【構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解薛定諤方程綜述2400字】

構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解薛定諤方程綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u13386構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解薛定諤方程綜述 18811（一）機(jī)器學(xué)習(xí)求解二維諧振子勢 111888（二）機(jī)器學(xué)習(xí)求解二維庫倫勢 28023（三）嘗試氫原子解的檢驗(yàn) 31324然后我們進(jìn)行分離變量 3958所以我們應(yīng)用下列矩陣表示二階微分算子 3（一）機(jī)器學(xué)習(xí)求解二維諧振子勢 在可以用矩陣對角化方法求解二維諧振子勢后，我們可以對若干隨機(jī)取參數(shù)的二維諧振子勢求解來獲得若干組勢場及其對應(yīng)能量的數(shù)據(jù)（這一過程的代碼見附錄B）。在保障訓(xùn)練數(shù)據(jù)獲取之后，我們就可以開始構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 我們將使用一系列由簡化卷積層和非簡化卷積層（是否簡化取決于卷積核之間的步長）組成的重復(fù)“模塊”，這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由簡化-非簡化-非簡化的重復(fù)模塊組成，最后這些層反饋給兩個(gè)全連接層[6]。這里我們給出一些參數(shù)：對于簡化卷積層，我們采用的卷積核大小為3×3，設(shè)置步長為2；對于非簡化卷積層，我們采用的卷積核大小為4×4，設(shè)置步長為1。這兩種卷積層都采用線性整流函數(shù)（ReLU）作為激勵(lì)函數(shù)。最后一個(gè)卷積層會(huì)反饋到一個(gè)關(guān)聯(lián)線性整流函數(shù)的寬度為1024的全連接層，這一全連接層再反饋到最終的一個(gè)全連接層，給出一個(gè)單一輸出結(jié)果，這一輸出結(jié)果正是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值，將被用來計(jì)算真實(shí)解和預(yù)測解之間的均方誤差，以此來表示卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損耗。 這樣我們就構(gòu)建出了我們所需的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后我們輸入一組L=64的包含有50000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集，其中40000組數(shù)據(jù)用以訓(xùn)練，余下10000組用來測試結(jié)果的準(zhǔn)確性。對于訓(xùn)練數(shù)據(jù)，采用學(xué)習(xí)效率為0.00001時(shí)，當(dāng)我們對所有訓(xùn)練實(shí)例遍歷1000次后，發(fā)現(xiàn)損耗不再顯著降低，為節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，因此設(shè)置對訓(xùn)練數(shù)據(jù)遍歷1000次。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練完成之后，對測試集數(shù)據(jù)進(jìn)行分批迭代（分批迭代是考慮到GPU內(nèi)存可能不足），然后計(jì)算真實(shí)解和預(yù)測解的絕對中位差，可以得出下圖結(jié)果（以上過程代碼見附錄C）：圖4對二維諧振子勢數(shù)據(jù)訓(xùn)練后預(yù)測解和真實(shí)解對比及其絕對中位差 從上圖可以看出，預(yù)測解和真實(shí)解是比較符合的，為了更直觀地反映預(yù)測解和真實(shí)解之間的誤差，我們抽取部分結(jié)果列表進(jìn)行比對，如下表所示。ωω真實(shí)解預(yù)測解誤差0.2842890.2602070.272130.270980.423%0.0679640.2958080.181820.181510.170%0.2972100.4616330.379190.378630.148%0.1284920.0911070.109780.110240.419%0.2292420.2538310.241450.240950.207%0.3820700.4230510.402310.403790.368%0.2729080.0751510.173970.173640.190%0.1368240.0288080.082810.082620.229表2機(jī)器學(xué)習(xí)后二維諧振子勢的真實(shí)解和預(yù)測解的誤差（二）機(jī)器學(xué)習(xí)求解二維庫倫勢對于二維庫倫勢Vx,y在生成數(shù)據(jù)集時(shí)只要將原本的二維諧振子勢修改為上式即可，而之前構(gòu)建的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對改為二維庫倫勢的數(shù)據(jù)集仍是適用的，這里就體現(xiàn)出這種方法有極強(qiáng)的適應(yīng)性。