高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用典型例題專(zhuān)題練習(xí)40題(詳解版)

試卷第=page2020頁(yè)，總=sectionpages4444頁(yè)試卷第=page1919頁(yè)，總=sectionpages4444頁(yè)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用典型例題專(zhuān)題練習(xí)40題（詳解版)一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解出不等式可得出所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，，解不等式，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般是先求出導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)不等式，將解集與定義域取交集得出單調(diào)區(qū)間，但單調(diào)區(qū)間不能合并，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為，即對(duì)恒成立，繼而得解.【詳解】由題意函數(shù)在上為增函數(shù),可知，即對(duì)恒成立，所以．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3．設(shè)、是上的可導(dǎo)函數(shù)，、分別為、的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)為減函數(shù)，，，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)法比較函數(shù)值的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.4．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系判斷即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為正，則原函數(shù)遞增，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，則原函數(shù)遞減，導(dǎo)函數(shù)從左到右的符號(hào)依次為負(fù)、正、負(fù)、正，則原函數(shù)的單調(diào)性從左到右依次為減、增、減、增，且在附近單調(diào)遞增，通過(guò)對(duì)比可知，D中的圖象正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的圖象，一般利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來(lái)判斷，考查推理能力，屬于中等題.5．對(duì)于函數(shù)，將滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)（且）有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】令，可得，利用換底公式得出，進(jìn)而得出，由題意得出函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則方程僅有一個(gè)根.由可得，即，設(shè)，其中.則，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象如圖所示，所以或，即或.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義“不動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題的求解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并利用參變量分離法求解是解答的關(guān)鍵，在作函數(shù)的圖象時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在上滿(mǎn)足，則下列一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出和的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】令，則.由已知得，當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)法得出不等式的大小關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.7．設(shè)曲線f(x)=ex+2x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在曲線g(x)=-ax+sinx上某點(diǎn)處的切線l2，使得A．[-1,2] B．(-1,2) C．【答案】D【解析】【分析】求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)(x1,y1)為f(x)上的任一點(diǎn)，可得切線的斜率k1，求得g(x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g(x)圖象上一點(diǎn)(x2,y2)可得切線l2的斜率為k2，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1【詳解】f(x)=ex+2x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex+2，設(shè)(x1,y1)為f(x)上的任一點(diǎn)，則過(guò)(x1,y1)由l1⊥l2，可得任意的x1∈R，總存在x2∈R使等式成立,則有y1=-a+由B?A，即(-12,0)?[-a-1，-a+1]解得：[-12,1]【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查任意存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和值域的包含關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．若不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，令，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)?！驹斀狻坑深}得，，∴不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解.記，∴函數(shù)的圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線.又記，∴，令，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖所示，要使有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可知，只需滿(mǎn)足，即.故選A.【點(diǎn)睛】含參的不等式可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，解本題的關(guān)鍵是能構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)解決，屬于難題。9．已知函數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在兩點(diǎn)處的切線互相平行，得到，從而得到，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，從而得到答案.【詳解】函數(shù)，可得曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，所以即，（，故等號(hào)取不到）即恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以時(shí)，取最大值，為所以，即，故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解決恒成立問(wèn)題，屬于難題.10．已知與軸有3個(gè)交點(diǎn)，，且在，時(shí)取極值，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．不確定【答案】C【解析】【分析】先確定，由韋達(dá)定理可求，再求導(dǎo)函數(shù)，由，是的根，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】，，，又，，是兩根，且．由韋達(dá)定理，，且在，時(shí)取得極值，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．11．一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則其在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為（），在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）.A．12，3 B．10，5 C．14，6 D．16，6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由變化率公式可得在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為，計(jì)算可得答案，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可得的值，由瞬時(shí)變化率公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則其在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為，其導(dǎo)數(shù)，則，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查變化率的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握變化率與瞬時(shí)變化率的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】按照基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出、、、選項(xiàng)中正確的結(jié)果即可．【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)按照基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算，求出正確的導(dǎo)數(shù)即可．13．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，即，得，令，其中，，令，得，列表如下：極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，函數(shù)的最小值為，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式能成立問(wèn)題，利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是一種常見(jiàn)的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.14．已知函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】【分析】由題意得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法得出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，由題意知，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式在區(qū)間上恒成立，并借助參變量分離法求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，然后代值計(jì)算可得出的值.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、解答題16．已知函數(shù)，定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，其中．（1）求證：；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，求解最小值即可；（2）分，討論，的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）證明：的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，所以，②因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，綜上，成立.（2）解：①若，則當(dāng)時(shí)，，所以由，得，即；由，得，即，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為②若，則，由（1）知，即，所以由，得或，由，得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.17．已知函數(shù).（1）若時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在時(shí)取得極值，當(dāng)時(shí)，求使得恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切弦的斜率，利用點(diǎn)斜式可得結(jié)果.