方程與不等式之二元二次方程組全集匯編含答案

方程與不等式之二元二次方程組全集匯編含答案一、選擇題1．k為何值時(shí)，方程組只有唯一解？【答案】k=.【解析】【分析】將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)△=0求解即可.【詳解】由（2）得，y=x-k（3）將（3）代入（1）得，，要使原方程組有唯一解，只需要上式的△=0，即，解得，k=.所以當(dāng)k=時(shí)，方程組只有唯一解.【點(diǎn)睛】本題考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握當(dāng)判別式為0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．已知A，B兩地公路長300km，甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路駛往B地，2小時(shí)后，甲車接到電話需返回這條公路上與A地相距105km的C處取回貨物，于是甲車立即原路返回C地，取了貨物又立即趕往B地（取貨物的時(shí)間忽略不計(jì)），結(jié)果兩下車同時(shí)到達(dá)B地，兩車的速度始終保持不變，設(shè)兩車山發(fā)x小時(shí)后，甲、乙兩車距離A地的路程分別為y1(km)和y2(km)．它們的函數(shù)圖象分別是折線OPQR和線段OR．（1）求乙車從A地到B地所用的時(shí)問；（2）求圖中線段PQ的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）；（3）在甲車返回到C地取貨的過程中，當(dāng)x=，兩車相距25千米的路程.【答案】（1）5h（2）（3）或【解析】（1）由圖可知，求甲車2小時(shí)行駛了180千米的速度，甲車行駛的總路程，再求甲車從A地到B地所花時(shí)間；即可求出乙車從A地到B地所用的時(shí)間；（2）由題意可知，求出線段PQ的解析式；（3）由路程，速度，時(shí)間的關(guān)系求出x的值.（1）解：由圖知，甲車2小時(shí)行駛了180千米，其速度為（km/h）甲車行駛的總路程為：（km)甲車從A地到B地所花時(shí)間為：（h）又∵兩車同時(shí)到達(dá)B地，∴乙車從A地到B地所用用的時(shí)間為5h.（2）由題意可知，甲返回的路程為（km)，所需時(shí)間為（h），.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（105，）.設(shè)線段PQ的解析式為：，把（2，180）和（105，）代入得：，解得，∴線段PQ的解析式為.（3）或“點(diǎn)睛”本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)型結(jié)合的思想解答問題．3．解方程組：【答案】，【解析】【分析】由②得：，即得或，再同①聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】由②得：，∴或把上式同①聯(lián)立方程組得：，解得：，∴原方程組的解為，．4．如圖，要建一個(gè)面積為45m2的長方形養(yǎng)雞場(分為兩片)，養(yǎng)雞場的一邊靠著一面長為14m的墻，另幾條邊用總長為22m的竹籬笆圍成，每片養(yǎng)雞場的前面各開一個(gè)寬lm的門.求這個(gè)養(yǎng)雞場的長與寬.【答案】這個(gè)養(yǎng)雞場的長為9m，寬為5m.【解析】試題分析：設(shè)雞場的長為xm，寬為ym，根據(jù)雞場的面積和周長列出兩個(gè)等量關(guān)系，解方程組即可，注意雞場的長小于圍墻的長．解：設(shè)雞場的長為xm，寬為ym，由題意可得：，且x<14，解得y=3或5；當(dāng)y=3時(shí)，x=15；∵x<14，∴不合題意，舍去；當(dāng)y=5時(shí)，x=9，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．答：這個(gè)養(yǎng)雞場的長為9m，寬為5m.5．計(jì)算：（1）（2）解方程組：（3）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)先求開方運(yùn)算，再進(jìn)行加減；（2）用加減法解方程組；（3）解不等式組，再在數(shù)軸上表示解集.【詳解】解：（1）原式=-3+4-=（2）①×2+②，得x=0把x=0代入①式y(tǒng)=所以，方程組的解是（3）由①式得，x≥-由②式得，x＜所以，不等式組的解集是，把解集在數(shù)軸上表示：【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：開方，解二元一次方程組，解不等式組.解題關(guān)鍵點(diǎn)：掌握相關(guān)解法.6．已知是方程組的一組解，求此方程組的另一組解.【答案】【解析】【分析】先將代入方程組中求出m、n的值，然后再求方程組的另一組解．【詳解】解：將代入方程組中得：，則方程組變形為：，由x+y=1得：x=1-y，將x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，將y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一組解為：.【點(diǎn)睛】用代入法解二元二次方程組是本題的考點(diǎn)，根據(jù)題意求出m和n的值是解題的關(guān)鍵.7．解方程組：．【答案】或.【解析】【分析】先變形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出兩個(gè)方程組，求出方程組的解即可．【詳解】，由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有或解得：或原方程組的解是或【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和解高次方程組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組．