但值得注意的是，庫倫勢有區(qū)別于諧振子勢的地方，那就是庫倫勢的形式是存在一階奇點(diǎn)的，因此為避免報(bào)錯(cuò)我們必須排除掉這個(gè)點(diǎn)，然后再生成數(shù)據(jù)集（此過程代碼見附錄D）。 在生成二維庫倫勢的數(shù)據(jù)集后，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用同樣的參數(shù)對40000組數(shù)據(jù)先進(jìn)行訓(xùn)練，再對10000組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，同樣我們也繪制出真實(shí)解和預(yù)測解的對比圖，如下圖所示，真實(shí)解和預(yù)測解也符合得比較好。圖5對二維庫倫勢數(shù)據(jù)訓(xùn)練后預(yù)測解和真實(shí)解對比及其絕對中位差 抽取部分結(jié)果列表比對，如下表cc真實(shí)解預(yù)測解誤差18.4574311.313320.0120990.0120360.517%23.2045314.274470.0159760.0159500.164%15.7150610.916100.0139600.0139150.323%21.9595919.896630.0137270.0136800.344%11.397329.1133130.0144250.0143850.284%14.3551122.898290.0129130.0128580.425%11.7301219.879510.0126800.0126230.450%21.4678514.646900.0152400.0152070.217%表3機(jī)器學(xué)習(xí)后二維庫倫勢的真實(shí)解和預(yù)測解的誤差（三）嘗試氫原子解的檢驗(yàn) 氫原子是量子力學(xué)中非常重要的系統(tǒng)，因?yàn)樗鼘?yīng)的薛定諤方程是可以精確求解的。假如機(jī)器學(xué)習(xí)的方法可以對氫原子實(shí)現(xiàn)求解，這便可以作為很好的檢驗(yàn)過程。 由于在生成數(shù)據(jù)集時(shí)采用了矩陣對角化方法，這種方法對哈密頓量的表示依賴于對二階微分算子的矩陣表示，我們之前所采用的有限差分法只能表示一維和二維情況的二階微分算子，但是氫原子問題是一個(gè)三維的問題，因此直接將氫原子問題中的勢場寫成三維形式求解是存在困難的。 但是我們理論上對氫原子問題的嚴(yán)格求解通常不在直角坐標(biāo)中進(jìn)行，因?yàn)闅湓訂栴}本身還是一個(gè)中心力場問題，選用球坐標(biāo)會(huì)更為方便。假如我們采用球坐標(biāo)后再進(jìn)行分離變量，得到徑向方程就將問題轉(zhuǎn)化到一維情況，這是否意味著有機(jī)會(huì)利用機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行求解呢？ 首先我們考慮在中心力場中的粒子??2考慮到中心力場的球?qū)ΨQ性，為了方便我們使用球坐標(biāo)系，?2?2=然后我們進(jìn)行分離變量ψr,θ,φ= 我們可以得到徑向方程??rr2?然后我們做變量代換ρ=rRl徑向方程可以寫為?2ρ?r然后我們考慮氫原子問題，代入勢能項(xiàng)Vr??22μ根據(jù)一維情況下的有限差分法，(10)式應(yīng)變?yōu)閡i+1+u所以我們應(yīng)用下列矩陣表示二階微分算子?2我們對徑向坐標(biāo)均分成N份，每份dr=r?其他兩項(xiàng)分別對應(yīng)?和l上述三項(xiàng)之和即哈密頓量，用矩陣表示出哈密頓量后我們可以很方便地求解(21)式，計(jì)算出本征值并將其排序，輸出其前三個(gè)態(tài)的能量，我們得到的結(jié)果是E0 但這還只是我們用矩陣對角化方法僅僅針對氫原子問題進(jìn)行求解，要將這種方法與機(jī)器學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，我們需要在徑向方程中加入一個(gè)隨機(jī)參數(shù)以便能生成供卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)集，但這里就產(chǎn)生了矛盾，我們得出徑向方程的前提是中心力場，而期望在方程中引入?yún)?shù)是與