高一數(shù)學(xué)第三次月考卷01（全解全析）（人教A版）

20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：（必修第二冊(cè)第6——9章）人教A版20195．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D2．已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，，40，50；乙組：24，，33，44，48，52．若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對(duì)應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對(duì)應(yīng)相等，則（

）A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【解析】由題意可得解得：故，故選C.3．某大學(xué)共有教師1000人，其中教授、副教授、講師、助教的人數(shù)比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校所有教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，如果樣本按比例分配，那么講師應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，樣本按比例分配，講師應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選B．4．已知平面向量，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由向量，因?yàn)椋傻?，解得，故選B.5．已知某地區(qū)中小學(xué)共有學(xué)生20000人，各學(xué)段學(xué)生所占比例如圖甲所示，近視情況如圖乙所示，則該地區(qū)初中生近視的人數(shù)為（

）A．3150 B．3600 C．5250 D．6000【答案】C【解析】依題意，該地區(qū)初中生有人，而該地區(qū)初中生的近視率為70%，所以該地區(qū)初中生近視的人數(shù)為人.故選C.6．如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（

）A．4a B．8a C．6a D．【答案】B【解析】由直觀圖可得原圖形，所以，，，所以，原圖形的周長(zhǎng)為，故選B.7．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)向量若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，由正弦定理得.因?yàn)橹校?又，所以，即，故選C.8．《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）．如圖，等腰梯形，已知，則其重心到的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，重心到的距離為，易知等腰梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積，梯形的面積，重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)，則，解得.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】不妨設(shè)，若，即，顯然，故A正確；若，則，則，該值不一定為0，故B錯(cuò)誤；若，則，而，故C正確，，故不一定成立，即D錯(cuò)誤；故選：AC10．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰直角三角形D．若，，則一定是等邊三角形【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)大角對(duì)大邊，，根據(jù)正弦定理可得，其中為三角形外接圓半徑，于是，正確；B選項(xiàng)，若為銳角三角形，則，所以，則，正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，整理可得，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等邊三角形，正確.故選：ABD11．如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說(shuō)法正確的是（

）A．線段B．該圓臺(tái)的表面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5【答案】ABD【解析】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開(kāi)為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足①②的復(fù)數(shù).①；②.【答案】(或)【解析】因?yàn)?，不妨設(shè)，由得，所以，解得，，所以或，13．設(shè)實(shí)數(shù)x，，滿(mǎn)足1，3，4，x，y，的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)x，y，的方差為．【答案】/【解析】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，∴，即，代入數(shù)據(jù)，即為，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，∴數(shù)據(jù)的方差為.14．窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每年新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形的邊長(zhǎng)為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓的直徑，則的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn),連接.則,因?yàn)閳A的直徑，長(zhǎng)度為4，故得,要求的取值范圍，即要求的取值范圍.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)與正六邊形的頂點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為正六邊形的邊的中點(diǎn)時(shí)(如圖點(diǎn))，故.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（本小題滿(mǎn)分13分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；(3)已知落在的平均成績(jī)是61，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?0，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.【解】（1）由每組小矩形的面積之和為1得，所以.（2）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，顯然第75百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以；由樣本方差計(jì)算總體方差公式，得總方差為.16．（本小題滿(mǎn)分15分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)求角B的大??；(2)若，，點(diǎn)D在邊上，且，求的長(zhǎng).【解】（1）因?yàn)?由余弦定理得，整理可得,所以，又，所以.（2）因?yàn)樗杂烧叶ɡ砜傻?由,可得A為銳角，可得，由余弦定理得故整理可得解得或(舍去),又點(diǎn)D在邊AC上,且所以所以在中，由余弦定理可得.17．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在中，，點(diǎn)滿(mǎn)足．(1)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的余弦值．【解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，，又，所以，所以，所以?shí)數(shù)的值為；（2）因?yàn)?，所以，由題意設(shè)，所以，在中，①，在中，②，由①②可得，所以，所以，又，，所以，所以的余弦值為.18．（本小題滿(mǎn)分17分）近些年來(lái)，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲率，用曲率來(lái)刻畫(huà)幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.(1)求四棱錐的總曲率；(2)表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱(chēng)為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是常數(shù).【解】（1）四棱錐有個(gè)頂點(diǎn),個(gè)三角形面,個(gè)凸四邊形面,故其總曲率為（2）設(shè)多面體有個(gè)面,給組成多面體的多邊形編號(hào),分別為號(hào).設(shè)第號(hào)多邊形有條邊.則多面體共有條棱.由題意，多面體共有個(gè)頂點(diǎn).號(hào)多邊形的內(nèi)角之和為,故所有多邊形的內(nèi)角之和為故多面體的總曲率為所以滿(mǎn)足題目要求的多面體的總曲率為.19．（本小題滿(mǎn)分17分）如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)求證：平面⊥平面；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由．【解】（