2024年中考數(shù)學總復習：圓的有關概念、性質(zhì)與圓有關的位置關系-知識講解（基礎）

2024中考總復習：圓的有關概念、性質(zhì)與圓有關的位置關系—知識講解（基礎）【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關系是中考考查的重點，但圓中復雜證明及兩圓位置關系中證明會有下降趨勢，不會有太復雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又應用于生活．【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、圓的有關概念及性質(zhì)1．圓的有關概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等?。蝗切蔚耐饨訄A、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．2．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點確定一個圓．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。c詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．考點二、與圓有關的位置關系1．點和圓的位置關系設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內(nèi)d＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點詮釋：直線是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線經(jīng)過⊙O上的一點A；②OA⊥．3．圓和圓的位置關系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“R-r”時，要特別注意，R＞r．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應用【高清課堂：圓的有關概念、性質(zhì)及與圓有關的位置關系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題1】1．已知：如圖所示，在⊙O中，弦AB的中點為C，過點C的半徑為OD．(1)若AB＝，OC＝1，求CD的長；(2)若半徑OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的長.【思路點撥】如圖所示，一般的，若∠AOB＝2n°，OD⊥AB于C，OA＝R，OC＝h，則AB＝2R·sinn°＝2n·tann°＝；CD＝R－h(huán)；的長．【答案與解析】解：∵半徑OD經(jīng)過弦AB的中點C，∴半徑OD⊥AB．(1)∵AB＝，AC＝BC＝．∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝，∴．【總結升華】圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關系解決有關垂徑定理的計算問題．舉一反三：【變式】在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向對方球門進攻，當甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點(如圖所示)，此時甲是自己直接射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢?(不考慮其他因素)【答案】解：過M、N、B三點作圓，顯然A點在圓外，設MA交圓于C，則∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B點射門較好．即甲應迅速將球回傳給乙，讓乙射門．2．（2015?大慶模擬）已知AB是⊙O的直徑，C是圓周上的動點，P是弧AC的中點．（1）如圖1，求證：OP∥BC；（2）如圖2，PC交AB于D，當△ODC是等腰三角形時，求∠A的度數(shù)．【思路點撥】（1）連結AC，延長PO交AC于H，如圖1，由P是弧AC的中點，根據(jù)垂徑定理得PH⊥AC，再根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，然后根據(jù)OP∥BC；（2）如圖2，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系，以及三角形內(nèi)角和等推論證來求得∠A的度數(shù).【答案與解析】（1）證明：連結AC，延長PO交AC于H，如圖1，∵P是弧AB的中點，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如圖2，∵P是弧AC的中點，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，當DO=DC，設∠DCO=x，則∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，當CO=CD，設∠DCO=x，則∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．綜上所述，∠A的度數(shù)為36°或（）°．【總結升華】本題考查了圓周角定理及其推論同時考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理．舉一反三：【變式】（2015?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．（1）求BE的長；（2）求△ACD外接圓的半徑．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），又AD是△ABC的角平分線（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）；∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根據(jù)勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，設CD=DE=x，則DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：AD==，根據(jù)AD是△ACD外接圓直徑，∴△ACD外接圓的半徑為：×=．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應用3．如圖所示，AB＝AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，求證：AC與⊙O相切．【思路點撥】AC與⊙O有無公共點在已知條件中沒有說明，因此只能過點O向AC作垂線段OE，長等于⊙O的半徑，則垂足E必在⊙O上，從而AC與⊙O相切．【答案與解析】證明：連接OD，作OE⊥AC，垂足為E，連結OA．∵AB與⊙O相切于點D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切．【總結升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點在條件中并沒有給出，那么作垂直，證半徑．舉一反三：【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．【答案】解：設△ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為D、E、F，根據(jù)切線長定理可得：AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，而AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c，可求．連接OE、OD，易證OE＝CE．即直角三角形的內(nèi)切圓半徑．4．如圖所示，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在OC的延長線上，，∠D＝30°．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若AC＝6，求AD的長．【思路點撥】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠O的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據(jù)勾股定理求出AD的長即可．【答案與解析】(1)證明：連接OA，∵，∴∠B＝30°．∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切線．(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AO＝．【總結升華】證明直線是圓的切線的方法：①有半徑，證垂直；②有垂直，證半徑．舉一反三：【變式】如圖所示，半徑OA⊥OB，P是OB延長線上一點，PA交⊙O于D，過D作⊙O的切線交PO于C點，求證：PC＝CD．【答案】證明：連接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運用5．已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，求∠CDP的度數(shù).【思路點撥】連接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案與解析】解：連接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．AABCDP·OE【總結升華】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關鍵在于做好輔助線構建直角三角形，求證∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清課堂：圓的有關概念、性質(zhì)及與圓有關的位置關系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題3】6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF于點D，交AB的延長線于點C．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若DE＝4，sinC＝，求AE的長．【思路點撥】構造半徑、半弦、弦心距的直角三角形．【答案與解析】解：(1)證明：連接OE，BF，交于點G，則BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD為⊙O的切線．(2)解：∵BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四邊形DEGF為矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE＝．【總結升華】(1)通過挖掘圖形的性質(zhì)，將分散的條件sinC＝，DE＝4，集中到一個直角三角形中，使問題最終得到解決；(2)本題第(2)問還可以適當改變后進行變式訓練，如改為：若DF＝2，sinC＝，求AE的長；(3)第(2)問還可以過O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝加以解決.中考總復習：圓的有關概念、性質(zhì)與圓有關的位置關系—知識講解（提高）【考綱要求】1.圓的基本性質(zhì)和位置關系是中考考查的重點，但圓中復雜證明及兩圓位置關系中證明會有下降趨勢，不會有太復雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關系，對應用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又應用于生活．【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、圓的有關概念及性質(zhì)1．圓的有關概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．2．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點確定一個圓．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．4．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。c詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作條件時，應限制AB不能為直徑．5．圓心角、弧、弦之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等．6．圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．7.圓內(nèi)接四邊形（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角（即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角）．考點二、與圓有關的位置關系1．點和圓的位置關系設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；點P在圓內(nèi)d＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關系（1）切線的判定切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理切線長經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點詮釋：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線l經(jīng)過⊙O上的一點A；②OA⊥l．（4）三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

（5）三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.

要點詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)到三角形三個頂點的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.3．圓和圓的位置關系(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“R-r”時，要特別注意，R＞r．考點三、與圓有關的規(guī)律探究1．和圓有關的最長線段和最短線段了解和圓有關的最長線段與最短線段，對有關圓的性質(zhì)的了解極為重要，下面對有關問題進行簡單論述．(1)圓中最長的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長的弦．過圓內(nèi)一點最短的弦，是與過該點的直徑垂直的弦，如圖②，P是⊙O內(nèi)任意一點，過點P作⊙O的直徑AB，過P作弦CD⊥AB于P，則CD是過點P的最短的弦．(2)圓外一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上．如圖所示，P在⊙O外，連接PO交⊙O于A，延長PO交⊙O于B，則在點P與⊙O上各點連接的線段中，PB最長，PA最短．(3)圓內(nèi)一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段也都在過圓心的直線上．如圖所示，P為⊙O內(nèi)一點，直徑過點P，交⊙O于A、B兩點，則PB最長、PA最短．2．與三角形內(nèi)心有關的角(1)如圖所示，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC．(2)如圖所示，E是△ABC的兩外角平分線的交點，．(3)如圖所示，E是△ABC內(nèi)角與外角的平分線的交點，．(4)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點，則∠DOE＝180°－∠A．