2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

2024中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會(huì)有下降趨勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問(wèn)題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開(kāi)放探究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點(diǎn)詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．2．圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．要點(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r．要點(diǎn)詮釋：圓的確定：①過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．②過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．③經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（3）切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點(diǎn)詮釋：直線是⊙O的切線，必須符合兩個(gè)條件：①直線經(jīng)過(guò)⊙O上的一點(diǎn)A；②OA⊥．3．圓和圓的位置關(guān)系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請(qǐng)看下表：要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)理解．④“R-r”時(shí)，要特別注意，R＞r．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題1】1．已知：如圖所示，在⊙O中，弦AB的中點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C的半徑為OD．(1)若AB＝，OC＝1，求CD的長(zhǎng)；(2)若半徑OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】如圖所示，一般的，若∠AOB＝2n°，OD⊥AB于C，OA＝R，OC＝h，則AB＝2R·sinn°＝2n·tann°＝；CD＝R－h(huán)；的長(zhǎng)．【答案與解析】解：∵半徑OD經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn)C，∴半徑OD⊥AB．(1)∵AB＝，AC＝BC＝．∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝，∴．【總結(jié)升華】圓的半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距三條線段組成一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為弦所對(duì)圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問(wèn)題．舉一反三：【變式】在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖到B點(diǎn)(如圖所示)，此時(shí)甲是自己直接射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢?(不考慮其他因素)【答案】解：過(guò)M、N、B三點(diǎn)作圓，顯然A點(diǎn)在圓外，設(shè)MA交圓于C，則∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B點(diǎn)射門較好．即甲應(yīng)迅速將球回傳給乙，讓乙射門．2．（2015?大慶模擬）已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，P是弧AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，求證：OP∥BC；（2）如圖2，PC交AB于D，當(dāng)△ODC是等腰三角形時(shí)，求∠A的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，如圖1，由P是弧AC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得PH⊥AC，再根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，然后根據(jù)OP∥BC；（2）如圖2，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和等推論證來(lái)求得∠A的度數(shù).【答案與解析】（1）證明：連結(jié)AC，延長(zhǎng)PO交AC于H，如圖1，∵P是弧AB的中點(diǎn)，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如圖2，∵P是弧AC的中點(diǎn)，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，當(dāng)DO=DC，設(shè)∠DCO=x，則∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，當(dāng)CO=CD，設(shè)∠DCO=x，則∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．綜上所述，∠A的度數(shù)為36°或（）°．【總結(jié)升華】本題考查了圓周角定理及其推論同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理．舉一反三：【變式】（2015?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．（1）求BE的長(zhǎng)；（2）求△ACD外接圓的半徑．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對(duì)的弦為圓的直徑），∴∠AED=90°（直徑所對(duì)的圓周角為直角），又AD是△ABC的角平分線（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根據(jù)勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，設(shè)CD=DE=x，則DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：AD==，根據(jù)AD是△ACD外接圓直徑，∴△ACD外接圓的半徑為：×=．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用3．如圖所示，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，求證：AC與⊙O相切．【思路點(diǎn)撥】AC與⊙O有無(wú)公共點(diǎn)在已知條件中沒(méi)有說(shuō)明，因此只能過(guò)點(diǎn)O向AC作垂線段OE，長(zhǎng)等于⊙O的半徑，則垂足E必在⊙O上，從而AC與⊙O相切．【答案與解析】證明：連接OD，作OE⊥AC，垂足為E，連結(jié)OA．∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點(diǎn)在條件中并沒(méi)有給出，那么作垂直，證半徑．舉一反三：【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．【答案】解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，而AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c，可求．連接OE、OD，易證OE＝CE．即直角三角形的內(nèi)切圓半徑．4．如圖所示，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，，∠D＝30°．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若AC＝6，求AD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠O的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可．