平面向量的實(shí)際背景及其基本概念教案 人教課標(biāo)版

§平面向量的實(shí)際背景及其基本概念

教學(xué)目的：理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念

掌握向量的加法和減法

掌握實(shí)數(shù)與向量的積理解兩個(gè)向量共線的充要條件

.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可

以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，掌握平面向量的數(shù)量積及其幾

何意義，

教學(xué)難點(diǎn)：與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等的結(jié)合

教學(xué)過程：

一'知識(shí)梳理

向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用口瓦亍……來表示，或用有向線段的

起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：AB幾何表示法AB,a；坐標(biāo)表示法

a-xi+yj-（x,y）向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作即向量的大小，記

作IaI

向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.

②零向量：長(zhǎng)度為的向量，記為0,其方向是任意的，。與任意向量平行零向量

?=O<=>\a\=由于0的方向是任意的，且規(guī)定。平行于任何向量，故在有關(guān)

向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有"非零向量"這個(gè)條件.（注意與的

區(qū)別）

③單位向量：模為個(gè)單位長(zhǎng)度的向量

向量4,為單位向量oI詼I=

④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以

移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作日〃B由于向量可以

進(jìn)行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量

也稱為共線向量

數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選

取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要

理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.

⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為

五=在大小相等，方向相同（X1，M）=（%2，%）O**%

〔％=>2

向量加法

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法

設(shè)AB=a,6C=匕，則2AA3+3CAC

()0+?=a+6=a；()向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：

()用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已

知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指

向被減向量

()三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)

向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減

向量的終點(diǎn)

當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，

用三角形法則.向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：

AB+BC+CD++PQ+Q?=4?,但這時(shí)必須“首尾相連”.

向量的減法

①相反向量：與不長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做G的相反向量

記作-心零向量的相反向量仍是零向量

關(guān)于相反向量有：()-(-?)?；()?(-a)(-a)?6；

0若。、B是互為相反向量，則5-彼5-3萬

②向量減法：向量A加上B的相反向量叫做。與B的差，

記作：3=力+(-5)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法

③作圖法：可以表示為從行的終點(diǎn)指向G的終點(diǎn)的向量(。、5有共同起

點(diǎn))

實(shí)數(shù)與向量的積：

①實(shí)數(shù)人與向量"的積是一個(gè)向量，記作人心它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

(I)|麗=岡.同；

(II)當(dāng)2>()時(shí)，入2的方向與A的方向相同；當(dāng)2<0時(shí)，入2的方向與G

的方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，Aa=0,方向是任意的

②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律

兩個(gè)向量共線定理：

向量B與非零向量。共線o有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)力，使得B面

平面向量的基本定理：

如果不潺2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量心

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4使：5=44+4瓦其中不共線的向量召,當(dāng)叫做表示這一

平面內(nèi)所有向量的一組基底

注意：

（）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算

（）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件

（）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行

則包括共線（重合）的情況

（）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其

相對(duì)位置有關(guān)

兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為。，則\a\-\b|0

叫做a與〃的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0?a=0

向量的投影:稱為向量b在。方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為

射影

數(shù)量積的幾何意義：等于〃的長(zhǎng)度與〃在。方向上的投影的乘積

向量的模與平方的關(guān)系：a-a=a2=\a^

乘法公式成立：

（0+/?）?（。一/?）=。2_/72=|可2_1|；

（a±Z?）-a2±2a-b+b2=|a|"±2tz-/?+|/?|

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①交換律成立：a-b^ba

②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：（⑼2=2（。力）=〃?（勸R）

③分配律成立：^a+b^-c-a-c±h-c-c-^a+b^

特別注意：（）結(jié)合律不成立：a?僅?<?）聲（“?8）?（?；

。消去律不成立。為不能得到。=<>

（）a-b不能得到a0或〃0

兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：

已知兩個(gè)向量a=（X，y）,Z?=（%,必），則a，。%|X2+y,y2

向量的夾角：己知兩個(gè)非零向量a與。，作04。，。88，則/。（0°〈”18（f）

叫做向量。與人的夾角

a，bXjX+yy

0cos<a,b>=2{2

M+y：力才+才

當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與同方向時(shí)，。，當(dāng)且僅當(dāng)a與/?反方向時(shí)。，同時(shí)0

