第二節(jié)回歸分析方法

第二節(jié)回歸分析方法一元線性回歸模型多元線性回歸模型非線性回歸模型的建立方法1一、一元線性回歸模型定義：假設(shè)有兩個(gè)地理要素（變量）x和y，x為自變量，y為因變量。則一元線性回歸模型的基本結(jié)構(gòu)形式為式中：a和b為待定參數(shù)；為各組觀測(cè)數(shù)據(jù)的下標(biāo)；為隨機(jī)變量。（3.2.1）

2記和分別為參數(shù)a與b的擬合值，則一元線性回歸模型為：

（3.2.2）式代表x與y之間相關(guān)關(guān)系的擬合直線，稱(chēng)為回歸直線；是y的估計(jì)值，亦稱(chēng)回歸值。（3.2.2）

3①參數(shù)a與b的最小二乘擬合原則要求yi與的誤差ei的平方和達(dá)到最小，即②根據(jù)取極值的必要條件，有

（3.2.4）

（一）參數(shù)a、b的最小二乘估計(jì)

（3.2.3）

4（3.2.5）

（3.2.6）

③解上述正規(guī)方程組（3.2.4）式，得到參數(shù)a與b的擬合值：5（二）一元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

①方法：F檢驗(yàn)法。

②總的離差平方和：在回歸分析中，表示y的n次觀測(cè)值之間的差異，記為

可以證明（3.2.9）（3.2.8）6在式（3.2.9）中，Q稱(chēng)為誤差平方和，或剩余平方和，而

稱(chēng)為回歸平方和。7

③統(tǒng)計(jì)量F

④F越大，模型的效果越佳。統(tǒng)計(jì)量F～F（1，n-2）。在顯著水平α下，若F>Fα，則認(rèn)為回歸方程效果在此水平下顯著。一般地，當(dāng)F<F0.10(1,n-2)時(shí)，則認(rèn)為方程效果不明顯。（3.2.10）8二、多元回歸模型回歸模型的建立

①

多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式：

（3.2.11）式中：為待定參數(shù)；為隨機(jī)變量。9②回歸方程:如果分別為式（3.2.11）中的擬和值，則回歸方程為

在（3.2.12）式中，b0為常數(shù)，b1,b2,…bk稱(chēng)為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)的意義是，當(dāng)其它自變量都固定時(shí)，自變量每變化一個(gè)單位而使因變量平均改變的數(shù)值。（3.2.12）

10③偏回歸系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程:根據(jù)最小二乘法原理，的估計(jì)值應(yīng)該使

由求極值的必要條件得

方程組（3.2.14）式經(jīng)展開(kāi)整理后得

（3.2.13）

（3.2.14）

11方程組（3.2.15）式稱(chēng)為正規(guī)方程組。

引入矩陣：（3.2.15)

1213則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進(jìn)一步寫(xiě)成矩陣形式14求解得：引入記號(hào)：（3.2.16）

15正規(guī)方程組也可以寫(xiě)成：16回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

①回歸平方和U與剩余平方和Q：②回歸平方和:③剩余平方和為：④F統(tǒng)計(jì)量為：計(jì)算出來(lái)F之后，可以查F分布表對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。17三、非線性回歸模型

非線性關(guān)系線性化的幾種情況:①

對(duì)于指數(shù)曲線，令,可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：，其中，；

②

對(duì)于對(duì)數(shù)曲線，令，，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：；③

對(duì)于冪函數(shù)曲線，令，，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：其中，；18④對(duì)于雙曲線，令，轉(zhuǎn)化為直線形式：；⑤對(duì)于S型曲線，可轉(zhuǎn)化為直線形式：；⑥對(duì)于冪乘積：，只要令，就可以將其轉(zhuǎn)化為線性形式：其中，；19⑦對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)和只要令，就可以將其化為線性形式：

例:下表給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積（Area）與周長(zhǎng)（Perimeter）的數(shù)據(jù)。下面我們建立林地景觀斑塊面積A與周長(zhǎng)P之間的非線性回歸模型。20

序號(hào)面積A周長(zhǎng)P序號(hào)面積A周長(zhǎng)P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表3.2.1某地區(qū)各個(gè)林地景觀斑塊面積（m2）與周長(zhǎng)（m）

2115527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.049614697.1301234.1142469416.7008226.0091624519.867326.3171225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.23522303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.41023解：（1）作變量替換，令：，，將上表中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，變換后得到的各新變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示。

序號(hào)y=lnAx=LnP序號(hào)y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558表3.2.2經(jīng)對(duì)數(shù)變換后的數(shù)據(jù)24127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607486.393579588.9844086.5733341810.034927.005852599.8663996.9188211911.173197.051092609.0196016.523136208.0275565.501457619.5954087.1181092113.059259.015056628.4162385.787871228.6550326.211917639.4847597.067248239.031156.028643648.7974386.413133248.7331136.027773658.3099576.0807442511.012367.345927668.6386716.069247269.5831276.67449678.8527166.22214725269.5831276.67449678.8527166.2221472710.342397.438951688.3673655.5908062810.18297.128478698.7540635.849717298.9854366.822537707.8828485.67756308.19945.990776717.8848875.6986783113.280099.347906727.5213115.1922133210.469397.537684737.3881325.152181339.2170996.209381