【答案與解析】(1)證明：連接OA，∵，∴∠B＝30°．∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切線．(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AO＝．【總結(jié)升華】證明直線是圓的切線的方法：①有半徑，證垂直；②有垂直，證半徑．舉一反三：【變式】如圖所示，半徑OA⊥OB，P是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA交⊙O于D，過(guò)D作⊙O的切線交PO于C點(diǎn)，求證：PC＝CD．【答案】證明：連接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用5．已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D，求∠CDP的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】連接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案與解析】解：連接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．AABCDP·OE【總結(jié)升華】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于做好輔助線構(gòu)建直角三角形，求證∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題3】6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥AF于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若DE＝4，sinC＝，求AE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造半徑、半弦、弦心距的直角三角形．【答案與解析】解：(1)證明：連接OE，BF，交于點(diǎn)G，則BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD為⊙O的切線．(2)解：∵BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四邊形DEGF為矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE＝．【總結(jié)升華】(1)通過(guò)挖掘圖形的性質(zhì)，將分散的條件sinC＝，DE＝4，集中到一個(gè)直角三角形中，使問(wèn)題最終得到解決；(2)本題第(2)問(wèn)還可以適當(dāng)改變后進(jìn)行變式訓(xùn)練，如改為：若DF＝2，sinC＝，求AE的長(zhǎng)；(3)第(2)問(wèn)還可以過(guò)O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝加以解決.中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會(huì)有下降趨勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問(wèn)題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開(kāi)放探究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等?。蝗切蔚耐饨訄A、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點(diǎn)詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。c(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．7.圓內(nèi)接四邊形（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r．要點(diǎn)詮釋：圓的確定：①過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．②過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．③經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（3）切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點(diǎn)詮釋：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個(gè)條件：①直線l經(jīng)過(guò)⊙O上的一點(diǎn)A；②OA⊥l．（4）三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

（5）三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.

要點(diǎn)詮釋：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.3．圓和圓的位置關(guān)系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請(qǐng)看下表：要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點(diǎn)．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)理解．④“R-r”時(shí)，要特別注意，R＞r．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究1．和圓有關(guān)的最長(zhǎng)線段和最短線段了解和圓有關(guān)的最長(zhǎng)線段與最短線段，對(duì)有關(guān)圓的性質(zhì)的了解極為重要，下面對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單論述．(1)圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長(zhǎng)的弦．過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，是與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂直的弦，如圖②，P是⊙O內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的直徑AB，過(guò)P作弦CD⊥AB于P，則CD是過(guò)點(diǎn)P的最短的弦．(2)圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的線段與最短的線段都在過(guò)圓心的直線上．如圖所示，P在⊙O外，連接PO交⊙O于A，延長(zhǎng)PO交⊙O于B，則在點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)連接的線段中，PB最長(zhǎng)，PA最短．(3)圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的線段與最短的線段也都在過(guò)圓心的直線上．如圖所示，P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，直徑過(guò)點(diǎn)P，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則PB最長(zhǎng)、PA最短．2．與三角形內(nèi)心有關(guān)的角(1)如圖所示，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC．(2)如圖所示，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，．(3)如圖所示，E是△ABC內(nèi)角與外角的平分線的交點(diǎn)，．(4)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，則∠DOE＝180°－∠A．(5)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，．(6)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，則．