與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題

垂直：如果。與人的夾角為則稱。與。垂直，記作a_L8

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：

.3==須々+%％=0平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

二、典型例題

例：給出下列命題：

①若a=b,則ab；

②若，，，是不共線的四點(diǎn)，則A3=DC是四邊形為平行四邊形的充要條件;

③若ab,bc,則ac,

④ab的充要條件是ab且ab；

⑤若ab,bc,則ac,

其中正確的序號(hào)是

解：①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.VAB=DC,|鉆|=|。。|且48〃。。，

又，，，是不共線的四點(diǎn)，四邊形為平行四邊形；反之，若四邊形為平行

四邊形，則，AB〃DC且|AB|=|OC|,

因此，AB=DC.

③正確.:ab,，八力的長(zhǎng)度相等且方向相同；

又b=c,：.b,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a=c.

④不正確.當(dāng)"且方向相反時(shí)，即使ab,也不能得到ab,故a〃且ab不是ab

的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤不正確.考慮匕0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.

點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念.向量的基本概念較多，因而容易遺忘.為

此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的

模型進(jìn)行類比和聯(lián)想.

例：如圖所示，已知正六邊形，是它的中心，若BA“，BCb,試用“，b將向

量OE,BF,BD,FO表示出來.

解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量％8來表示

其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.

解：因?yàn)榱呅问钦呅危运闹行募绊旤c(diǎn)，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

所以84+BC=8A+AO=3O,

所以8。。+/?,所以。E8。46,

由于，，，四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形，

所以BFBO+OFBOBAabaab,

同樣在平行四邊形中，BD=BC+CD=BC+BO=h+(a+b)=a+b,FD=

BC-BA=b—a

點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以，，，，，及七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用。，6表

示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為。，b,另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用n,

b表示.

例：設(shè)、、、、是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：

?AB+BC+CD,?DB+AC+BD?-OA-OC+OB-CO

解：①原式(AB+BC)+8=AC+8=AD

②原式(DB+BD)+AC=O+AC=AC

③原式(。3-04)+(-OC-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=AB

例：設(shè)x為未知向量，a、〃為已知向量，解方程x-(ax-8

解：原力程可化為：(x—x)(―a54)(b—b)

例：設(shè)非零向量。、〃不共線，cab,dab(e),若＜:〃(/,試求

解：?.,，〃[

，由向量共線的充要條件得：cXd(Xe)

即ab\(ab).\(-X)a(-X)b0

又???〃、b不共線

二由平面向量的基本定理'=0nZ=±l

[1-U=O

例：如圖：已知在平行四邊形中，，設(shè)"a,ADb,試用。、力分別表示AM、

4

MH、AF

???〃??&//T.

22A*^-~tO-^D

...四邊形也是平行四邊形，...

333—1I

又BM=-BC=-AD=-a,而尸8=——BC=一一b

44444

31

：.AM=AB+BMa-b,MH=FA=FB+BA一一b-a

44

AF=-FA=-(--b-a)-ba

44

例：求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a,b,“一人的終點(diǎn)在同一條直線上.

證明：設(shè)起點(diǎn)為，0A=a,OBb,OC=a—b,

則AC=OC—T),AB^OB-OAb-a,AC^-2AB,

共線且有公共點(diǎn)，因此，，，三點(diǎn)共線，

即向量。，b,。一〃的終點(diǎn)在同一直線上.

點(diǎn)評(píng)：⑴利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：

①證明向量平行；②說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)；

⑵用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：

①證明向量平行；②說明兩向量無公共點(diǎn).

