高等數(shù)學(xué)電子教案(大專版)

《高等數(shù)學(xué)》教案

第一講函數(shù)與極限

1.函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)變量x,y。對(duì)任意的XGD,存在一定規(guī)律f,使得y有唯一確

定的值與之對(duì)應(yīng)，則y叫x的函數(shù)。記作y=f(x),xGD。其中x叫自變量，y叫因變量。

函數(shù)兩要素：對(duì)應(yīng)法則、定義域，而函數(shù)的值域一般稱為派生要素。

例1：f(x+l)=2x2+3x-L求f(x).

解:設(shè)x+l=t得x=t-l,則f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-l=2t2-t-2

,'.f(x)=2x2-x-2

定義域：使函數(shù)有意義的自變量的集合。因此，求函數(shù)定義域需注意以下幾點(diǎn)：

①分母不等于0②偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于或等于0③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0

I------------2元—]

例2求函數(shù)ynjx?—x-6+arcsin-----的定義域.

7

解：要使函數(shù)有定義，即有:

-x-6>0x>3或x<-2

o—3WxW—2或3<x<4

I7-3<x<4

于是，所求函數(shù)的定義域是：[-3,-2]U[3,4].

例3判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？

(1)y=lnx2與y=21nx(2)3=&與y=&

解(1)中兩函數(shù)的定義域不同，因此不是相同的函數(shù).

(2)中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域均相同，因此是同一函數(shù).

2.初等函數(shù)

(1)基本初等函數(shù)

常數(shù)函數(shù)：y=c(c為常數(shù))騫函數(shù)：y=x〃(〃為常數(shù))

指數(shù)函數(shù)：y=a*(a>0,aHl,a為常數(shù))

對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logux(a>0,awl,a為常數(shù))

三角函數(shù)：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx

反三角函數(shù)：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

(2)復(fù)合函數(shù)設(shè)y=/(〃),其〃=0(x)中，且*(x)的值全部或部分落在了(耳)的定

義域內(nèi)，則稱y=/@(x)]為x的復(fù)合函數(shù)，而〃稱為中間變量.

例4：若y=VM,u=sinx,則其復(fù)合而成的函數(shù)為y=Jsinx,蛛u必須>0,sinx>0,

xe[2k萬(wàn)，zr+2kTC]

例5：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)

-sinJx"

my=e

解(1)y=y[u,u=cosv,v=^

(2)y=e",u=sinv,v=>/t,t=x2+1

例6：設(shè)f(x)=x?g(x)=2*求f[g(x)]g[f(x)]

解：f[g(x)]=f(2t)=(2v)2=4'g[f(x)]=g(x2)=2-t-

3.極限

(1)定義函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x無(wú)限接近于某個(gè)目標(biāo)時(shí)(一個(gè)數(shù)x°,或+oo或一8),

因變量y無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)以A為極限。

定理1函數(shù)/(x)當(dāng)Xf/時(shí)的極限存在的充分必要條件是，/(x)當(dāng)時(shí)的

左右極限都存在并且相等.即lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A

X->X0

例7：判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在極限

sin<0

X+l,x>2y=\i八

y=<—x.x>()

x,x<2⑵

(1)(當(dāng)X—2時(shí))13(當(dāng)尤f(wàn)°時(shí))

limy=2,limy=3limywlimy

解：⑴??,12-12+x^2~xf2+

???函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。

limy=sin0=0,limy=—xO=Olimy=limy

(2)*/10_I。*3,X->0-Xf0+

函數(shù)在指定點(diǎn)的極限limy=0

4.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

極限為0的量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小；若lim/(x)=oo(或lim/(x)=8)，則

x->,voXT8

稱/(X)為當(dāng)XfX。(或X-8)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。

例如：limsinx=0,所以，當(dāng)xfO時(shí)，sinx是無(wú)窮小量。

x->0

同樣，當(dāng)Xf0時(shí)二0(。>0),1-cosx,arcsinx等都是無(wú)窮小量。

當(dāng)xf+8時(shí)，lim—=0,所以｛▲｝是無(wú)窮小量.

n

無(wú)窮小量的性質(zhì):

(1)有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量。

(2)無(wú)窮小量與有界量之積是無(wú)窮小量。

推論1：任一常數(shù)與無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。

推論2：有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。(注：兩個(gè)無(wú)窮小之商未必是無(wú)窮小)

5.極限的運(yùn)算

設(shè)x在同一變化過(guò)程中l(wèi)im/(x)(此處省略了自變量x的變化趨勢(shì)，下同)及l(fā)img(x)

都存在，則有下列運(yùn)算法則：

法則1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

法則2、lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)

法則3、lim=(limg(x)HO)

g(x)hmg(x)

(1)直接代入求值

例8求lim(3x?-4x+l)

