1月大數(shù)據(jù)模擬卷05（山東、海南專用）（解析版）高中數(shù)學

1月大數(shù)據(jù)精選模擬卷05(山東、海南專用)

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.已知集合4={》|。0.2；,0<%<乃卜集合3={xeR|x2<%}.則A|J3=()

A,[嗚B.嗚C.（09

D.（0,1）

【答案】B

【詳解】

iJIJI

由cosxN一，可得---h2k7T<X<——\-2k7T,k6Z,

233

7t冗

因為0<x<兀，可得0<x4—,即集合A=（0,—],

33

又由/〈x，即V—x=x（x—i）<o,解得owxwi,即8=[0,l],

冗

所以AU8=0,y

2.設(shè)復數(shù)z滿足|z-(l+i)|=l,則|z|的最大值為()

A.y/2-lB.血+1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

]^z=a+bi,a,bgR,|z-(l+i)|=|。一1+僅一1川=1,(?-1)2+(Z?-1)2=1,

心上,^+名相當于圓(x_+(y-1)2=]上的點到原點距離的最大值，

即圓心到原點距離加半徑：V2+1.

3.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每

珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算球梁上部分叫上珠，梁下部分叫下球.例如，在十位檔撥上一顆上

珠和一顆下珠，個位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65,若在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆

下珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆上珠，則所撥數(shù)字小于600的概率為()

I

【答案】D

【詳解】

在個、十、百、千位檔中隨機選擇一檔撥上一顆下珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆上珠，所有的數(shù)有

C?=24個，其中小于600的有-C；=7個，

7

，所求概率為P=—.

24

4.如果向量G,萬的夾角為6,我們就稱Mx行為向量方與B的“向量積"，MxB還是一個向量，它的長

度為IMX5HMI?山Sin。,如果|引=10,防1=2,ab=-12>則為xB|=()

A.-16B.8C.16D.20

【答案】C

【詳解】

因為萬|cos6=10x2cose=-12,

34

所以cos6=--,因為日￡[。,7],所以sin8=q,

55

-4

所以|=|.1/714118=10x2x^=16.

5.在(2必一1)5的二項展開式中，X的系數(shù)為()

X

A.40B.20C.-40D,-20

【答案】C

【詳解】

(2x2--)5的二項展開式的通項公式為

x

5r02rr-rr5r03r

7；+,=C；2-x'-(-l)x=(-l)2-C；x'-,

令10—3r=l,解得r=3,

故x的系數(shù)為—22C；=-40,故選：C.

2

423

6.已知1<加〈一，則---+------的最小值是（）

3m-\4-3m

A.3>/2+9B.V3+6C.60+9D.12

【答案】C

【詳解】

4

0,4-3m>0,

3

+-^―)[(3/w-3)+(4-3m)]9+6(4-3，，，)+3(3//—)>9+672

m—14-3m3m-34-3mL」3m-34-3m

6(4-3m)3(3m-3)又故〃?="也時取等號.

當且僅當

3m-34-3m33

r22

7.已知橢圓C:j+v\=l（a>b>0）的右焦點為尸，短軸的一個端點為P,直線/：4x—3y=0與橢圓

ab

相交于A、3兩點.若IAEI+I8用=6,點P到直線/的距離不小于9,則橢圓離心率的取值范圍為（）

設(shè)橢圓的左焦點為尸'，尸為短軸的上端點，連接AE',8b',如下圖所示:

由橢圓的對稱性可知，A,B關(guān)于原點對稱，則。4=。3

又OF'=OF

四邊形AFBF'為平行四邊形

：.AF=BF'