例：在△中，AB(,),AC(,),且△的一個(gè)內(nèi)角為直角，求值

3

解：當(dāng)。時(shí),ABAC,AXXA--

2

當(dāng)。時(shí)，ABBC,BCAC-AB(--)(--)

...X㈠X㈠Ay

當(dāng)。時(shí)，ACBC,(-)3士屈

2

例：已知不=(,),B=(,),求的值使b)±a,且|商BI

分析：這里兩個(gè)條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想

解：由日=(,),b=(,),有&B()

又(日5)±a<=>(a)?&=0O()()

即=0①

又|萬B\<^>\ab|'=1

O(3)?+(4)2=1

整理得2+2=1即()2=1②

由①②有2=1③

將①變形代入③可得：±5

'2424

X=---X------

再代回①得：35和35

歸納小結(jié)：

學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的

運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面

向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂

直等由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合

起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)

§平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)目的：.了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會(huì)用坐標(biāo)形

式進(jìn)行向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，掌握向量坐標(biāo)形式的平

行的條件；

掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可

以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的基本定理理解平面向量的坐標(biāo)的概念

教學(xué)難點(diǎn)：了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌

握向量垂直的條件學(xué)會(huì)使用分類討論、函數(shù)與方程思想解決有關(guān)問題

教學(xué)過程：

一、知識(shí)梳理

平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向

量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量?？杀硎境?/p>

a=xi+切，由于a與數(shù)對(duì)()是----對(duì)應(yīng)的，因此把0叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(),

其中叫作“在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)

0相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量

0向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與

其相對(duì)位置有關(guān)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)若a=(x，y),。=(%，%)，則?！?=(占±々，y|±%)

(2)若A(F，y),8(X2，y2)，則筋=(七一百,%-乂)

(3)若a(),則2

(4)若a=(x],yj,b=(孫％)，則-々y=。

⑸若a=(X],yJ,Z?=(工2，%)，則a包=可/+%.%

若a_L/?,則X]?々+M?%=0

向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積)及其各運(yùn)算的

坐標(biāo)表示和性質(zhì)

運(yùn)幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

算

類

型

向

平行四邊形法則

量。+方=(&+$,>+)。

三角形法則a+h=b+a

的

加(5+^)+c=5+(S+c)

法

AB+BC=AC

向三角形法則

量a-b^-^y-y^)a—b-a+(—b)

的

減AB=-BA

法

OB-OA^AB

向然是一個(gè)向量，

Aa=(/U,Ay)%(必)=(%)2

量滿足：

的

/I＞時(shí)，而與。同

乘(A+/Li)a=A5+)

向；

法

4〈時(shí)，酒與G異

4(2+方)=劭+萩

向；

九時(shí)，河0a//boa=Ab

向

a?b是一個(gè)數(shù)a^b=x}x2+)\y25?h=b?a

里

的

方=6或6=6時(shí),(海)?方二行?(篇)=2(G?B)

數(shù)

量

a^b=?工

積

2

。工0且各工0時(shí)，a=|5匕團(tuán)|=出行

a^b=}a^b\cos<a,b>\a?b\^a\\b\

二'典型例題

例:已知向量。=(1,2),8=(工,1),〃=4+%,v=2a-b,且〃〃丫,求實(shí)數(shù)%的值

解：因?yàn)?=(1,2),/2=(工,1),〃=4+2/?,v=2a—b

所以〃=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3)

又因?yàn)镸〃丫

所以3(2x+l)—4(2—x)=0,即10x=5

解得x

2

例:平面內(nèi)給定三個(gè)向量〃=(3,2)/=(-l,2),c=(4,l),回答下列問題：

()求滿足。=成?+〃。的實(shí)數(shù)；

()若(a+Zc)//(2b-4),求實(shí)數(shù)；

()若d滿足(d-c)〃—，且卜-c卜石，求d

解：()由題意得(3,2)="-1,2)+“(4,1)

(一利+4〃=3/w=-

所以,得9

2m+〃=2o

inM=—

()a+kc=(3+4%,2+A),2Z?—〃=(-5,2)

.?.2*(3+4女)-(-5、2+&)=0,；乂=-3

()d-c=(x-4,y-l),a+人=(2,4)

4(x-4)-2(y-l)=0

由題意得

g4)2+(y-l)2=5

X=3或，x=5

得

』=T)=3

例:已知±=(i,o)石=(2,1).()求|。+3加；()當(dāng)*為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka-B與a+3b

平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？

解：()因?yàn)樯?(L0)石=(2,1).

