材料力學(I)第4章

材料力學(I)第4章§4-5梁橫截面上的切應力·梁的切應力強度條件§4-6梁的合理設計§I-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式·組合截面的慣性矩和慣性積3§4-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖I.關于彎曲的概念

受力特點：桿件在包含其軸線的縱向平面內，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。

變形特點：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。梁——以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。4彎曲變形動畫演示5工程實例6

對稱彎曲——外力作用于梁的縱向對稱面內,因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內的平面曲線。

非對稱彎曲——梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。7本章討論對稱彎曲時梁的內力和應力。對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。8II.梁的計算簡圖對于對稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對稱面內的平面力系，故在計算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。這里加“通?！倍质且驗楹喼Я涸谒矫鎯葘ΨQ彎曲時不能用軸線代表梁。F9(1)支座的基本形式1.固定端——實例如圖a，計算簡圖如圖b,c。102.固定鉸支座——實例如圖中左邊的支座，計算簡圖如圖b、e。3.可動鉸支座——實例如圖a中右邊的支座，計算簡圖如圖c、f。11(2)梁的基本形式(三種)簡支梁外伸梁懸臂梁12在豎直荷載作用下，圖a、b、c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3)靜定梁和超靜定梁圖d、e所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。13§4-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖I.梁的剪力和彎矩(shearingforceandbendingmoment)圖a所示跨度為l的簡支梁其約束力為梁的左段內任一橫截面m-m上的內力，由m-m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：14它們的指向和轉向如圖b中所示。顯然這些內力是m-m右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。故根據(jù)作用與反作用原理，m-m左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應與上式所示相同，但指向和轉向相反。這一點也可由m-m右邊分離體的平衡條件加以檢驗：15從而有16梁的橫截面上位于橫截面內的內力FS是與橫截面左右兩側的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內的內力偶矩是與梁的彎曲相對應，故稱為彎矩。17為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負號相同，剪力和彎矩的正負號要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定。18綜上所述可知：

(1)橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側或右側梁段上外力的代數(shù)和。左側梁段上向上的外力或右側梁段上向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負值的剪力。

(2)橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側或右側梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。(a)不論在左側梁段上或右側梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負值的彎矩。19(b)截面左側梁段上順時針轉向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉向的外力偶則引起負值的彎矩；截面右側梁段上的外力偶引起的彎矩其正負與之相反。20II.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。21下圖所示懸臂梁受集度為q的均布荷載作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。示例221.列剪力方程和彎矩方程由分離體（圖b）的平衡，得剪力方程和彎矩方程分別為(b)FS(x)M(x)解:示例232.

作剪力圖和彎矩圖由(1)式可知FS圖為斜直線，由x=0，F(xiàn)S=0；x=l，F(xiàn)S=ql可畫出FS圖如圖c所示。由(2)式可知，M圖為二次拋物線，由x=0，M=0；x=l/2，M=-ql2/8；x=l，M=-ql2/2可畫出M圖如圖d所示

(c)(d)

示例24按照習慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁的受拉側)。

(c)(d)

示例25

由圖可見，該梁橫截面上的最大剪力為:FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)為:,它們都發(fā)生在固定端右側橫截面上。

(c)(d)

