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上海民辦日日學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)均與相切,則該雙曲線(xiàn)離心率等于 A. B. C. D.參考答案:A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心坐標(biāo)為,半徑,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為,不妨取,即,因?yàn)闈u近線(xiàn)與圓相切,所以圓心到直線(xiàn)的距離,即,所以,,即,所以,選A.2.方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是
(
)
A.3
B.2
C.1
D.0參考答案:B略3.已知拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,且l與x軸交于點(diǎn)E,A是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),AB⊥l,垂足為B,|AF|=,則四邊形ABEF的面積等于()A.19 B.38 C.18 D.36參考答案:A【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,求出A的坐標(biāo),而四邊形ABEF為直角梯形,直角梯形的面積可求.【解答】解:∵拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,∴F(,1),準(zhǔn)線(xiàn)l為x=﹣,∴|EF|=1,|AB|=|AF|,設(shè)A(x0,y0),∴|AB|=x0+,∵|AF|=,∴x0+=,解得x0=8,∴y02=2x0=16,∴|y0|=4,∴|BE|=|y0|=4,∴S四邊形ABEF=(|EF|+|AB|)×|BE|=(1+)×4=19,故選:A4.“a=1”是“復(fù)數(shù)(,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)”的(
)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:C略5.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示是……(
)..
.
.
參考答案:B如圖,直線(xiàn)l即是線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn),P0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即是(0,1),
其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i.選B.6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,且其側(cè)(左)視圖是一個(gè)等邊三角形,則這個(gè)幾何體的體積為(
)A. B. C.2 D.參考答案:B考點(diǎn):由三視圖求面積、體積.專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離.分析:此幾何體是底面積是S==1的三棱錐,與底面是邊長(zhǎng)為2的正方形的四棱錐構(gòu)成的組合體,它們的頂點(diǎn)相同,底面共面,高為,即可得出.解答:解:此幾何體是底面積是S==1的三棱錐,與底面是邊長(zhǎng)為2的正方形的四棱錐構(gòu)成的組合體,它們的頂點(diǎn)相同,底面共面,高為,∴V==.點(diǎn)評(píng):本題考查了三棱錐與四棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.7.過(guò)橢圓(a>b>0)左焦點(diǎn)F斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn),向量與向量a=(3,-l)共線(xiàn),則該橢圓的離心率為A.
B.
C.
D.參考答案:B8.設(shè)D,E為正三角形ABC中BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn),且,則(
)A. B. C. D.參考答案:C
9.已知直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn),則該雙曲線(xiàn)的離心率是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程可得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為:,則雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為:,據(jù)此有:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).10.已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A.
B.C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn),SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AS=AB=1,,則球O的表面積為
.參考答案:5π.【考點(diǎn)】球的體積和表面積.【分析】四面體S﹣ABC的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別SA,AB,BC三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球的半徑,由此有求出球O的表面積.【解答】解:∵SA⊥平面ABC,AB⊥BC,∴四面體S﹣ABC的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別SA,AB,BC三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球的半徑,∵SA=AB=1,BC=,∴2R==,即R=,∴球O的表面積S=4πR2=5π.故答案為:5π.12.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),且當(dāng)時(shí),,則數(shù)列,,,,…,,…的前項(xiàng)和等于_______________.參考答案:略13.已知正數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值為
,當(dāng)且僅當(dāng)
.參考答案:
試題分析:由題設(shè)可得,故,解之得,此時(shí),故應(yīng)填.考點(diǎn):二次不等式和二次方程的解法及運(yùn)用.14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,的系數(shù)是
(結(jié)果用數(shù)字作答).參考答案:415.在△ABC中,∠B=300,AC=1,,則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)____.參考答案:1或216.不等式+2x>0的解集為
{.參考答案:x|x<﹣3或x>1}【考點(diǎn)】二階矩陣;其他不等式的解法.【專(zhuān)題】矩陣和變換.【分析】由二階行列式的展開(kāi)法則,把原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+2x﹣3>0,由此能求出不等式+2x>0的解集.【解答】解:∵+2x>0,∴x2+2x﹣3>0,解得x<﹣3或x>1,∴不等式+2x>0的解集為{x|x<﹣3或x>1}.故答案為:{x|x<﹣3或x>1}.【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意二階行列式展開(kāi)法則的合理運(yùn)用.17.若非零向量,滿(mǎn)足:2=(5﹣4)?,則cos<,>的最小值為.參考答案:由題意可得?=(2+42),由向量數(shù)量積的性質(zhì):向量的平方即為模的平方,運(yùn)用基本不等式和向量的夾角公式,即可得到所求最小值.解:非零向量,滿(mǎn)足:2=(5﹣4)?,可得?=(2+42)=(||2+4||2)≥?2=||?||,即有cos<,>=≥?=,當(dāng)且僅當(dāng)||=2||,取得最小值.故答案為:.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知點(diǎn)P是圓F1:(x﹣1)2+y2=8上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),線(xiàn)段PF2的垂直平分線(xiàn)分別與PF1,PF2交于M,N兩點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)G(0,)的動(dòng)直線(xiàn)l與點(diǎn)M的軌跡C交于A,B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案:【考點(diǎn)】圓錐曲線(xiàn)的存在性問(wèn)題;軌跡方程;直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.