所以。+3匕=(7,3)

則|a+3b|==屈

()ka-b=(A:-2,-1),a+3b=(7,3)

因?yàn)槿酥?與方+3日平行

所以3伏_2)+7=0即得k=_；

_7

此時(shí)女a(chǎn)-b=(%—2,-1)=(——,-1),a+3b=(7,3)

則a+36=-3(ka-b),即此時(shí)向量M+3B與版-8方向相反

例:已知點(diǎn)44,0),8(4,4),。(2,6),試用向量方法求直線4。和。5(。為坐標(biāo)原點(diǎn))交

點(diǎn)P的坐標(biāo)

解:設(shè)P(x,y),則OP=(x,y),AP=(x—4,y)

因?yàn)镻是AC與。8的交點(diǎn)

所以P在直線AC上，也在直線上

即得。尸〃03,AP〃AC

由點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC=(-2,6),OB=(4,4)

得方程組*D+2)'=°

4x-4y=0

解之得■

1y=3

故直線AC與OB的交點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(3,3)

例:已知點(diǎn)0(0,0),A(l,2),3(4,5)及OP=f?AB,試問：

()當(dāng)f為何值時(shí),P在x軸上？P在y軸上？P在第三象限？

()四邊形Q4BP是否能成為平行四邊形?若能,則求出，的值若不能，說明理由

解：()OP=OA+tAB=(l+3t,2+3t),則P(l+3t,2+3f)

若P在x軸上，則2+3，=0,所以/=二；

若P在y軸上，則l+3x=t,所以，

若「在第三象限，則l+3x<0，所以x<-5?

2+3x<03

()因?yàn)镼4=(l,2),心=(3-3r,3_3r)

若OABP是平行四邊形，則=

(3-3/=1

所以此方程組無解；

3-3/=2

故四邊形。ABP不可能是平行四邊形

例：已知A4BC中，()，()，0邊上的高為，求4。

解：設(shè)0

則AO=(x-2,y+l),8O=(x-3,y-2),8C=(—4-3)

?:AD±BC,BD±BC

_6（彳_2）_3。+1）=0得卜=1

-3（x-3）+6（y-2）=0y=1

所以AD=（-1,2）

例：如圖，設(shè)拋物線(>)的焦點(diǎn)為經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物

線的準(zhǔn)線上，且〃軸，證明直線經(jīng)過原點(diǎn)

解法一:設(shè)00(B),則法一)

22

則FA=(X|-^,丫]),FB=(x2-py2),OA=(x],yl),OC=(-^,y2)

>）

,/FA與FB共線

⑶-1）（x2

即----?_=----（*）

Yiy2

代入(*)式整理得，?

y；

-22

因?yàn)樯稀?0_=上，=工="

(_P)(_P)-p-yMy2

.?.GN與6?是共線向量，即、、三點(diǎn)共線,

也就是說直線經(jīng)過原點(diǎn)

解法二：設(shè)()，(-P),()

2

欲證、、共線，只需且僅需1<辦=1<8,即江="

X|_p

2

又

2p

???只需且僅需，用韋達(dá)定理易證明

點(diǎn)評(píng)：兩向量共線的應(yīng)用非常廣泛，它可以處理線段(直線)平行，三點(diǎn)共

線(多點(diǎn)共線)問題，使用向量的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)算方法，往往可以避免繁雜的運(yùn)

算，降低計(jì)算量，不僅方法新穎，而且簡(jiǎn)單明了

例：已知向量a=(x,y)與n=(y,2y-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用u=/(”)表示

(1)證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)，恒有

f(ma+nh~)-rnf\a)+nf(h)成立；

(2)設(shè)a=(1,1)1=(1,0),求向量/(a)及/())的坐標(biāo)；

求使/(c)=(P，q)，(，為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)