示例26圖a所示簡支梁受集度為q的均布荷載作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例題4-2271.求約束力例題4-22.列剪力方程和彎矩方程由分離體（圖b）的平衡，得FS(x)M(x)(b)283.作剪力圖和彎矩圖由(1)式可知，F(xiàn)S圖為斜直線，由x=0，x=l的FS值可畫出FS圖。由(2)式可知，M圖為二次拋物線，由x=0，l/4，l/2，的M值可畫出M圖。例題4-229由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為，發(fā)生在兩個支座各自的內側橫截面上；最大彎矩其值為發(fā)生在跨中橫截面上。例題4-230圖a所示簡支梁受集中荷載F作用。寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例題4-3F311.列剪力方程和彎矩方程AC和CB兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。求約束力為例題4-3解:F32AC段梁例題4-333CB段梁FS(x)M(x)例題4-3342.作剪力圖和彎矩圖由(1)和(3)式可見FS圖為平行于x軸的水平線，如圖b所示例題4-335由(2)和(4)式可見M圖為斜直線如圖c所示例題4-336由圖b和圖c可見，在b>a的情況下，例題4-337在集中力F作用（C截面）處，其左、右兩側的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于F，即其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力F視為作用在Dx段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖d）。例題4-338圖a所示簡支梁，在C截面受集中力偶矩Me作用。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作梁的剪力圖和彎矩圖。例題4-4391.求約束力例題4-4解:2.列剪力方程和彎矩方程由分離體圖可見，作用于AC段和BC段上的集中力相同，從而兩段梁的剪力方程相同，即40至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：例題4-441CB段梁：例題4-4423.作剪力圖和彎矩圖由FS，M方程畫出FS圖和M圖，分別如(b)，(c)所示例題4-443由圖b和圖c可見，梁的所有橫截面上的剪力相同，均為FS=Me/l。在b>a的情況下，C截面右側(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大，且值為Mmax=Meb/l。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，也是因為集中力偶實際上只是作用在微范圍內的分布力偶的簡化。例題4-444思考1：一簡支梁受移動荷載F作用，如上圖所示。試問：(a)此梁橫截面上的最大彎矩是否一定在移動荷載作用處？為什么？(b)荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。45思考2：對于圖示帶中間鉸C的梁，試問：

(a)如果分別在中間鉸左側和右側作用有向下的同樣的集中力F，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？

(b)如果分別在中間鉸左側和右側作用有同樣大小且同為順時針的力偶矩Me的力偶，這兩種情況下梁的剪力圖和彎矩圖是否相同？C46思考3：根據(jù)對稱性與反對稱性判斷下列說法是否正確。結構對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為反對稱；結構對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱。47III.彎矩、剪力與荷載集度之間的關系及其應用M(x),FS(x)與q(x)間微分關系的導出從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。48從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項，即得49應用這些關系時需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負值。由以上兩個微分關系式又可得50常見荷載下FS，M圖的一些特征或51若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。

集中力作用處集中力偶作用處52

總口訣一分二定三連線，注意正負和突變。彎矩斜率是剪力，形狀大小多檢驗。

剪力圖

彎矩圖無荷區(qū)間水平線，無荷區(qū)間直線行，均布荷載斜率現(xiàn)。均布荷載拋物線。力偶似乎不管用，力偶作用要突變，集中力處有突變。集中力處是尖點。53利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：(1)求支座約束力；(2)分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；(3)求控制截面內力，根據(jù)微分關系繪剪力圖和彎矩圖；(4)確定|FS|max和|M|max。54一簡支梁在其中間部分受集度為

q=100kN/m的均布荷載作用，如圖a所示。試利用彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。例題4-7（修改）x(b)+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq(a)+100150100xMM圖（kN·m）(c)55該梁的荷載及約束均與跨中對稱，可得約束反力FA和FB為1.

校核剪力圖yFAFBABCDE2m1m4mq(a)解:例題4-7（修改）56AC段和DB段內無荷載作用，該兩段的剪力圖均為水平線。其剪力值分別為+-100kN100kNFSxFS

圖(b)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例題4-7（修改）57CD段內有向下（負值）的均布荷載作用，該段的剪力圖為向右下方傾斜的斜直線?？梢妶Db所示剪力圖是正確的。+-100kN100kNFSxFS