又|AF|+忸尸|=忸尸|+忸尸1=2a=6,解得:4=3

3

點尸到直線/距離：d=^i>~,

55

解得：b>2,即&一/=，9—/22

.\0<c<V5父［。告

a3

y/x—l,1<X<3

8.已知函數(shù)/(x)=<r,若函數(shù)g(x)=/(x)-必有兩個不同的零點，則實數(shù)。的取值范

ln-,3<x<9

3

【答案】D

【詳解】

函數(shù)g(x)=f(x)-ax有兩個不同的零點等價于方程。=」里有兩個不同的根,

X

q=X

XI[nX

—2-,3<X<9,

1x

—x+2

令w(x)="一\

X2x?\Jx—1

〃(x)>0=>1<xv2,〃(x)<0=>2<x<3,

???〃(x)在(1,2)遞增，在(2,3)遞減,

???M(1)=0,M(2)=-,“(3)=—

23

6

(X)G(O,—].且

M3

4

In—In—

令儀x)=--=——,3Vx<9,

“3x-

3

令書,e/、1In/.八

則y~v(x)=，1</W3,

.11-lnr

???y=_?

.3

當y=O=>/=e,y>0=>l<r<e,y<0=>e<r<3,

..?，在（l,e）遞增,在?3）遞減,

且y⑴=0,y(e)=.y(3)=與

v(x)e

Jx-l1.

--------,1<x<3,

x

所以直線y=a與1史=<有兩個交點,

.x

XIn—

——,3<xK9,

x

可得。的取值范圍為：0,

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.在（x-Lj的展開式中，下列說法正確的有（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為64

B.所有項的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項為20

D.二項式系數(shù)最大的項為第3項

【答案】AB

【詳解】

解：4所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故A正確,

5

8.令X=1得所有項的系數(shù)和為(1一1)6=0,故8正確，

C常數(shù)項為。63尤3[!)=-20.故C錯誤，

。展開式有7項，二項式系數(shù)最大為第4項，故。錯誤.

10.已知實數(shù)x,y滿足一3<x+2y<2,—l<2x—y<4,則()

A.x的取值范圍為(一1,2)B.丫的取值范圍為(一2,1)

C.》+>的取值范圍為(一3,3)D.》一y的取值范圍為(一1,3)

【答案】ABD

【詳解】

因為一l<2x—yv4,所以一2v4x—2yv8.因為-3<x+2yv2,所以一5v5Xvl0,則一1<x<2,

故A正確；

因為一3vx+2y<2,所以—6v2x+4yv4.因為-1v2x—yv4,所以-4v—2x+y<1,所以

-10<5y<5,所以一2vyvl,故8正確；

936114

因為-3Vx+2y<2,—1v2x-y<4,所以一一<一(x+2y)〈一,一一<一(2x-y)v—,則一2vx+y<2,

555555

故C錯誤；

21333I?

因為一3vx+2yv2,—lv2x—yv4,所以——v——(1+2>)<二,一二<二(2*—y)<一，則

555555

-l<x-y<3,故。正確.

11.已知函數(shù)〃制=4疝(5+。)(4>0,G>0,。<。<乃)的最小正周期為4,其圖象的一個最高點為

下列結(jié)論正確的是()

(3)

A.8=冗

c冗

B.co=一

3

C.將/(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到〃(x)圖象；再將〃(x)圖象向右平移;

個單位長度，得到函數(shù)>=2sin(乃x+的圖象

D.>=/(》)的圖象關(guān)于》=1對稱

6

【答案】BC

【詳解】

由已知二=4,A錯；

CD2

A=2,2sin(]xg+e)=2,(p=2kji+y,keZ,又?！粗小簇?，：.(p=%.B正確;

/(x)=2sin^yx+yj,

將f(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模海v坐標不變，得/i(x)=2sin(G+M),再將/z(x)圖象向右

23

ITC7171

平移個單位長度，得圖象的解析式為y=2sin7r(x--)+-=2sin(^x+-),C正確；

6L63」6

大/(X)中，令x=l,—x+—=-^k7C+—,keZ,D錯.