（2）根據(jù)，可得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并根據(jù)的最值與的關(guān)系，可得結(jié)果.（3）采用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在恒成立，并使用分離參數(shù)，構(gòu)建新函數(shù)，根據(jù)的最值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，，，，，故切線方程是：，即；（2），，解得：，∴，，令，解得：或，令，解得：，∴在遞增，在遞減，∴的最小值是或，而，，∴；（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在恒成立，令，，在恒成立，∴在遞減，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于構(gòu)建新函數(shù)以及分離參數(shù)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，學(xué)會(huì)構(gòu)建新函數(shù)，使目標(biāo)更加明確，屬基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù)．（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）單減區(qū)間：，單增區(qū)間：（2）【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）令，根據(jù)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，得到，即得a的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，令令，故的單增區(qū)間為；令，或，故的單減區(qū)間為.（2）由，由（1）的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為且結(jié)合圖像，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有極大值又有極小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解二次不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)x分類(lèi)討論，結(jié)合極值概念，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以，令得，或.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當(dāng)時(shí)，若，則，所以因?yàn)?，所以若，則，所以令，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且不妨設(shè)，所以當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：因?yàn)楹瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，所以當(dāng)時(shí)，即存在極大值又有極小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷函數(shù)的單調(diào)性及判斷函數(shù)的極值問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題由于含有參數(shù)，常涉及到分類(lèi)討論的思想，還體現(xiàn)了方程與函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的思想．20．已知函數(shù)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，由可求出實(shí)數(shù)的值；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值以及端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小后可得出該函數(shù)的最值．【詳解】（1），，由于曲線在處的切線與軸平行，則，解得；（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，可?當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，當(dāng)時(shí)，.，，令，則，所以，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用切線斜率求參數(shù)以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題．21．已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由即可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，據(jù)此計(jì)算可得與的值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得切線的方程，變形即可得答案；（2）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)的值進(jìn)行分情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】（1）若，，導(dǎo)函數(shù)為，則，.則所求切線方程為，即；（2）當(dāng)時(shí)，，令，可得或.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng).令，可得或；令，可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí).令，可得或；令，可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性以及計(jì)算切線的方程，注意函數(shù)的定義域以及對(duì)的范圍進(jìn)行討論．22．已知函數(shù)，向量，，函數(shù).（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（Ⅰ）極小值為，沒(méi)有極大值；（Ⅱ）在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出函數(shù)的極值；（Ⅱ）求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，令，得，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，于是，由得，由得，所以，函數(shù)在上遞減，在上遞增.所以，函數(shù)的極小值為，沒(méi)有極大值；（Ⅱ）.，當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增又因?yàn)?，，因此，函?shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零存在定理求解，考查推理能力，屬于中等題.23．設(shè)f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．（Ⅰ）若y＝f（x）的圖象在x＝﹣1處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求a的值；（Ⅱ）若f（x）存在極大值，且極大值小于0，求a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．【解析】【分析】（Ⅰ）求f'（x）得到切線斜率，結(jié)合直線過(guò)原點(diǎn)，即得解;（Ⅱ）分a≤0，a＞0兩種情況分析導(dǎo)數(shù)極值，得到f（ln2a）是極大值，由極大值小于0，求a的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣2a＝（x+1）（ex﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，所以由題意得：0，∴a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)2a≤0時(shí)，即a≤0時(shí)，ex﹣2a≥0，∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln2a，當(dāng)ln2a＞﹣1時(shí)，即a，∴x∈（﹣∞，﹣1）和（ln2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)﹣1＜x＜ln2a時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（﹣1）為極大值，且f（﹣1）a，由題意得：f（﹣1）＜0，∴；當(dāng)ln2a＜﹣1時(shí)，即0＜a，∴x∈（﹣∞，ln2a）和（﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（ln2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（ln2a）是極大值，且f（ln2a）＝2aln2a﹣aln22a﹣2aln2a＝﹣aln22a＜0恒成立；當(dāng)ln2a＝﹣1時(shí)，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，無(wú)極值，舍去；綜上所述：符合條件的a的取值范圍：（0，）∪（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類(lèi)討論的能力，屬于較難題.24．已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù)．討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；若，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)且，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可確定極值，轉(zhuǎn)化為證明只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證；由題意可得，，代入可得，，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可證．【詳解】解：解：由已知，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，則由于在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一的，使得，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；證明：由知．令，由得，所以在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的唯一極值點(diǎn)．令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，所以．從而當(dāng)時(shí)，，且又因?yàn)?，故在?nèi)有唯一的零點(diǎn)．由題意，即，從而，即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，還綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．25．已知設(shè)函數(shù).（1）若，求極值；（2）證明：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn).【答案】（1）取得極大值0，無(wú)極小值（2）見(jiàn)證明【解析】【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)得到，求出的根，列表求出的單調(diào)區(qū)間和極值.（2）對(duì)進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)時(shí)，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)，得到在單調(diào)遞減，找到其零點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，找到，，可證在上存在零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）得到的結(jié)論，對(duì)進(jìn)行放縮，得到，再由，可證在上存在零點(diǎn).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，由得．?dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：極大值故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值．（2），．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以有且僅有一個(gè)，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以，而，所以在存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，由（1）得，于是，所以．所以．于是．因?yàn)?，所以所以在存在零點(diǎn)．綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷其正負(fù)，得到原函數(shù)的增減，再由零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)存在零點(diǎn)，題目涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合程度高，屬于難題.26．對(duì)于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②存在常數(shù)p，使其值域?yàn)?，則稱(chēng)函數(shù)為的“漸近函數(shù)”；（1）證明：函數(shù)是函數(shù)的漸近函數(shù)，并求此時(shí)實(shí)數(shù)p的值；（2）若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，不是的漸近函數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）通過(guò)令，利用“漸近函數(shù)”的定義逐條驗(yàn)證即可；（2）通過(guò)記，結(jié)合“漸近函數(shù)”的定義可知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求時(shí)，的最大值問(wèn)題，進(jìn)而計(jì)算可得的范圍，從而證明結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意，令，則，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，于是函數(shù)是函數(shù)，的漸近函數(shù)，此時(shí)實(shí)數(shù).（2）即，，假設(shè)函數(shù)，的漸近函數(shù)是，則當(dāng)時(shí)，，即，令函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，不是的漸近函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的理解與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.27．設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）【解析】【分析】（1）求出定義域、，分，兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)解不等式，可得單調(diào)區(qū)間；（2）令，則，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最大值問(wèn)題．求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論可求得函數(shù)的最大值；【詳解】（1）解：因?yàn)椋渲?所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）令，則，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立.所以，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立.所以在上是增函數(shù)，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不會(huì)恒成立，故不符題意.②當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立.所以在上是增函數(shù)，且，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不會(huì)恒成立，故不符題意.③當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對(duì)任意都成立”的充要條件是，即，解得，故.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．28．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若對(duì)任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由的圖象經(jīng)過(guò)可得，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得的方程，解得，即可得到；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，即.因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，所以，所以，解得，從而.（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以，所以，令，則，此時(shí).所以有兩個(gè)不等的實(shí)根，，因?yàn)?，所以方程有一正一?fù)的兩個(gè)實(shí)根.又，，又在上總不單調(diào)，所以在上只有一個(gè)正實(shí)根，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?令，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、求切線的斜率和單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在定理、分離參數(shù)法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算求解能力、推理能力，屬于中檔題．29．已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；命題：函數(shù)在單調(diào)遞減，若命題與命題都為假命題，求：實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由已知可得命題、的真假，再根據(jù)兩個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假得的取值范圍.【詳解】若真，則，解得：；若真，則在恒成立，∴；若命題與命題都為假命題，可知真，假；∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、復(fù)合命題的真假判斷，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意、非，的真假判斷.30．已知函數(shù),．(1)求函數(shù)的極值；(2)對(duì),不等式都成立,求整數(shù)k的最大值；【答案】(1)極小值為無(wú)極大值；(2)3.【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后求解函數(shù)的極值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,,再求導(dǎo),分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,即可求出k的值．【詳解】解：,，，當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),取得極小值,極小值為無(wú)極大值．，,不等式都成立,在上恒成立,即在上恒成立,令,,,當(dāng)時(shí),即時(shí),在上恒成立,在上單調(diào)遞增,,,此時(shí)整數(shù)k的最大值為2,當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,,由,令,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又，,存在使得,故此時(shí)整數(shù)k的最大值為3,綜上所述整數(shù)k的最大值3．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,構(gòu)造法的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．31．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及此切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（其中）（3）確定非負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍，使得，成立．【答案】（1）點(diǎn)，切線方程為；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率以及點(diǎn)，然后可得結(jié)果.（2）構(gòu)建新的函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算新函數(shù)的最值，可得結(jié)果.（3）構(gòu)建函數(shù)，采用分類(lèi)討論與，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，則由題可知：所以切線方程為，點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，則在恒成立即在恒成立令所以令或（舍）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以可知在遞增，在遞減且，所以在中，故可知所以當(dāng)時(shí)，（3）由，成立則在恒成立令則當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以所以，成立當(dāng)時(shí)，令，則或（舍）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在遞減，在遞增，又，所以，所以，不成立綜上所述：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)式子大小，同時(shí)考查了函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，本題難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的討論以及構(gòu)建函數(shù)，重點(diǎn)把握對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬中檔題.32．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于都有成立，試求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，分別解不等式和可分別得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由題意可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?解不等式，得；解不等式，得.所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2），，.令，得；令，得.所以，函數(shù)在處取得最小值，即，由，得，即，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為與函數(shù)最值相關(guān)的不等式來(lái)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、填空題33．已知P是曲線上的點(diǎn)，Q是曲線上的點(diǎn)，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)及其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的曲線的簡(jiǎn)圖，根據(jù)圖像，分別過(guò)P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小，利用相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得解．【詳解】,函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.它的圖像及關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圖像如圖所示：分別過(guò)P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小.令，又P在y軸右側(cè)，；根據(jù)兩條曲線的對(duì)稱(chēng)性，且P，Q處的切線斜率相等，點(diǎn)Q為點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，可求得因此PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)綜合，考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題．34．已知函數(shù)，若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出，求出實(shí)數(shù)的值，并驗(yàn)證為函數(shù)的極小值點(diǎn)，綜合即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，定義域?yàn)?，且，由題意得，解得，此時(shí)，.令，得或，列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)在處取得極小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值為零，同