圖(b)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例題4-7（修改）58因為AC和DB段內無分布荷載作用所以該兩段的彎矩圖均為斜直線?？刂泣c的彎矩分別為MA=0，MC=(100kN)(1m)=100kN·m；2.校核彎矩圖+100150100xMM圖（kN·m）(c)MB=0，MD=100kN·m；yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例題4-7（修改）59因為CD段內有向下的均布荷載作用，其彎矩圖為下凸的二次拋物線。由FS圖并根據(jù)對稱關系可知，梁跨的中央截面即x=2m處的FS=0，該處M有極值，其值為可見圖示的彎矩是正確的。+100150100xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq例題4-7（修改）60已知：圖中梁的約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯誤。正確答案：61圖中梁的約束力為正確答案：62圖中梁的約束力為正確答案：63IV.按疊加原理作彎矩圖64(1)在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進行計算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為65這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨作用時(圖b和圖c)相應內力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也可以利用疊加的方法作出。66(2)疊加原理當所求參數(shù)(約束力、內力、應力或位移)與梁上(或結構上)荷載成線性關系時，由幾項荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。67(3)示例圖a所示受滿布均布荷載q并在自由端受集中荷載F=ql/4作用的懸臂梁，其剪力圖和彎矩圖顯然就是圖b和圖c所示，該梁分別受集中荷載F和滿布均布荷載q作用時兩個剪力圖和兩個彎矩圖的疊加。F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)68○-﹢○﹢○○-F﹢○﹢○F○-○-F(a)F=ql/4(b)(c)69圖d為直接將圖b和圖c中兩個彎矩圖疊加后的圖形，將圖中斜直線作為彎矩圖的水平坐標軸時，它就是圖a的彎矩圖?！?○-﹢○○-(d)(c)70作剪力圖時雖然(如上所示)也可應用疊加原理，但由于梁上通常無集度變化的分布荷載，而剪力圖由直線段組成，作圖比較簡單，故往往只說按疊加原理作彎矩圖。由圖a可見，該梁橫截面上的最大剪力為(負值),最大彎矩為(負值)，而極值彎矩并非最大彎矩?！?﹢○﹢○○-FF(a)71§4-3平面剛架和曲桿的內力圖I.平面剛架

平面剛架——由同一平面內不同取向的桿件相互間剛性連接的結構。平面剛架桿件的內力——當荷載作用于剛架所在的平面內時，桿件橫截面上的內力除剪力和彎矩外，還會有軸力。72作剛架內力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習慣上按下列約定：彎矩圖，畫在各桿的受拉一側，不注明正、負號；剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側（通常正值畫在剛架外側），但須注明正負號；剪力和軸力的正負號仍與前述規(guī)定相同。73試作圖a所示剛架的內力圖。例題4-11741.列各桿的內力方程CB桿(0≤x≤a)(桿的外側受拉)BA桿(0≤x1≤a)(桿的外側受拉)例題4-11解:752.繪內力圖繪內力圖時，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側，但需注明正負號；彎矩圖則畫在桿件的受拉一側。不需注明正負號。由內力方程分別畫出FN，F(xiàn)S，M圖。如圖b、c、d所示。例題4-1176取剛性結點B為分離體如圖e所示。當結點B處無集中力偶作用時，由平衡條件可以判定，AB桿的B截面和BC桿的B截面的彎矩值必相等，并且同為桿的外側受拉。2.也可以用簡易法畫FS圖和M圖。BC和BA段內均無分布荷載作用，其FS圖均為與桿軸線平行的直線，M圖均為斜直線，再計算出相應的控制點的坐標，即可畫出FS圖和M圖。BF1F1aF1aF1(e)例題4-1177思考：能根據(jù)概念繪出圖示平面剛架(框架)的內力圖嗎？78II.平面曲桿（例題4-12）平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當荷載作用于曲桿所在平面內時，其橫截面上的內力除剪力和彎矩外也會有軸力。79圖a所示A端固定的半圓環(huán)在B端受集中荷載F作用時，其任意橫截面m-m上的內力有以上方程即內力方程。根據(jù)內力方程將內力值在與q相應的徑向線上繪出，即可得到內力圖，如圖b，圖c及圖d。80(d)

FS

圖+○-○+(c)

FN圖81§4-4梁橫截面上的正應力·梁的正應力強度條件純彎曲(purebending)━━梁或梁上的某段內各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應的正應力。82橫力彎曲(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應地，橫截面既有正應力又有切應力。83I.純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式的推導(1)幾何方面━━找出與橫截面上正應力相對應的縱向線應變在該橫截面范圍內的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：84彎曲變形動畫851.彎曲前畫在梁的側面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；862.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。87根據(jù)表面變形情況，并設想梁的側面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側表面的交線，可作出如下推論(假設)：平面假設梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉動，轉動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設已為彈性力學的理論分析結果所證實。88橫截面的轉動使梁凹入一側的縱向線縮短，凸出一側的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向面只彎曲而長度沒有任何改變的中性層(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉動的軸━━中性軸(neutralaxis)。89令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義有縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉動了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應變由圖c可知為90即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應變e與該點至中性軸的距離y成正比。彎曲變形動畫91小變形時純彎曲情況下可假設梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內各點均處于單軸應力狀態(tài)。(2)物理方面━━藉以由縱向線應變在橫截面范圍內的變化規(guī)律找出橫截面上正應力的變化規(guī)律。梁的材料在線彈性范圍內工作，且拉、壓彈性模量相同時，有這表明，直梁的橫截面上的正應力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M92(3)靜力學方面━━藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應力的計算公式。梁的橫截面上與正應力相應的法向內力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內的軸)的內力偶矩()，只能組成對于中性軸z的內力偶矩，即93將代入上述三個靜力學條件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質，而其中94為截面對于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其單位為m3。為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。為截面對于z軸的慣性矩(momentofineritiaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。95由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸z通過橫截面的形心；2.橫截面對于y軸和z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)96由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內的那根軸線將彎成圓弧。將上式代入得出的式子即得彎曲正應力計算公式：(c)97