2362

12.在正方體ABCO-A4GA中，點〃在線段BQ上運動，則()

A.直線平面ABC。

B.三棱錐用-AG。的體積為定值

71兀

C.異面直線AM與A。所成角的取值范圍是

D.直線GM與平面AC。所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】BD

【詳解】

A錯，如圖，連接用，，4G，由正方體可得AG，4R,且平面A4GQ，則84,4G，

BB[cBQ=4

所以A]C]±平面BDA故AG，BD]；

同理，連接A。，易證得則8QL平面AG。，

若直線82L平面age。，則平面4月C。//平面AC。

7

這與平面4國。。與平面AGO相交矛盾，所以A錯；

3正確，九-AG。-%-州紀?因為點M在線段BC上運動，所以S%/?,=g4O-A6,

面積為定值，且G到平面的距離即為G到平面448的距離，也為定值，故體積為定值;

C錯，由AQ//BC，

當點M與線段BC的端點重合時，AM與4。所成角為60°；

設(shè)與C的中點為M。，當點M由的端點向中點M。運動時，乙4MM0為異面直線與A。所成角

在在AACB|中，AC=A用，所以AMoJ.BC

在AAM%中，不變，|肪丸|逐漸變小?所以tan乙4"%=攘4逐漸增大,

當點M與Mo重合時，異面直線40LJ所成角為90。

所以異面直線AM與4。―所成角的取值范圍是_717_1，所以c不正確.

力正確，以。為原點，D4為x軸，0c為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體ABCD-A閏CD|中棱長為1,則0(0,0,0),4(1,0,1),G(0,1,1)，M(a,l,a)

Z^=(l,O,l),Dq=(0,1,1),QW=(a,O,a-l)

由前面可得，BR,平面AGO,所以西=(—1,一1,1)為平面AG。的一個法向量

二直線GM與平面AG。所成角的正弦值為。：

C.MBD\I

sin6=cos(GA/.BO])1

|和H甌「百X/2+g—1)2

當a=，時，sin。有最大值遠

23

所以宜線GM與平面4G。所成角的正弦值的最大值為逅，故。正確.

3

故選：BD.

8

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在三棱錐P—ABC中，側(cè)棱P4J_底面43。,/84。=120,48=4。=1且叢2BC,則該三棱錐

的外接球的體積為

____32乃

【答案】——

3

【詳解】

在△ABC中，由余弦定理可知：

BC=yjAB2+AC2-2AB-BC-cosABAC=71+l-2xlxlxcosl20-=瓜

因為N84C=120',AB=AC=l,所以^ABC是頂角為鈍角的等腰三角形，

設(shè)△A6C的外接圓的直徑為AO,

由正弦定理可知：AD=———=百。=2,,

sinZBACsin120

因為側(cè)棱QAJ_底面ABC,PA=2BC=273.

所以三棱錐P-ABC的外接球的直徑為PD，

由勾股定理可知：PD=YAD?+PA?=百+(2百了=4，

9

所以三棱錐P—ABC的外接球的半徑為：R=k4=2,

2

所以三棱錐P-ABC的外接球的體積為：V=-7rR3=—x23=—.

333

14.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點/且斜率大于0的直線/交拋物線于點A,8(點A于第一象限)，交其

準線于點C,若忸。=3忸耳，則直線A3的斜率為.

【答案】20

【詳解】

如圖,作于。(/是準線)，則忸0=忸耳，由題意忸C|=3忸q,.?.|CD|=2五忸q,

tan/C8O=陰=20,由知BD//x軸，NCBO與直線AB傾斜角相等，

\BD\

/.AB的斜率為2起.

2

15.已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且/(x+2)=-/(幻，當一lWx<0時，/U)=log,(x+1))

2

則/(2021)=

【答案】1

【詳解】

v/(%+2)=-/(%),令x=x+2,

/(%+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=/(x),故函數(shù)/(x)的周期為4,

.?./(2021)=/(4x505+l)=/(l),

?."(%)為奇函數(shù)，"⑴=一〃一1),

10

由已知可知/（-1）=log;（1+1）=log,2=-1故"1）=1.

因此，“2021）=1.