解：()設(shè)。=(q,4),1=(4也),則

ma+nb—(“74+nb1,ma,+nb->'),故

f(ma+nb)={ma-,+曲，2/m,+2必-maA-nbj

-m(a22a2—q)+n(b2,2Z?2一仿)，

/.f(ma+nb)=mf\d)+nf(b)

()由已知得/(a)(,),/(/?)(,一)

()設(shè)c(,),則/(c)=(y,2y-x)=(p,q),

,一,即c(—>)

例：平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)()，(),若點(diǎn)滿足OC=aQ4+尸。3,

其中且a+月=1,則點(diǎn)的軌跡方程為()

A(x-l)2+(y-l)2=5及3x+2y—11=0

C2x—y=0Dx+2y—5=0

解法一:設(shè)C（x,y）,則OC=（x,y）,OA=（3』）,OB=（T,3）

由OC=aOA+J3OB得（尤,>1）-（3a,?）+（-尸,3尸）=（3a-]3,a+3/3）

x=3a-0

于是vy=a+31

a+/?=1

先消去夕，由P=]—a得|x=4a—l

y=3-2a

再消去cz得x+2y-5=0所以選取

解法二：由平面向量共線定理，

當(dāng)OC=aOA+0OB,。+尸=1時(shí)，、、共線

因此，點(diǎn)的軌跡為直線，由兩點(diǎn)式直線方程得x+2y-5=0即選

歸納小結(jié)：

熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算

兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示

運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合

§平面向量的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：（）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念（）

掌握向量的加法和減法

。掌握實(shí)數(shù)與向量的積理解兩個(gè)向量共線的充要條件

（）了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐

標(biāo)運(yùn)算

0掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理

有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件

（）掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式并且能

熟練運(yùn)用掌握平移公式

教學(xué)重點(diǎn)：理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念掌握平

面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用向量解決實(shí)際問題.

教學(xué)過程：

一、知識(shí)梳理

向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的

坐標(biāo)表示和性質(zhì)

運(yùn)幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

算

類

型

向平行四邊形法則

a+bEWi+y?)a+b=b+a

量三角形法則

的

(a+b)+c=a+(b+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法則

旦。-力=(%-孫卜切a—b-a+(—b)

里

的

AB=-BA

減

法

OB-OA=AB

向然是一個(gè)向量,

量Aa=(Ax,Ay)M曲)=(四)五

滿足：

的

2〉時(shí)，而與萬同

乘(A+=貶+［萬

法向；

九〈時(shí)，而與，異

Z(a+b)=Aa+Ab

向；

2時(shí)，Aa6a//boa=2b

向

a^b是一個(gè)數(shù)^?b=xx+yy^?b=b?a

量l2l2

的

2=0或6=6時(shí),(4)?5=2?(加=破而

數(shù)

旦

里

a*b伍+很)?工=2?工+B

積

a#0且分聲。時(shí)，a2=\a\2,\a\=^x2+y2

港E=|5||E|COS<2,G>\a?b\^a\\b\

重要定理、公式：

()平面向量基本定理：不，&是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)

平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4，使G=4曷+辦&

()兩個(gè)向量平行的充要條件：a//b<n>a=Ab<r>xty2-x2yt=0

()兩個(gè)向量垂直的充要條件：aA-b<r>a?b=<=>xtx2+y{y2=0

()線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)點(diǎn)分有向線段所成的比為人即片P=4P￡,

則。尸(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)

■1+，(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)

?+儀

1+2-

當(dāng)4=時(shí)，得中點(diǎn)公式：

X.+X,

1x=—

OP=一(禽+。上)或《/

2

I2-

()平移公式:設(shè)點(diǎn)尸(x,y)按向量M=(〃,女)平移后得到點(diǎn)P'(x',y),則0P=。尸a

Y'—y+/?

或，’，曲線)，=/*)按向量M=平移后所得的曲線的函數(shù)解析式

y=y+k.