(5)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點，．(6)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點，P為上一點，則．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應用 1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過半徑OA的中點P，∠OPC＝60°，求弦BC的長．【思路點撥】要用好60°角，構造直角三角形．在圓中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦長及半徑構成直角三角形．【答案與解析】解：過O作OM⊥BC于M，連接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．【總結升華】圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關系解決有關垂徑定理的計算問題．2．如圖所示，在⊙O中，弦AB與CD相交于點M，，連接AC．(1)求證：△MAC是等腰三角形；(2)若AC為⊙O直徑，求證：AC2＝2AM·AB．【思路點撥】(1)證明∠MCA＝∠MAC；(2)證明△AOM∽△ABC．【答案與解析】證明：(1)∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)連接OM．∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【總結升華】本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：【變式】如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，則()A．B．C．D．與的大小關系無法確定【答案】解：要比較與的大小有兩種思路．(1)把的一半作出來，比較與的大??；(2)把作出來，比較與的大?。鐖D所示，作OE⊥AB，垂足為E，交于F．則，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴，即．答案A.【高清課堂：圓的有關概念、性質(zhì)及與圓有關的位置關系ID:\o"查看資源信息"412074經(jīng)典例題2】3．已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥半徑AO于D．(1)求證：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半徑．【思路點撥】過O作OE⊥AB于E，連接BO，再由垂徑定理及三角函數(shù)進行證明與求解.【答案與解析】解法一：(1)過O作OE⊥AB于E，連接BO(如圖所示)，則．又∵BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．設AD＝4k，則AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延長AO交⊙O于C′．（如圖所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′為⊙O的直徑，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴設AB＝4k，則AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【總結升華】解決圓周角的問題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉化為同弧所對圓心角的一半的角；二是將圓周角的頂點移動到使其一邊經(jīng)過圓心．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應用4．（2014秋?興化市月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求線段BE的長．【思路點撥】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得結論；（2）連接OE，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，進而可推導得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理計算出AB=10，最終算得BE的值．【答案與解析】（1）證明：∵PD為⊙O的切線，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE為等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【總結升華】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和等腰三角形的判定．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．舉一反三：【變式】（2015?畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長．【答案】（1）證明：連結OA、OD，如圖，∵D為BE的下半圓弧的中點，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．(1)判斷△DCE的形狀；(2)設⊙O的半徑為1，且，求證△DCE≌△OCB．【思路點撥】（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE為等腰三角形；

（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．【答案與解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切線，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．∴CE＝AE－AC＝＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【總結升華】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是證明△AOC是正三角形．舉一反三：【變式】如圖所示，PQ＝3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q，則AB＝________．【答案】解：連接PQ并延長交AB于E，設大圓的圓心為O，連接OA．設AB＝2x，則AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點P是AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，連接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的長及∠CMP的度數(shù)；(2)若點P在AB的延長線上運動，你認為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變化，請求出∠CMP的度數(shù)；(3)若點P在直徑BA的延長線上，PC切⊙O于點C，那么∠CMP的大小是否變化？請直接寫出你的結論．【思路點撥】（1）作輔助線，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長，可將PC的長求出；

（2）通過角之間的轉化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發(fā)生變化．【答案與解析】解:(1)連接OC，則∠OCP＝90°．∵OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴CP＝．∵PM平分∠CPA，∴．∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)設∠CPA＝α，∵PM平分∠CPA，∴∠MPA＝∠CPA．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵OA＝OC，∴∠CAP＝．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小沒有變化

∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【總結升華】解第(2)小題時，引用“設∠CPA＝α”這一方法，用代數(shù)方法計算得出結論，降低了解題的難度．本題主要考查切線的性質(zhì)及對直角三角形性質(zhì)的運用．舉一反三：【變式】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CD⊥AB于D，CD與AE相交于F．(1)求證：AC2＝AF·AE；(2)求證：AF＝CF．【答案】證明：(1)如圖所示，連接CE，延長CD交⊙O于G，連接AG．∵AB是⊙O直徑，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴AC2＝AF·AE．(2)由(1)得．又∵C是的中點，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．中考總復習：圓綜合復習—鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題

1．如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結論錯誤的是()A．弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長B．弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長C．D．∠BAC＝30°2．如圖，⊙O的直徑AB長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長為()A．7B．C．D．9第1題第2題第3題3．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝6cm，OD＝4cm，則DC的長為()A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm4．已知：⊙O的半徑為13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則AB，CD之間的距離為()A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm5．（2015?西藏）已知⊙O1與⊙O2相交，且兩圓的半徑分別為2cm和3cm，則圓心距O1O2可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm6．一個圓錐的側面展開圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是()A．1B．C．D．二、填空題7．在⊙O中直徑為4，弦AB＝，點C是圓上不同于A，B的點，那么∠ACB度數(shù)為________．8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點D是上一點，則∠D＝________．第8題第9題9．如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B＝60°，∠C＝70°，則∠BOD的度數(shù)是________度．10．若兩圓相切，圓心距是7，其中一圓的半徑為10，則另一個圓的半徑為________．11．（2015?鹽城校級模擬）如圖，將一個圓心角為120°，半徑為6cm的扇形圍成一圓錐側面（OA、OB重合），則圍成的圓錐底面半徑是cm．12．如圖，在4×4的方格紙中(共有16個小方格)，每個小方格都是邊長為1的正方形．O、A、B分別是小正方形的頂點，則扇形OAB的弧長等于________．(結果保留根號及π)三、解答題13．（2014秋?北京期末）如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥l于點D，交⊙O于點E．（1）求證：∠CAD=∠BAC；（2）若sin∠BAC=，BC=6，求DE的長．14.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1＝∠C．(1)求證：CB∥PD；(2)若BC＝3，，求⊙O的直徑．15．如圖，已知⊙O1與⊙O2都過點A，AO1是⊙O2的切線，⊙O1交O1O2于點B，連接AB并延長交⊙O2于點C，連接O2C．(1)求證：O2C⊥O1O2；(2)證明：AB·BC＝2O2B?BO1；(3)如果AB?BC＝12，O2C＝4，求AO1的長．16．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F．(1)求證：OE∥AB；(2)求證：；(3)若，求的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】∵OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°．又∵CO⊥AB，∴．又∠BOC和∠BAC分別是對的圓心角和圓周角，∴．∴D錯．2.【答案】B；【解析】連接AD，BD，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝∠ADB＝90°，故∠ACD＝∠BCD＝45°，BC＝8，AD＝BD＝．由△ACD∽△OCB，得，即CO·CD＝6×8＝48．由△DOB∽△DBC，得，即OD·CD＝．∴CO·CD+OD·CD＝(CO+OD)·CD＝CD2＝98．∴．3.【答案】D；【解析】連接AO，由垂徑定理知，所以Rt△AOD中，．所以DC＝OC-OD＝OA-OD＝5-4＝1．4.【答案】D；【解析】如圖，在Rt△OAE中，(cm)．在Rt△OCF中，(cm)．∴EF＝OF-OE＝12-5＝7(cm)．同理可求出OG＝12(cm)．∴EG＝5+12＝17(cm)．則AB，CD的距離為17cm或7cm．5.【答案】B；【解析】兩圓半徑差為1，半徑和為5，兩圓相交時，圓心距大于兩圓半徑差，且小于兩圓半徑和，所以，1＜O1O2＜5．符合條件的數(shù)只有B．6.【答案】C；【解析】圓錐底面的周長等于其側面展開圖半圓弧的長度，設圓錐底面圓的半徑為r，則，∴．二、填空題7．【答案】120°或60°；【解析】如圖，過O作OD⊥AB于D，在Rt△ODB中，OB＝2，．∴．∴∠DOB＝60°，∴∠AOB＝60°×2＝120°．如圖中點C有兩種情況：∴或．8．【答案】40°；【解析】∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°．9．【答案】100；【解析】在△ABC中，∠A＝180°-∠B-∠C＝180°-60°-70°＝50°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝50°，∴∠BOD＝∠A+∠ODA＝100°．10．【答案】3或17；【解析】顯然兩圓只能內(nèi)切，設另一圓半徑為r，則|r-10|＝7，∴r＝3或17．11.【答案】2；【解析】設此圓錐的底面半徑為r，根據(jù)圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，2πr=，r=2cm．故答案為2．12．【答案】；【解析】∠AOB＝45°+45°＝90°，OA＝．∴．三、解答題13.【答案與解析】（1）證明：連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，即∠CAD=∠BAC．（2）過點B作BF⊥l于點F，連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，又AD⊥l于點D，∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°，∴四邊形DEBF是矩形，∴DE=BF．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD．∵∠CAD=∠BAC，∴∠BCF=∠BAC．在Rt△BCF中，BC=6，sin∠BCF==sin∠BAC=，∴BF==，∴DE=BF=．