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用 1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過(guò)半徑OA的中點(diǎn)P，∠OPC＝60°，求弦BC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】要用好60°角，構(gòu)造直角三角形．在圓中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦長(zhǎng)及半徑構(gòu)成直角三角形．【答案與解析】解：過(guò)O作OM⊥BC于M，連接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．【總結(jié)升華】圓的半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距三條線段組成一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為弦所對(duì)圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問(wèn)題．2．如圖所示，在⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)M，，連接AC．(1)求證：△MAC是等腰三角形；(2)若AC為⊙O直徑，求證：AC2＝2AM·AB．【思路點(diǎn)撥】(1)證明∠MCA＝∠MAC；(2)證明△AOM∽△ABC．【答案與解析】證明：(1)∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)連接OM．∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【總結(jié)升華】本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：【變式】如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，則()A．B．C．D．與的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】解：要比較與的大小有兩種思路．(1)把的一半作出來(lái)，比較與的大小；(2)把作出來(lái)，比較與的大?。鐖D所示，作OE⊥AB，垂足為E，交于F．則，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴，即．答案A.【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題2】3．已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥半徑AO于D．(1)求證：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半徑．【思路點(diǎn)撥】過(guò)O作OE⊥AB于E，連接BO，再由垂徑定理及三角函數(shù)進(jìn)行證明與求解.【答案與解析】解法一：(1)過(guò)O作OE⊥AB于E，連接BO(如圖所示)，則．又∵BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．設(shè)AD＝4k，則AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于C′．（如圖所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′為⊙O的直徑，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴設(shè)AB＝4k，則AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【總結(jié)升華】解決圓周角的問(wèn)題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉(zhuǎn)化為同弧所對(duì)圓心角的一半的角；二是將圓周角的頂點(diǎn)移動(dòng)到使其一邊經(jīng)過(guò)圓心．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用4．（2014秋?興化市月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求線段BE的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接OE，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，進(jìn)而可推導(dǎo)得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，最終算得BE的值．【答案與解析】（1）證明：∵PD為⊙O的切線，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE為等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【總結(jié)升華】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和等腰三角形的判定．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．舉一反三：【變式】（2015?畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC=FC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明：連結(jié)OA、OD，如圖，∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．(1)判斷△DCE的形狀；(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且，求證△DCE≌△OCB．【思路點(diǎn)撥】（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結(jié)合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結(jié)合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE為等腰三角形；

（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．【答案與解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切線，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．∴CE＝AE－AC＝＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【總結(jié)升華】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△AOC是正三角形．舉一反三：【變式】如圖所示，PQ＝3，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q，則AB＝________．【答案】解：連接PQ并延長(zhǎng)交AB于E，設(shè)大圓的圓心為O，連接OA．設(shè)AB＝2x，則AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的長(zhǎng)及∠CMP的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出∠CMP的度數(shù)；(3)若點(diǎn)P在直徑BA的延長(zhǎng)線上，PC切⊙O于點(diǎn)C，那么∠CMP的大小是否變化？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）作輔助線，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長(zhǎng)，可將PC的長(zhǎng)求出；

（2）通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發(fā)生變化．【答案與解析】解:(1)連接OC，則∠OCP＝90°．∵OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴CP＝．∵PM平分∠CPA，∴．∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)設(shè)∠CPA＝α，∵PM平分∠CPA，∴∠MPA＝∠CPA．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵OA＝OC，∴∠CAP＝．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小沒(méi)有變化

∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【總結(jié)升華】解第(2)小題時(shí)，引用“設(shè)∠CPA＝α”這一方法，用代數(shù)方法計(jì)算得出結(jié)論，降低了解題的難度．本題主要考查切線的性質(zhì)及對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用．舉一反三：【變式】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD與AE相交于F．(1)求證：AC2＝AF·AE；(2)求證：AF＝CF．【答案】證明：(1)如圖所示，連接CE，延長(zhǎng)CD交⊙O于G，連接AG．∵AB是⊙O直徑，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴AC2＝AF·AE．(2)由(1)得．又∵C是的中點(diǎn)，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．弦AB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)B．弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)C．D．∠BAC＝30°2．如圖，⊙O的直徑AB長(zhǎng)為10，弦AC長(zhǎng)為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長(zhǎng)為()A．7B．C．D．9第1題第2題第3題3．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝6cm，OD＝4cm，則DC的長(zhǎng)為()A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm4．已知：⊙O的半徑為13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則AB，CD之間的距離為()A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm5．（2015?西藏）已知⊙O1與⊙O2相交，且兩圓的半徑分別為2cm和3cm，則圓心距O1O2可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm6．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是()A．1B．C．D．二、填空題7．在⊙O中直徑為4，弦AB＝，點(diǎn)C是圓上不同于A，B的點(diǎn)，那么∠ACB度數(shù)為_(kāi)_______．8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，則∠D＝________．第8題第9題9．如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B＝60°，∠C＝70°，則∠BOD的度數(shù)是________度．10．若兩圓相切，圓心距是7，其中一圓的半徑為10，則另一個(gè)圓的半徑為_(kāi)_______．11．（2015?鹽城校級(jí)模擬）如圖，將一個(gè)圓心角為120°，半徑為6cm的扇形圍成一圓錐側(cè)面（OA、OB重合），則圍成的圓錐底面半徑是cm．12．如圖，在4×4的方格紙中(共有16個(gè)小方格)，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．O、A、B分別是小正方形的頂點(diǎn)，則扇形OAB的弧長(zhǎng)等于________．(結(jié)果保留根號(hào)及π)三、解答題13．（2014秋?北京期末）如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．（1）求證：∠CAD=∠BAC；（2）若sin∠BAC=，BC=6，求DE的長(zhǎng)．14.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1＝∠C．(1)求證：CB∥PD；(2)若BC＝3，，求⊙O的直徑．15．如圖，已知⊙O1與⊙O2都過(guò)點(diǎn)A，AO1是⊙O2的切線，⊙O1交O1O2于點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)交⊙O2于點(diǎn)C，連接O2C．(1)求證：O2C⊥O1O2；(2)證明：AB·BC＝2O2B?BO1；(3)如果AB?BC＝12，O2C＝4，求AO1的長(zhǎng)．16．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC邊于點(diǎn)E．過(guò)E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點(diǎn)為F．(1)求證：OE∥AB；(2)求證：；(3)若，求的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】∵OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°．又∵CO⊥AB，∴．又∠BOC和∠BAC分別是對(duì)的圓心角和圓周角，∴．∴D錯(cuò)．2.【答案】B；【解析】連接AD，BD，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝∠ADB＝90°，故∠ACD＝∠BCD＝45°，BC＝8，AD＝BD＝．由△ACD∽△OCB，得，即CO·CD＝6×8＝48．由△DOB∽△DBC，得，即OD·CD＝．∴CO·CD+OD·CD＝(CO+OD)·CD＝CD2＝98．∴．3.【答案】D；【解析】連接AO，由垂徑定理知，所以Rt△AOD中，．所以DC＝OC-OD＝OA-OD＝5-4＝1．4.【答案】D；【解析】如圖，在Rt△OAE中，(cm)．在Rt△OCF中，(cm)．∴EF＝OF-OE＝12-5＝7(cm)．同理可求出OG＝12(cm)．∴EG＝5+12＝17(cm)．則AB，CD的距離為17cm或7cm．5.【答案】B；【解析】?jī)蓤A半徑差為1，半徑和為5，兩圓相交時(shí)，圓心距大于兩圓半徑差，且小于兩圓半徑和，所以，1＜O1O2＜5．符合條件的數(shù)只有B．6.【答案】C；【解析】圓錐底面的周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖半圓弧的長(zhǎng)度，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，∴．二、填空題7．【答案】120°或60°；【解析】如圖，過(guò)O作OD⊥AB于D，在Rt△ODB中，OB＝2，．∴．∴∠DOB＝60°，∴∠AOB＝60°×2＝120°．如圖中點(diǎn)C有兩種情況：∴或．8．【答案】40°；【解析】∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°．9．【答案】100；【解析】在△ABC中，∠A＝180°-∠B-∠C＝180°-60°-70°＝50°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝50°，∴∠BOD＝∠A+∠ODA＝100°．10．【答案】3或17；【解析】顯然兩圓只能內(nèi)切，設(shè)另一圓半徑為r，則|r-10|＝7，∴r＝3或17．11.【答案】2；【解析】設(shè)此圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)可得，2πr=，r=2cm．故答案為2．12．【答案】；【解析】∠AOB＝45°+45°＝90°，OA＝．∴．三、解答題13.【答案與解析】（1）證明：連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，即∠CAD=∠BAC．（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，又AD⊥l于點(diǎn)D，∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°，∴四邊形DEBF是矩形，∴DE=BF．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD．∵∠CAD=∠BAC，∴∠BCF=∠BAC．在Rt△BCF中，BC=6，sin∠BCF==sin∠BAC=，∴BF==，∴DE=BF=．14.【答案與解析】(1)證明：∵，∴∠BCD＝∠P．又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P．∴CB∥PD．(2)解：連接AC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．又∵CD⊥AB，∴．∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP．在Rt△ABC中，，∵，∴．又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直徑為5．15.【答案與解析】(1)證明：∵AO1是⊙O2的切線，∴O1A⊥AO2，∴∠O2AB+∠BAO1＝90°．又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1．∴∠O2CB+∠O2BC＝∠O2AB+∠BAO1＝90°．∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2．(2)證明：延長(zhǎng)O2O1，交⊙O1于點(diǎn)D，連接AD．∵BD是⊙O1的直徑，∴∠BAD＝90°．又由(1)可知∠BO2C＝90°，∴∠BAD＝∠BO2C，又∠ABD＝∠O2BC，∴．∴AB·BC＝O2B·BD．又BD＝2BO1，∴AB·BC＝2O2B·BO1．(3)解：由(2)證可知∠D＝∠C＝∠O2AB，即∠D＝∠O2AB．又∠AO2B＝∠DO2A，∴△AO2B∽△DO2A．∴，∴．∵，∴．①又由(2)AB·BC＝O2B·BD．②由①－②得，即．∴O2B＝2，又O2B·BD＝AB·BC＝12，∴BD＝6．∴2AO1＝BD＝6，∴AO1＝3．16.【答案與解析】(1)證明：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠B＝∠C．∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C．∴∠B＝∠OEC．∴OE∥AB．(2)證明：連接OF，如圖．∵⊙O與AB切于點(diǎn)F，∴OF⊥AB．∵EH⊥AB，∴OF∥EH．又∵OE∥AB，∴四邊形OEHF為平行四邊形．∴EH＝OF．∵，∴．(3)解：連接DE，如圖．∵CD是直徑，∴∠DEC＝90°．∴∠DEC＝∠EHB．又∵∠B＝∠C，∴△EHB∽△DEC．∴．∵，設(shè)BH＝k，∴BE＝4k，，∴．∴．中考總復(fù)習(xí)：圓綜合復(fù)習(xí)—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．（2015?楊浦區(qū)三模）已知半徑分別是3和5的兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)圓的圓心距d的取值范圍是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝()A．B．C．D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點(diǎn)C為圓心，以2cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交D．相切或相交第2題第3題第5題4．已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長(zhǎng)為3，若圓O2上的點(diǎn)A滿足AO1＝3，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系是()A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內(nèi)含D．相切或內(nèi)含5．如圖所示，在圓O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，則BC的長(zhǎng)為()A．19B．16C．18D．206．如圖，MN是半徑為0.5的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為()A．B．C．1D．2二、填空題7．如圖，分別以A，B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑的兩個(gè)圓相交于C，D兩點(diǎn)，則∠CAD的度數(shù)為_(kāi)______．8．如圖，現(xiàn)有圓心角為90°的一個(gè)扇形紙片，該扇形的半徑是50cm．小紅同學(xué)為了在圣誕節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那么被剪去的扇形紙片的圓心角應(yīng)該是________度．第7題第8題第9題9．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，與關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，則AB、BC、、所圍成的面積是________cm2．10．如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點(diǎn)，若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm．11．將半徑為4cm的半圓圍成一個(gè)圓錐，在圓錐內(nèi)接一個(gè)圓柱(如圖所示)，當(dāng)圓柱的側(cè)面的面積最大時(shí)，圓柱的底面半徑是________cm．第10題第11題12．（2015?安徽模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D．下列四個(gè)結(jié)論：①∠BOC=90°+∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位線．其中正確的結(jié)論是．三、解答題13．（2015?滕州市校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，且D在以AE為直徑的⊙O上．（1）證明：BC是⊙O的切線；（2）若DC=4，AC=6，求圓心O到AD的距離；（3）若，求的值．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE．(1)若BE是△DEC外接圓的切線，求∠C的大?。?2)當(dāng)AB＝1，BC＝2時(shí)，求△DEC外接圓的半徑．15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．(1)證明：AF平分∠BAC；(2)證明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的長(zhǎng)．16.如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于D，BD＝2PA．(1)證明：直線PB是⊙O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)求sin∠OPA的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圓的位置關(guān)系，應(yīng)該是內(nèi)含和外離，當(dāng)內(nèi)含時(shí)，這兩個(gè)圓的圓心距d的取值范圍是d＜R﹣r，即d＜2；當(dāng)外離時(shí)，這兩個(gè)圓的圓心距d的取值范圍是d＞R+r，即d＞8．故選D．2.【答案】A；【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別是E，F(xiàn)，連接BD，則AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，設(shè)AE＝x，則AD＝2+2x．由△ABE∽△ADB可得，即，解得．∴AD＝2+2x＝1+，則．3.【答案】B；【解析】如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴CD＝BC＝(cm)．又⊙C的半徑為2cm，∴d＝r．∴直線AB與⊙C相似．4.【答案】A；【解析】因?yàn)锳O1＝3，所以點(diǎn)A在圓O1上，又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓O2上，所以圓O1與圓O2的位置關(guān)系是相交或相切．5.【答案】D；【解析】延長(zhǎng)AO交BC于D點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥BD于E．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°．∴△DAB是等邊三角形，BD＝AB＝12．在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，∴DE＝OD·cos60°＝，∴BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．6.【答案】A