為：y-k=f(x-h)

兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量a與〃，它們的夾角為。，則“必lal-l/?I0

其中I8I稱為向量匕在a方向上的投影

1?1

向量的夾角：己知兩個(gè)非零向量a與。，作04。，。88，則(0°〈”18(f)

叫做向量。與。的夾角

8cos<a,b>="31…產(chǎn)

H*H括+/溫+4

二、典型例題

例:已知a、匕是兩個(gè)非零向量，當(dāng)ab(G)的模取最小值時(shí)，

()求的值；

()求證：b±(ab)

分析：利用(ab)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可討論有關(guān)的最小值問題，若能計(jì)

算得力?(?/?),則證得了b±(?/?)

。解：設(shè)“與的夾角為0,則

ab(ab)aba?(/?)

ababOb(0)a0,

\b\

所以當(dāng)一⑷〃一回也1警一警時(shí)，“b有最小值

SI16121612

()證明：因?yàn)??Cab')b?(“一巴士?h)a?h-a,h,所以〃_L

|6|2

（?±Z?）

點(diǎn)評(píng)：用向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直等幾何問題，向量的

坐標(biāo)運(yùn)算為處理這類問題帶來了很大的方便

對(duì)4〃的變形，有兩種基本的思考方法：一是通過4b進(jìn)行向量的

數(shù)量積運(yùn)算；二是設(shè)。、8的坐標(biāo)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行有目的的變形讀者

可嘗試用后一方法解答本題

例：已知平面向量。=（6,-1）為=（g,等）.若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)和，使

x=a+(r-3)b^y=-kci+tb,^xl,y.

（）試求函數(shù)關(guān)系式（）

（）求使（）＞的的取值范圍

解：()=0.艮P[(a+產(chǎn)-3)〃卜(一履+也)=0.

a-b—0,6f2=4,/?2=1,.*.—4攵+，(產(chǎn)—3)=0,即Z=—t(t2—3).

4

（）由（）＞,得一3）＞o,即o.

4

則一6＜/＜0或，＞G

例：將函數(shù)一進(jìn)行平移，使得到的圖形與函數(shù)一一的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱（如圖）求平移向量及平移后的函數(shù)解析式

解法一：設(shè)平移公式為

代入y=—》2,得到

y=y-k

yf—k=-(xf—TO?.即y=—x2+2hx-h2+k,

把它與y=Y-x-2聯(lián)立,

Iy=-x2+2hx-h2+k

得〈，

y=_x_2

設(shè)圖形的交點(diǎn)為（，），（，）,

由已知它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

即有[…2

5=一%

由方程組消去得：2%2_（1+2h）x-2+h2+k^O

由X]+%=]+；卜且項(xiàng)+x2=0得〃=一;.

又將（王,必），（看,必）分別代入①②兩式并相加，

彳寸：+丫2=—+x￡+2/?不—x?—h~+k—2.

0—（%2—X]）（12+斗）一（玉+X，）---卜k—2

4

919

解得々=—.a=（--,—）

424

平移公式為：「=”+!代入y=—/得：y=-x2-x+2

解法二：由題意和平移后的圖形與y=/一%—2交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知該圖形

上所有點(diǎn)都可以找到關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在另一圖形上，因此只要找到特征點(diǎn)即可

y=F—x—2的頂點(diǎn)為它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-措《），即是新圖形

的頂點(diǎn)由于新圖形由y=-一平移得到，所以平移向量為

1199

h=----0=—,k=0=—以下同解法一

2244

§解斜三角形

教學(xué)目的：會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，

確定解三角形的方法；

搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；

理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、

方位角等；

熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化；

通過解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

教學(xué)重點(diǎn)：利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

教學(xué)過程：

一、知識(shí)梳理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等其比值為外接圓的

直徑

即，—=上=_二=2/?（其中表示三角形的外接圓半徑）

sinAsinBsinC

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（）已知兩角和任一

邊，求其他兩邊和一角；（）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從

而進(jìn)一步求出其他的邊和角）

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角

的余弦的積的兩倍

a2+c2_/

第一形式，b~a1+c2-2accosB,第二形式,

2ac

利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：()已知三邊，求三

個(gè)角；()已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

三角形的面積：△的面積用表示，外接圓半徑用表示，內(nèi)切圓半徑用表示，半周

長(zhǎng)用表示則

?5=—a-h=-?-；②S=L"csinA=…；

22

?S=2R2sinAsinBsinC；@S=—；

47?