14.【答案與解析】(1)證明：∵，∴∠BCD＝∠P．又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P．∴CB∥PD．(2)解：連接AC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．又∵CD⊥AB，∴．∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP．在Rt△ABC中，，∵，∴．又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直徑為5．15.【答案與解析】(1)證明：∵AO1是⊙O2的切線，∴O1A⊥AO2，∴∠O2AB+∠BAO1＝90°．又O2A＝O2C，O1A＝O1B，∴∠O2CB＝∠O2AB，∠O2BC＝∠ABO1＝∠BAO1．∴∠O2CB+∠O2BC＝∠O2AB+∠BAO1＝90°．∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2．(2)證明：延長O2O1，交⊙O1于點D，連接AD．∵BD是⊙O1的直徑，∴∠BAD＝90°．又由(1)可知∠BO2C＝90°，∴∠BAD＝∠BO2C，又∠ABD＝∠O2BC，∴．∴AB·BC＝O2B·BD．又BD＝2BO1，∴AB·BC＝2O2B·BO1．(3)解：由(2)證可知∠D＝∠C＝∠O2AB，即∠D＝∠O2AB．又∠AO2B＝∠DO2A，∴△AO2B∽△DO2A．∴，∴．∵，∴．①又由(2)AB·BC＝O2B·BD．②由①－②得，即．∴O2B＝2，又O2B·BD＝AB·BC＝12，∴BD＝6．∴2AO1＝BD＝6，∴AO1＝3．16.【答案與解析】(1)證明：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠B＝∠C．∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C．∴∠B＝∠OEC．∴OE∥AB．(2)證明：連接OF，如圖．∵⊙O與AB切于點F，∴OF⊥AB．∵EH⊥AB，∴OF∥EH．又∵OE∥AB，∴四邊形OEHF為平行四邊形．∴EH＝OF．∵，∴．(3)解：連接DE，如圖．∵CD是直徑，∴∠DEC＝90°．∴∠DEC＝∠EHB．又∵∠B＝∠C，∴△EHB∽△DEC．∴．∵，設BH＝k，∴BE＝4k，，∴．∴．中考總復習：圓綜合復習—鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題

1．（2015?楊浦區(qū)三模）已知半徑分別是3和5的兩個圓沒有公共點，那么這兩個圓的圓心距d的取值范圍是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝()A．B．C．D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是()A．相離B．相切C．相交D．相切或相交第2題第3題第5題4．已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長為3，若圓O2上的點A滿足AO1＝3，則圓O1與圓O2的位置關系是()A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內(nèi)含D．相切或內(nèi)含5．如圖所示，在圓O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為()A．19B．16C．18D．206．如圖，MN是半徑為0.5的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為()A．B．C．1D．2二、填空題7．如圖，分別以A，B為圓心，線段AB的長為半徑的兩個圓相交于C，D兩點，則∠CAD的度數(shù)為_______．8．如圖，現(xiàn)有圓心角為90°的一個扇形紙片，該扇形的半徑是50cm．小紅同學為了在圣誕節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那么被剪去的扇形紙片的圓心角應該是________度．第7題第8題第9題9．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，與關于點O中心對稱，則AB、BC、、所圍成的面積是________cm2．10．如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長為________cm．11．將半徑為4cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內(nèi)接一個圓柱(如圖所示)，當圓柱的側面的面積最大時，圓柱的底面半徑是________cm．第10題第11題12．（2015?安徽模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：①∠BOC=90°+∠A；②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；③設OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位線．其中正確的結論是．三、解答題13．（2015?滕州市校級模擬）如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上．（1）證明：BC是⊙O的切線；（2）若DC=4，AC=6，求圓心O到AD的距離；（3）若，求的值．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．(1)若BE是△DEC外接圓的切線，求∠C的大??；(2)當AB＝1，BC＝2時，求△DEC外接圓的半徑．15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．(1)證明：AF平分∠BAC；(2)證明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的長．16.如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于D，BD＝2PA．(1)證明：直線PB是⊙O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關系，并加以證明；(3)求sin∠OPA的值．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】沒有公共點的兩個圓的位置關系，應該是內(nèi)含和外離，當內(nèi)含時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＜R﹣r，即d＜2；當外離時，這兩個圓的圓心距d的取值范圍是d＞R+r，即d＞8．故選D．2.【答案】A；【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別是E，F(xiàn)，連接BD，則AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，設AE＝x，則AD＝2+2x．由△ABE∽△ADB可得，即，解得．∴AD＝2+2x＝1+，則．3.【答案】B；【解析】如圖，過C作CD⊥AB于D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴CD＝BC＝(cm)．又⊙C的半徑為2cm，∴d＝r．∴直線AB與⊙C相似．4.【答案】A；【解析】因為AO1＝3，所以點A在圓O1上，又因為點A在圓O2上，所以圓O1與圓O2的位置關系是相交或相切．5.【答案】D；【解析】延長AO交BC于D點，過O作OE⊥BD于E．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°．∴△DAB是等邊三角形，BD＝AB＝12．在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，∴DE＝OD·cos60°＝，∴BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．6.【答案】A