應用此式時，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標系來定義式中y的正負，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負的情況下，所得正應力的正負自動表示拉應力或壓應力。但實際應用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉向及求正應力之點在中性軸的哪一側來判別彎曲正應力為拉應力還是壓應力；在此情況下可以把式中的y看作求應力的點離中性軸z的距離。98中性軸z為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)99中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質，稱為彎曲截面系數(shù)(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo100中性軸z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為101簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)(1)矩形截面102思考:一長邊寬度為b，高為h的平行四邊形，它對于形心軸z的慣性矩是否也是？103(2)圓截面在等直圓桿扭轉問題(§3-4)中已求得：zoyyzdA而由圖可見，ρ2=y2+z2,

從而知104而彎曲截面系數(shù)為根據(jù)對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是有zoyyzdA105(3)空心圓截面由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD106根據(jù)對稱性可知：思考：空心圓截面對形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為dOyzD107型鋼截面及其幾何性質：參見型鋼表需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸實際上是教材中所標示的z軸。108II.純彎曲理論的推廣工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。但彈性力學的分析結果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當其跨長與截面高度之比l/h大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應力其誤差不超過1%，故在工程應用中就將純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，即109圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應力sa。例題4-131101.

在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為例題4-13解:111由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應力為例題4-13112

該點處的正應力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：例題4-13113顯然，梁的自重引起的最大正應力僅為而危險截面上的最大正應力變?yōu)檫h小于外加荷載F所引起的最大正應力。如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應的最大彎矩值變?yōu)槔}4-13114III.梁的正應力強度條件等直梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應力可以忽略不計。因此可以認為梁的危險截面上最大正應力所在各點系處于單軸應力狀態(tài)。于是可按單向應力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應力強度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應力。115對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作由拉、壓許用應力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應力st,max和最大工作壓應力sc,max分別達到(或接近)材料的許用拉應力[st]和許用壓應力[sc]。116圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的型號。示例117畫M圖，并確定Mmax。彎矩圖如圖c所示解:示例118強度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為2.求Wz，選擇工字鋼型號示例119圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位置，如圖b所示。已知橫截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。鑄鐵的許用拉應力[st]=30MPa，許用壓應力[sc]=90MPa。試求梁的許用荷載[F]。例題4-16120鑄鐵的拉壓強度不等，其強度條件為st,max≤[st]

，sc,max≤[sc]。由M圖可知，B、C截面上正應力的分布規(guī)律如圖d所示。B、C截面上的最大拉應力分別為，?？梢娙旱淖畲罄瓚椤ｏ@然。86134C截面D截面(d)例題4-16解:1211.由st,max≤[st]確定[F]。F1≤19200N=19.2kN例題4-16122F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤[sc]確定[F]。[F]=19.2kN，可見梁的強度由拉應力確定。例題4-16123該題的st,max和最大壓應力均發(fā)生在B截面處，當

st,max=[st]時，，而[sc]=3[st]。可見，當st,max=[st]，sc,max<[sc],所以該題由拉應力強度控制，僅需由st,max≤[st]求[F]即可。例題4-16124§4-5梁橫截面上的切應力·梁的切應力強度條件I.梁橫截面上的切應力1.矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。hbzyO125由于m-m和n-n上的彎矩不相等，故兩截面上對應點處的彎曲正應力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個端面mm'A1A上與正應力對應的法向內力F*N1和F*N1也不相等。126它們分別為式中，為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。127即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內力dF'S(圖b)：128為確定離中性軸z為y的這個縱截面上與切向內力dF'S對應的切應力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應力t的情況：1291.由于梁的側面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側表面的一部分)，其上無切應力，故根據(jù)切應力互等定理可知，橫截面上側邊處的切應力必與側邊平行；2.對稱彎曲時，對稱軸y處的切應力必沿y軸方向，亦即與側邊平行。130從而對于狹長矩形截面可以假設：1.橫截面上各點處的切應力均與側邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠處的切應力大小相等。zyy131于是根據(jù)切應力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點的切應力t

‘均與橫截面正交，且大小相等。而t'在dx長度內可以認為沒有變化。這也就是認為，縱截面AA1B1B上的切應力t'在該縱截面范圍內是沒有變化的。于是有132根據(jù)切應力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應力t

必與t

'互等，從而亦有以上式代入前已得出的式子得133矩形截面梁橫力彎曲時切應力計算公式式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz為整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應力t

的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩，。上式就是矩形截面等直梁在對稱彎曲時橫截面上任一點處切應力的計算公式。zyy134橫截面上切應力的變化規(guī)律

前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠處各點處的切應力大小相等?，F(xiàn)在分析橫截面上切應力t

在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。上述切應力計算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t

沿截面高度(即隨坐標y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標y之間的關系確定。135bhdy1yyzOy1136可見：1.t

沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；2.同一橫截面上的最大切應力tmax在中性軸處(y=0):1372.

工字形截面梁(1)腹板上的切應力其中138可見腹板上的切應力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。139(2)在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：140

對于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內。141(3)翼緣上的切應力

翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應力在其上、下邊緣處為零(因為翼緣的上、下表面無切應力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔了整個橫截面上剪力FS的90%以上。142

但是，如果從長為dx的梁段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內的分離體就會發(fā)現(xiàn)，由于橫力彎曲情況下梁的相鄰橫截面上的彎矩不相等，故所示分離體前后兩個同樣大小的部分橫截面上彎曲正應力構成的合力

和

不相等，因而鉛垂的縱截面上必有由切應力t1′構成的合力udx

A*自由邊143根據(jù)可得出

從而由切應力互等定理可知，翼緣橫截面上距自由邊為u處有平行于翼緣橫截面邊長的切應力t1，而且它是隨u按線性規(guī)律變化的。udx

A*自由邊144思考題:試通過分析說明，圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應力指向是正確的，即它們構成了“切應力流”。1453.薄壁環(huán)形截面梁薄壁環(huán)形截面梁在豎直平面內彎曲時，其橫截面上切應力的特征如圖a所示：(1)由于d<<r0，故認為切應力t

的大小和方向沿壁厚d

無變化；(2)由于梁的內、外壁上無切應力，故根據(jù)切應力互等定理知，橫截面上切應力的方向與圓周相切；146(3)根據(jù)與y軸的對稱關系可知：

(a)橫截面上與y軸相交的各點處切應力為零；(b)y軸兩側各點處的切應力其大小及指向均與y軸對稱。147薄壁環(huán)形截面梁橫截面上的最大切應力tmax在中性軸z上，半個環(huán)形截面的面積A*=pr0d，其形心離中性軸的距離(圖b)為，故求tmax時有148及得出：整個環(huán)形截面對于中性軸z的慣性矩Iz可利用整個截面對于圓心O的極慣性矩得到，如下：149從而有式中，A=2pr0d為整個環(huán)形截面的面積。1504圓截面梁圓截面梁在豎直平面內彎曲時,其橫截面上切應力的特征如圖a所示：認為離中性軸z為任意距離y的水平直線kk‘上各點處的切應力均匯交于k點和k'點處切線的交點O'，且這些切應力沿y方向的分量ty相等。因此可先利用公式求出kk'上各點的切應力豎向分量ty，然后求出各點處各自的切應力。151圓截面梁橫截面上的最大切應力tmax在中性軸z處，其計算公式為152由56a號工字鋼制成的簡支梁如圖a所示，試求梁的橫截面上的最大切應力tmax和同一橫截面上腹板上a點處(圖b)的切應力ta