16.一年時間里，某校高一學生經(jīng)常利用課余時間參加社區(qū)志愿者公益活動，據(jù)統(tǒng)計，他們參加社區(qū)志愿

者公益活動時長X（單位：時）近似服從正態(tài)分布N（50,b2）,且尸（30<X<70）=0.7,該校高一學

生中參加社區(qū)志愿者公益活動超過30小時的人數(shù)有1275，估計該校高一年級學生人數(shù)為

【答案】1500

【詳解】

由P（30<X<70）=0.7得：P（X<30）=|x（l-0.7）=0.15,

P（X>30）=1-0.15=0.85.

,估計該校高一年級學生人數(shù)為：1275+0.85=1500人.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在等比數(shù)列｛q｝中，4=4,%=32.

（1）求知

(2)設(shè)“=3log?an,cn=bn-an,求數(shù)列｛%｝的前〃項和T“.

【詳解】

（1）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的首項為《，公比為9,由已知4=4，%=32,可得

%q=44=2

解得《所以q=qq"T=2"

a、q*=32q=2

(2)由(1)知勿=3k>g24"=310g?2"=3〃，cn=3n-2"

23

:.Tn=3x2'+6X2+9X2+L+3n-2"①

27；=3x22+6x2’+9x2*+L+3n-2,,+l②

①-②得：-7；=3x2i+3x2?+3x2,+L+3x2H-3n-2d+,

=3X(2'+22+23+L+2")-3n-2"+l~一3n-2"+'

,"+,,+ln+l

=3x(2'-2')-3n-2=3x(l-w)-2-6

11

.?.7；=3(〃-l>2"+i+6

18.己知a,b,。分別為△A6C的三個內(nèi)角A,B,。的對邊，3+c)(sin8-sinC)=(a-c)sinA.

(1)求5；

(2)若6=4,△ABC的面積為46，求a+c

兀

【答案】(1)—;(2)8.

3

【詳解】

(1)由(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA,

根據(jù)正弦定理可得S+C)(b-c)=(a-c)a,

即b2=a2+c2—ac，

ac=a2+/—b2

山余弦定理b1=a2+/-2accosB，

得cosB=""+c~一萬=」

2ac2

TT

由于0<3<%，所以8=—

3

(2)因為△相。的面積為4g，

所以LacsinjB=^^ac=46,即ac=16,

24

因為。2=々2+/—改=]6,所以(J+/=32，

所以a+c=yla2+c2+2ac=8

19.如圖1,在平面四邊形ABDC中，A8=2,AC=1,CO=J^,NA=9()。，cos/BCD、,

12

D

(2)將△BCD沿BC折起，形成如圖2所示的三棱錐。-ABC,AO=2.

①三棱錐。一A5C中，證明：點。在平面A8C上的正投影為點A；

②三棱錐D-ABC中，點E,口,G分別為線段AB,BC,AC的中點,設(shè)平面DEF與平面DAC的交線為/,

Q為/上的點.求DE與平面Q尸G所成角的正弦值的取值范圍.

【詳解】

解：(1)在中：BC=yjAB2+AC2=75

在△BCD中由余弦定理：

BC=CD=J5rcos/BCD5

IBCCD

___________2

所以6。=2&，sinZBCD=71-cos2ZBCD=--

BCBDV15

在△38中，由正弦定理:所以sinD

sinDsinZBCD丁’

13

(2)①在A/MB中，因為AB=2,AO=2,5O=2^,

所以BO?=432+a。?,A。，AB,

在△ZMC1中，因為AC=1,AO=2,CO=J^,

所以CO2=AC2+AO2,AO_LAC,又因為ABCAC=A,所以4)J_平面ABC,

所以點D在平面ABC上的正投影為點A；

②因為七///4?,￡^^平面。4。，ACu平面D4C，

所以防//平面DAC，平面￡＞律與平面ZMC的交線為/,所以〃/EF，1//AC.