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；?S=pr(其中p=)

三角形內(nèi)切圓的半徑：“焉‘特別地，Q空尸

三角學(xué)中的射影定理：在4中，h=a-cosC+c-cosA,???

兩內(nèi)角與其正弦值：在a中，A<BsinA<sinB,…

三內(nèi)角與三角函數(shù)值的關(guān)系：在^中

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC

,A+BCA+B.CA+BC

sin-------=cos—cos=sin—tan-------=cot—

222222

tanA+tanB+tanC=tanAtanB-tanC

解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大

邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”

二'典型例題

例：在△中，已知內(nèi)行°,求及邊.

tzsinBy/3-sin45°百

解：由正弦定理得:

bV2一

因?yàn)椤?lt;°且

所以有兩解?；?。

()當(dāng)。時(shí)。()°,

bsinC_V2-sin750_V6+V2

sinBsin4502

0當(dāng)。時(shí)。?！?

bsinC_V2-sinl5°_76-V2

sin3-sin45°一~T~

思維點(diǎn)撥：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問題，用正弦定理解，但需注意

解的情況的討論.

例：△的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，如果()，求證：

分析析：研究三角形問題一般有兩種思路一是邊化角，二是角化邊

證明：用正弦定理，，，，代入()中，得

2A()=^2A-

1-cos2A_1-cos2Sz、

n，(-2A)()

2

n()(一)(),

因?yàn)?、、為三角形的三?nèi)角，所以()W

所以(一)

所以只能有一，即

點(diǎn)評(píng)：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三

角公式變換求解

例:已知銳角△中，()(-)-

55

()求證：；

()設(shè)，求邊上的高

分析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，以。為鋪墊，解決

()證明：???()3,(一)L

55

sinAcos8+cosAsinB=—

5

sinAcos3—cosAsinB=一

5

,八2

sinAxcosn=—

5ntanA

一tanB

cosAsinnn=—1

5

()解：巴VVJi,???()3

25

即tanA+tan3_3

1一tanAtanB4

將代入上式整理得一一,

解得寺&（負(fù)值舍去）

2

得笥心

/.V6

設(shè)邊上的高為,則CDCD3CC

tanAtanB2+^6

由得6,所以邊上的高為而

評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)

算能力

例:在△中，、、分別是N、/、N的對(duì)邊長(zhǎng)，已知、、成等比數(shù)列，且一一，求N

的大小及更i股的值

C

分析：因給出的是、、之間的等量關(guān)系，要求N,需找/與三邊的關(guān)系，故

可用余弦定理由可變形為更，再用正弦定理可求㈣叱的值

cC

解法一：???、、成等比數(shù)列，???

又---，.?.一

在△中，由余弦定理得

b2+c2-a2be1./。

2bc2bc2

在△中，由正弦定理得更時(shí)，

a

V,Z°,

.bsinBb2sin60°V3

??-------=-----------o—

cac2

解法二：在△中，

由面積公式得

22

??*，￡/—o，??

.bsinBV3

c2

評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間

的關(guān)系常用正弦定理

例：設(shè)函數(shù)/（工）=。力，其中向量。=（2以）5%』）,方=（85兒7^畝2工）

xeR（1）若。一百且￡［一巳，求；

33

（2）若函數(shù)的圖象按向量，=（,〃,〃）（＜］）平移后得到函數(shù)。的圖象，求實(shí)

數(shù)、的值

解：（1）依題設(shè)可知，函數(shù)的解析式為

f(x)=a=V3(—)

6

由(工)一百，可得三角方程

6

(與-亙

62

?.乃vv兀?乃^5%.兀兀日口生

33266634

(2)函數(shù)的圖象按向量c=(〃?,〃)平移后得到函數(shù)(一)的圖象，即函數(shù)〃的圖

象

由⑴得。囁)

點(diǎn)評(píng)本小題是年福建高考試題，主要考查平面向量的概念和計(jì)算，三角函

數(shù)的恒等變換及