【分析】(1)判斷軌跡方程是橢圓,然后求解即可.(2)直線(xiàn)l的方程可設(shè)為,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,通過(guò)韋達(dá)定理,假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn),利用,求得m=﹣1.推出結(jié)果即可.【解答】解:(1)由題意得,∴點(diǎn)M的軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓∵,∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為.(2)直線(xiàn)l的方程可設(shè)為,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.由求根公式化簡(jiǎn)整理得,假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn),則即.∵,===.∴求得m=﹣1.因此,在y軸上存在定點(diǎn)Q(0,﹣1),使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn).19.已知數(shù)列{an}中,有an+1=an+4,且a1+a4=14. (1)求{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn; (2)令bn=,若{bn}是等差數(shù)列,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn. 參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式. 【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列. 【分析】(1)由an+1=an+4可知數(shù)列{an}是以4為公差的等差數(shù)列,再由a1+a4=14求得a1=1然后直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式求解; (2)由bn==,且{bn}是等差數(shù)列列式求得k的值.然后分k=0和k=﹣利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn. 【解答】解:(1)由an+1=an+4,得an+1﹣an=4,可知數(shù)列{an}是以4為公差的等差數(shù)列, 又a1+a4=14,得2a1+3×4=14,解得a1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+4(n﹣1)=4n﹣3. ; (2)由bn==,且{bn}是等差數(shù)列,得2b2=b1+b3, 即,解得:k=0或k=﹣. 當(dāng)k=0時(shí),,=, ∴=; 當(dāng)k=﹣時(shí),,=, ∴=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列額前n項(xiàng)和,是中檔題. 20.(14分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、,是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足,點(diǎn)P是線(xiàn)段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線(xiàn)段上,并且滿(mǎn)足.(Ⅰ)設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),證明;(Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡C的方程;(Ⅲ)試問(wèn):在點(diǎn)T的軌跡C上,是否存在點(diǎn)M,使△的面積.若存在,求∠的正切值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案:解析:(Ⅰ)證法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上,得由,所以
……3分證法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由,得.證法三:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)方程為
由橢圓第二定義得,即
由,所以
……3分
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(-,0)在軌跡上.當(dāng)|時(shí),由,得.又,所以T為線(xiàn)段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中,,所以有綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是
……7分
解法二:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(-,0)在軌跡上.
當(dāng)|時(shí),由,得.
又,所以T為線(xiàn)段F2Q的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(),則
因此
①
由得
②
將①代入②,可得
綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是
……7分③④
(Ⅲ)解法一:C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是
由③得,由④得所以,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;
當(dāng)時(shí),不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.
……11分
當(dāng)時(shí),,
由,
,
,得解法二:C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是③④
由④得
上式代入③得
于是,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;
當(dāng)時(shí),不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.
……11分
當(dāng)時(shí),記,
由知,所以
……14分21.(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和(n為正整數(shù))。(I)令,求證數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令,,求并證明:<3.參考答案:(Ⅰ)在中,令n=1,可得,即..............1當(dāng)時(shí),,...............................................4......................................................5
...........................................................6又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.............................................7于是...........................................9(II)由(I)得,所以……….10由①-②得
所以………………1422.△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2bcosC+c=2a.(1)求角B的大小;(2)若BD為AC邊上的中線(xiàn),cosA=,BD=,求△ABC的面積.參考答案:【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.【專(zhuān)題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;解三角形.【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知表達(dá)式,求出B的值即可.(2)先根據(jù)兩角和差的正弦公式求出sinC,再根據(jù)正弦定理得到b,c的關(guān)系,再利用余弦定理可求b,c的值,再由三角形面積公式可求結(jié)果;【解答】解:(1)∵2bcosC+c=2a.由正弦定理可知:2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B
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