以A為坐標原點，以ARAC、分別為x，V，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)一孫z,

所以A(0,0,0),0(0,0,2),E(l,0,0),Fh,1,0j,G(0,1,0

設(shè)Q(0j,2),F2=(O,r,2)-fl,1,oW-lj-p2LG2=(O,^2)-fo,1,oMo,r-1,2L設(shè)平

面。FG的法向量刀=(x,y,z)，

因為“/。=(樂乃2>(-11一；,2)=0,/i-G2=(-?,y,z)-fo,r-^,2j=0,

2

所以，平面。尸G的一個法向量為E=(0,2,；—r

因為歷=(1,0,-2),設(shè)DE與平面QFG所成角為0,

14

b,sinO

所以

若，=,，則sin6=0,

2

.口275I12石

若遇,則5h5，

所以O(shè)E與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍為,半］

20.復旦大學附屬華山醫(yī)院感染科主任醫(yī)師張文宏在接受媒體采訪時談到：通過救治研究發(fā)現(xiàn)，目前對于

新冠肺炎最有用的“特效藥”還是免疫力.而人的免疫力與體質(zhì)息息相關(guān)，一般來講，體質(zhì)好，免疫力就強.復

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測試成績（百分制）如下：65,78,90,86,52,87,72,86,87,98,88,86.根據(jù)此年齡段學生體質(zhì)

健康標準，成績不低于80的為優(yōu)良.

（1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該學校全體高二學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試,

求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；

（2）從抽取的12人中隨機選取3人，記X表示成績“優(yōu)良”的人數(shù)，求X的分布列和期望.

【詳解】

解：（1）抽取的12人中成績是優(yōu)良的頻率為2,

3

2

故從該校全體高二學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率是1，

設(shè)”在該校全體高二學生中任選3人，至少有1人成績優(yōu)良”為事件A，

則。（A）=IYX（V）=心=*

（2）由題意可知,X的可能取值為0,1,2,3,

.3

P(X=0)=備.嘖

_48_12

P(x=i)

-220-55

15

P（X=2）=與=壑=竺

17《22055

P（X=1）=§=至1,

\）a22055

所以X的分布列為

X0123

1122814

P

55555555

E“X=0cx-1-F1x112F2cx--28F3xr—l4=2c.

55555555

22

21.已知6,工分別是橢圓C:J+方=l(a>8>0)的左，右焦點，過點耳的直線/與橢圓C交于A,B

兩點，點在橢圓。上，且當直線/垂直于x軸時，|A8|=2.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）是否存在實數(shù)r,使得|A￡|+忸4|="M|忸制恒成立.若存在，求出，的值；若不存在，說明理由

故橢圓C的標準方程為土+匕=1.

42

16

(2)由(1)可知1卜0,0),五,0).

當直線/的斜率不存在時，|A川=忸川=5=1,則/=2.

1"'1a[粗|A短:怛呷埒

當直線/的斜率存在時，設(shè)其斜率為七則直線/的方程為y=A(x+0),A(x，y),8(馬,巴).

丁=攵卜+逝)

聯(lián)立-22整理得(2左2+1)f+4瓜、+4公一4=0,

二+21=1

142

47^+1

40k24k2-4從而卜|一々I='(玉+々y-你々

則X]+A：2=-—-----,x,x—

2公+11222k2+12k2+1

故|A￡|+怛凰=|A3|=JFW歸一引=冬二

乙K十1

由題意可得|4用="2+1,+怛制="2+1"+碼-

則|4耳||陽=①+1)"+0&+々)+2卜當空?

止+4

因為|*+|防HMIM，所以\"AF諦}\+\裾BF.\=今可4-1

2k2+\

綜上,存在實數(shù)r=2,使得1Ml+|%|=*耳||班|恒成立.

22.已知/(x)=xlnx+￡x2+1

(1)若/(x)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+xcosx-sinx-xlnx-l在(0片上有1個零點.

(i)求實數(shù)”的取值范圍；

(ii)證明：若%>1,則不等式(x-l)"(x)-怖*2]>axlnx成立.

【詳解】

解：(1)/'(%)=111%+1+依40在(0,+00)上恒成立，