8．直角坐標(biāo)系xOy中，有反比例函數(shù)上的一動(dòng)點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切時(shí)，求OP2的值．（2）設(shè)圓P運(yùn)動(dòng)時(shí)與x軸相交，交點(diǎn)為B、C，如圖2，當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)，①求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．②設(shè)一拋物線過A、B、C三點(diǎn)，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QBP的面積是菱形ABCP面積的？若存在，求出所有滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，滿足條件的Q點(diǎn)有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．【解析】【分析】（1）當(dāng)⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切時(shí)，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA＝PK，進(jìn)而得出PK2，即可得出OP2的值；（2）①連接PB，設(shè)AP＝m，過P點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H，則PH＝sin60°BP，P（m，），進(jìn)而得出答案；②求直線PB的解析式，利用過A點(diǎn)或C點(diǎn)且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，列方程組求滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO＝∠OKP＝90°．又∵∠AOK＝90°，∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．∴四邊形OKPA是矩形．又∵AP＝KP，∴四邊形OKPA是正方形，∴OP2＝OK2+PK2＝2PK?OK＝2xy＝2×816；（2）①連結(jié)BP，則AP＝BP，由于四邊形ABCP為菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP為正三角形，設(shè)AP＝m，過P點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H，則PH＝sin60°BP，P（m，），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式中，則m2＝8，解得：m＝4，（m＝﹣4舍去），故P（4，2），則AP＝4，OA＝2，OB＝BH＝2，CH＝BH＝2，故A（0，），B（2，0），C（6，0）；②設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣6），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得，a，故解析式為，過A點(diǎn)作BP的平行線l拋物線于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)為所求．設(shè)BP所在直線解析式為：y＝kx+d，則，解得：，故BP所在的直線解析式為：，故直線l的解析式為，直線l與拋物線的交點(diǎn)是方程組的解，解得：，，故得Q（0，），Q（14，），同理，過C點(diǎn)作BP的平行線交拋物線于點(diǎn)Q1，則設(shè)其解析式為：yx+e，則0＝6e，解得：e＝﹣6，故其解析式為：yx﹣6，其直線與拋物線的交點(diǎn)是方程組的解，可求得Q1（8，2）和（6，0）．故所求滿足條件的Q點(diǎn)有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及二元二次方程組解法和正方形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是由菱形、圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題．9．已知直角三角形周長為48厘米，面積為96平方厘米，求它的各邊長.【答案】12cm、16cm、20cm.【解析】【分析】設(shè)兩直角邊為a、b，則斜邊為，根據(jù)已知得：求解即可．【詳解】設(shè)該直角三角形的兩條直角邊為a、b，則斜邊長為，根據(jù)題意得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，和都是方程的解，所以斜邊長為cm.答：該直角三角形的三邊長分別是12cm、16cm、20cm.【點(diǎn)睛】此題運(yùn)用三角形面積表示出，然后由勾股定理導(dǎo)出是關(guān)鍵．10．(1)解方程組：(2)解方程組：【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由得，將其代入求出y的值，再根據(jù)y的值分別求出對(duì)應(yīng)的x的值即可；（2）設(shè)，，方程組變形后求出A，B的值，然后得到關(guān)于x，y的方程組，再求出x，y即可．【詳解】解：（1）由得：，將代入得：，整理得：，解得：或，將代入得：，將代入得：，故原方程組的解為：或；（2）設(shè)，，則原方程組變?yōu)椋?，解得：，∴，解得：，?jīng)檢驗(yàn)，是方程組的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組以及解分式方程組，熟練掌握代入消元法以及換元法是解題的關(guān)鍵．11．有一批機(jī)器零件共400個(gè)，若甲先單獨(dú)做1天，然后甲、乙兩人再合做2天，則還有60個(gè)未完成；若甲、乙兩人合做3天，則可超產(chǎn)20個(gè).問甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件？【答案】甲每天做60個(gè)零件，乙每天做80個(gè)零件.【解析】試題分析：根據(jù)題意，設(shè)甲每天做x個(gè)零件，乙每天做y個(gè)零件，然后根據(jù)根據(jù)題目中的兩種工作方式列出方程組，解答即可.試題解析：設(shè)甲每天做x個(gè)零件，乙每天做y個(gè)零件.根據(jù)題意，得解這個(gè)方程組，得答：甲每天做60個(gè)零件，乙每天做80個(gè)零件.12．解方程組：.【答案】，，，.【解析】【分析】先把原方程組的每個(gè)方程化簡，這樣原方程組轉(zhuǎn)化成四個(gè)方程組，求出每個(gè)方程組的解即可．【詳解】由①得：（x+2y）2＝9，x+2y＝±3，由②得：x（x+y）＝0，x＝0，x+y＝0，即原方程組化為：，，，，解得：，，，，所以原方程組的解為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．13．解二元二次方程組【答案】【解析】【分析】把方程①變形為y=1-x，利用代入法消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，從而求解．【詳解】解：，把①變形y＝1﹣x，代入②得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0，化簡整理得x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，把x＝2代入①得y＝﹣1，把x＝﹣1代入①得y＝2，所以原方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的解法，一般用代入法比較簡單，先消去一個(gè)未知數(shù)再解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個(gè)較簡單的方程中即可．14．解方程組：．【答案】

，【解析】【分析】先將化為或，再分別和①式結(jié)合，分別求解即可.【詳解】解：由得，得或，原方程組可化為，解得，原方程組的解為

，原方程組的解為

，．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解，將二次降為一次是解題的關(guān)鍵.15．【答案】或【解析】【分析】本題考查二元二次方程組的解法，在解題時(shí)觀察本題的特點(diǎn)，可用代入法先消去未知數(shù)，求出未知數(shù)的值后，進(jìn)而求得這個(gè)方程組的解．【詳解】解：由①得：③把③代入②，得,整理得：，解得，．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，原方程組的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解法，二元二次方程組求解的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即通過“降次”、“消元”，將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二元一次方程組．16．解方程組：【答案】，【解析】【分析】先將第2個(gè)方程變形為x+6y＝0，x﹣y＝0，從而得到兩個(gè)二元一次方程組，再分別求解即可．【詳解】解：，由②得：x+6y＝0，x﹣y＝0，原方程組可化為或，故原方程組的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查的是高次方程，關(guān)鍵是通過分解，把高次方程降次，得到二元一次方程組，用到的知識(shí)點(diǎn)是因式分解、加減法．17．解方程組：【答案】，【解析】【分析】先將第1個(gè)方程變形為x＋2y＝3，x＋2y＝﹣3，從而得到兩個(gè)二元一次方程組，再分別求解即可．【詳解】解：方程①可變形為得：，它們與方程②分別組成方程組，得；或解得，所以，原方程組的解是，【點(diǎn)睛】本題考查的是高次方程，關(guān)鍵是通過分解，把高次方程降次，得到二元一次方程組，用到的知識(shí)點(diǎn)是因式分解、加減法．18．解方程組：.【答案】.【解析】【分析】把第一個(gè)方程化為x=3y，代入第二個(gè)方程，即可求解.【詳解】由方程①，得x＝3y③，將③代入②，得(3y)2+y2＝20，整理，得y2＝2，解這個(gè)方程，得y1＝，y2＝﹣④，將④代入③，得x1＝3，＝﹣3，所以，原方程組的解是【點(diǎn)睛】該題主要考查了代入法解二元二次方程組，代入的目的是為了消元，化二元為一元方程，從而得解.19．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊上的兩點(diǎn)，EF交于CD于H，（1）如圖1，若∠EFC=∠A，求證：CE?CD=CH?BC；（2）如圖2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的長；（3）如圖3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4，求的值．【答案】（1）見解析;（2）2;（3）.【解析】【分析】（1）只要證明△ECH∽△BCD，可得=，即可推出CE?CD=CH?BC；（2）如圖2中，連接AH．只要證明△AEH∽△HFB，可得=，推出FH2=6，推出HE=HF=，即可解決問題．（3）只要證明△ECF∽△BCA，求出CF即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴，∴CE?CD=CH?BC．（2）解：如圖2中，連接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分線，∴AH是△ABC的角平分線，∴∠BHC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°+BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠B