(a1＋a2＋a3)＝0，即(x1＋λ1x2＋λ21x3)a1＋(λ2x2＋λ22x3)a2＋λ23x3a3＝0，則有x1＋λ1x2＋λ21x3＝0，λ2x2＋λ22x3＝0，λ23x3＝0，因?yàn)閤1，x2，x3只能全為零，所以≠0λ2λ3≠0．知識(shí)模塊：矩陣的特征值和特征向量解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。設(shè)A＝相似于對(duì)角矩陣．求：6．a(chǎn)及可逆矩陣P，使得P－1AP＝A，其中A為對(duì)角矩陣；正確答案：｜λE－A｜＝0λ1＝λ2＝1，λ3＝－1．因?yàn)锳相似于對(duì)角陣，所以r(E－A)＝1a＝－2A＝．(E－A)X＝0基礎(chǔ)解系為ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(1，0，1)T，(－E－A)X＝0基礎(chǔ)解系為ξ3＝(1，2，－1)T，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，則P－1AP＝diag(1，1，－1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量7．A100．正確答案：P－1A100P＝A100＝PP－1＝E．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)A＝，β＝，方程組AX＝β有解但不唯一．8．求a；正確答案：因?yàn)榉匠探MAX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，從而a＝－2或a＝1．當(dāng)a＝－2時(shí)，，r(A)＝r()＝2＜3，方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)a＝1時(shí)，，r(A)＝1＜r()，方程組無(wú)解，故a＝－2．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量9．求可逆矩陣P，使得P－1AP為對(duì)角陣；正確答案：由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ2＝；由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ3＝．令P＝，則P－1AP＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量10．求正交陣Q，使得QTAQ為對(duì)角陣．正確答案：令γ1＝，γ2＝，γ3＝，取Q＝，則QTAQ＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)矩陣A＝．11．若A有一個(gè)特征值為3，求a；正確答案：｜λE－A｜＝(λ2－1)[λ2－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是A＝，A2＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量12．求可逆矩陣P，使得PTA2P為對(duì)角矩陣．正確答案：由｜λE－A2｜＝0得A2的特征值為λ1＝λ2＝λ2＝1，λ4＝9．當(dāng)λ1時(shí)，由(E－A2)X＝0得a1＝(1，0，0，0)2T，a2＝(0，l，0，0)T，a3＝(0，0，－1，1)T；當(dāng)λ＝9時(shí)，由(9E－A2)X＝0得a4＝(0，0，1，1)T．將a1，a2，a3正交規(guī)范化得β1＝(1,0,0,0)T,β2＝(0，1，0，0)T，β3＝(0，0，)T，將a4規(guī)范化得β4＝(0，0，)T．令P＝(β1，β2，β3，β4)＝，則PTA2P＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)矩陣A=可逆，a＝為A*對(duì)應(yīng)的特征向量．13．求a，b及a對(duì)應(yīng)的A*的特征值；正確答案：顯然a也是矩陣A的特征向量，令A(yù)a＝λ1a，則有，解得，所以A＝，｜A｜＝12，設(shè)A的另外兩個(gè)特征值為λ2，λ3，由得λ2＝λ3＝2．a(chǎn)對(duì)應(yīng)的A*的特征值為＝4．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量14．判斷A可否對(duì)角化．正確答案：2E－A＝，因?yàn)閞(2E－A)＝2，所以λ2＝λ3＝2只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可以對(duì)角化．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)A為三階矩陣，ξ1，ξ2，ξ3是三維線性無(wú)關(guān)的列向量，且Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝2ξ1－2ξ2－ξ3．15．求矩陣A的全部特征值；正確答案：A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)，因?yàn)棣?，ξ2，ξ3線性無(wú)關(guān)，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ＋5)(λ－1)2＝0，得A的特征值為－5，1，1．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量16．求｜A*＋2E｜．正確答案：因?yàn)椋麬｜＝－5，所以A*的特征值為1，－5，－5，故A*＋2E的特征值為3，－3，－3．從而｜A*＋2E｜＝27．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量17．設(shè)A為三階矩陣，且有三個(gè)互異的正的特征值，設(shè)矩陣B＝(A*)2－4E的特征值為0，5，32．求A－1的特征值并判斷A－1是否可對(duì)角化．正確答案：設(shè)A的三個(gè)特征值為λ1，λ2，λ3，因?yàn)锽＝(A*)2－4E的三個(gè)特征值為0，5，32，所以(A*)@的三個(gè)特征值為4，9，36，于是A*的三個(gè)特征值為2，3，6．又因?yàn)椋麬*｜＝36＝｜A｜3－1，所以｜A｜＝6．由＝2，＝3，＝6，得λ1＝3，λ2＝2，λ3＝1，由于一對(duì)逆矩陣的特征值互為倒數(shù)，所以A－1的特征值為1，．因?yàn)锳－1的特征值都是單值，所以A－1可以相似對(duì)角化．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)A＝的一個(gè)特征值為λ1＝2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ1＝．18．求常數(shù)a，b，c；正確答案：由Aξ1＝2ξ1，得解得涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量19．判斷A是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求可逆矩陣P，使得P－1AP為對(duì)角矩陣．若不可對(duì)角化，說明理由．正確答案：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝－1．由(2E－A)X＝0，得a1＝，a2＝，由(－E－A)X＝0，得a3＝，顯然A可對(duì)角化，令P＝，則P－1AP＝．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)二維非零向量口不是二階方陣A的特征向量．20．證明：a，Aa線性無(wú)關(guān)；正確答案：a，Aa線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1a＋k2Aa＝0，顯然k2≠0，所以Aa＝－a，與已知矛盾，所以a，Aa線性無(wú)關(guān)．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量21．若A2a＋Aa－6a＝0，求A的特征值，討論A可否對(duì)角化；正確答案：由A2a＋Aa－6a＝0，得(A2＋A－6E)a＝0，因?yàn)閍≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，從而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜·｜2E－A｜＝0，則｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，則3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)a＝0，得(2E－A)a＝0，即Aa＝2a，矛盾；若｜2E－A｜≠0，則2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)a＝0，得(3E＋A)a＝0，即Aa＝－3a，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二階矩陣A有兩個(gè)特征值－3，2，故A可對(duì)角化．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量設(shè)A是三階矩陣，a1，a2，a3為3個(gè)三維線性無(wú)關(guān)的列向量，且滿足Aa1＝a2＋a3，Aa2＝a1＋a3，Aa3＝a1＋a2．22．求矩陣A的特征值；正確答案：因?yàn)閍1，a2，a3線性無(wú)關(guān)，所以a1＋a2＋a3≠0，由A(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3)，得A的一個(gè)特征值為λ1＝2；又由A(a1－a2)＝－(a1－a2)，A(a2－a3)＝－(a