。不計梁的自重。例題4-17153求tmax

梁的剪力圖如圖c所示，由圖可見FS,max=75kN。由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例題4-17解:154例題4-17155其中：于是有：2.求ta例題4-17156腹板上切應力沿高度的變化規(guī)律如圖所示。tmax例題4-17157II.梁的切應力強度條件圖a所示受滿布均布荷載的簡支梁，其最大彎矩所在跨中截面上、下邊緣上的C點和D點處于單軸應力狀態(tài)(stateofuniaxialstress)(圖d及圖e)，故根據(jù)這些點對該梁進行強度計算時其強度條件就是按單軸應力狀態(tài)建立的正應力強度條件158該梁最大剪力所在兩個支座截面的中性軸上E和F點，通常略去約束力產生的擠壓應力而認為其處于純剪切應力狀態(tài)

(shearingstateofstress)(圖f及圖g)，從而其切應力強度條件是按純剪切應力狀態(tài)建立的，即梁的切應力強度條件為亦即式中，[t]為材料在橫力彎曲時的許用切應力。159梁在荷載作用下，必須同時滿足正應力強度條件和切應力強度條件。在選擇梁的截面尺寸時，通常先按正應力強度條件定出截面尺寸，再按切應力強度條件校核。160圖a所示梁，其既有剪力又有彎矩的橫截面m-m上任意點G和H處于如圖h及圖i所示的平面應力狀態(tài)(stateofplanestress)。161需要指出，對于工字鋼梁如果同一橫截面上的彎矩和剪力都是最大的(圖a、b、c)(或分別接近各自的最大值)則該截面上腹板與翼緣交界點處由于正應力和切應力均相當大(圖d)，因此處于平面應力狀態(tài)(圖e)。這樣的點必須進行強度校核。162但要注意，這時不能分別按正應力和切應力進行強度校核，而必須考慮兩種應力的共同作用，見第七章中例題7-7。163此外，在最大彎矩所在的橫截面上還有剪力的情況，工字鋼翼緣上存在平行于翼緣橫截面邊長的切應力，因此最大彎曲正應力所在點處也還有切應力，這些點事實上處于平面應力狀態(tài)，只是在工程計算中對于它們通常仍應用按單軸應力狀態(tài)建立的強度條件。164一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長

l=5m。吊車大梁由20a號工字鋼制成，許用彎曲正應力[s]=170MPa，許用切應力[t]=100MPa。試校核梁的強度。示例1651.校核正應力強度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。荷載移至跨中C截面處(圖b)時梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時的彎矩圖如圖c所示，解:示例166

由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應力為示例1672.校核切應力強度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時梁的剪力為最大。此時的約束力FA≈F，相應的剪力圖如圖e所示。FS,max=FA=30kN對于20a號鋼，由型鋼規(guī)格表查得：示例168于是有由于梁的正應力和切應力強度條件均能滿足，所以該梁是安全的。(e)示例169簡支梁在移動荷載F作用下，全梁彎矩為最大時，F(xiàn)力的最不利位置，可用如上所述的由經驗來判斷。也可用公式推導，即FAABFFBxl示例170§4-6梁的合理設計

171172II.合理選取截面形狀(1)盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。由四根100mm×80mm×10mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長肢均平放，故四種截面的高度均為160mm)，他們在豎直平面內彎曲時橫截面對于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：173圖a所示截面圖b所示截面圖c所示截面圖d所示截面174(2)對于由拉伸和壓縮許用應力值相等的材料(例如建筑用鋼)制成的梁，其橫截面應以中性軸為對稱軸。對于在壓縮強度遠高于拉伸強度的材料(例如鑄鐵)制成的梁，宜采用T形等對中性軸不對稱的截面，并將其翼緣置于受拉一側，如下圖。dzyO(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyO(a)175為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為因即176III.合理設計梁的外形可將梁的截面高度設計成考慮各截面彎矩大小變化的變截面梁；若使梁的各橫截面上的最大正應力都相等，并均達到材料的許用應力，則這種變截面梁稱為等強度梁。177§I-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式·組合截面的慣性矩和慣性積工程中常遇到由基本圖形構成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當對組合截面桿件計算在外力作用下的應