KT2

解：lim(3X2-4X+1)=3>22-4>2+1=5

XT2

2>x~+x—4

例8求lim

x->-l31+2

2

2-+x-4[im(2x+x-4)3

解:hm----------=-----------

%"3廠+2Iim(3x~+2)5

A->-I

/?.—7x+12

例10求hm----------

1x-5x+4

A..x~—7x+12(x—3)(x—4)x-31

解：lim---------二hm-----------=lim----=-

x—4X-5X+414(%-l)(X-4)Xf41_13

00一

(2)一型

00

-—4T.2x~+九-3

例11求lim-------

is3x-x+2

1.2x2+x—32

解:lim---------=lim

^003x-X+2KT83

小結(jié)：xfoo時(shí)，一型的極限，可用分子分母中x的最高次幕除之

00

(3)8-00型，°型，

0

例12求下列函數(shù)極限

1i/31、°「Vl+x-10].xcosx

1>lim(-----------)2、Iim---------3、lim「一

Ji1-x1-xa。xf8jl+x3

2

i1.(31、r3—(1+x+x)

解：1>lim(----7----)=lim--------------—

f1-x1-xI(l-x)(l+x+x2)

.(2+x)(l—x)..2+x

=l1im---------------=lim--------

f(l-x)(l+x+x)—1+x+x

r/+>-1[.(Jl+X—1)(Jl+X_1)

2、lim---------=lim--------,--------

“f。xXf。J(V1+X+1)

1.X1.11

=lim---.----=lim“?[——=—

3。X(V1+x+l)I。Vl+x+12

xcosx「x八

3、lim.=lim/?cosx=0

71+X3f7T77

(4)利用兩個(gè)重要極限

10sinx

1hrm----=1

XTOx

特點(diǎn):①它是“2”型sinAi

②hm-----=1（三角形△代表同一變量）

ATOA

例13求lim%?sin—

XT8X

sin2xsin2x_

解:limi-----=lim------>2=2

x->0,X52x

sinx

注:lim----w1

x—>00x

sinx

lim=lim-*sinx=O

XT8xX-?8X

例14求limx?sin—

XT8X

sin1

解:limx?sin-=lim

XT8XXT8

X

sin3x

例15求lim

x->0sin4x

[.sin3%..sin3x3x4x3

解:lim-----=lim[r----?---■-----j——

sosin4xio3x4xsin4x4

4.1-cosx

例16求hm；-

…x2

2sm-sin-1<sin—

解：原式=lim-—=lim[(—lim[―工]

10XIOX2210x2

22

2°lim(1+—)x=e

isx

特點(diǎn)：(1)lim(1+無(wú)窮小)無(wú)窮大一即I"型;

XT8

(2)“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù),

2_i_

推廣：①lim(l+x)，=e②lim(l+A)[=e

x->0A->0

例17lim(1+—)標(biāo)

KT92X

133

解：原式=lim[(l+—產(chǎn)]2=e2

X—2x

例18lim(1+—)3"2

XT82x

1I11r

222

解：原式=lim[(l+—)3x+2.("_)]_]jm(i+—)3%?1而(i+—)=e

182x2xxts2x2x

3

例19lim(1+—)"

KT8x

1-?3R

解：原式=lim(1+-)3=e3

XT8X

3

(5)利用常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮小代換:

當(dāng)xfO時(shí)，有sinx?x；tanx?x；arcsinx?x；arctanxx；1-cosx

ln(l+x)?x；e'-l~x；Jl+x-1~—x°

2

Xi4.sin3x

例20求lim--------

iosin4x

心sin3x..3x3

解：lim--------=lim—=—

sin4xio4X4

-4.1-cosx

例21求lim------——

Dx

X

1—cosx21

角Mlim-----；2——=lim——

-0xKTO/2

.,tan2x

例22求hm-----

a。sin5x

tan2x..2x2

解:lim-----=lim—=—

3sin5x905x5

.-x2

sinx(l-cosx)x2i-11

解：lim------------=lim乙——=lim------=-

XCOSXXT°X?COSXXT02cosx2

注：I°用等價(jià)代換時(shí).，必須對(duì)分子或分母的整體替換(或?qū)Ψ肿?、分母的因式進(jìn)行替

換)

2°分子或分母中若有“+號(hào)連接的各部分不能分別作替換。

(6)利用函數(shù)的連續(xù)性

定義1設(shè)y=f(x)在點(diǎn)與的某鄰域上有定義，如果自變量的增量Ac=x-Xo趨于零

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即limAy=lim"(x()+Ar)-/(x())]=0則稱f(x)在點(diǎn)與

AxfOAXTO

是連續(xù)的。

定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若lim/(x)=/(xo),則稱函數(shù)f(x)

在點(diǎn)x0處連續(xù)。

定義3(間斷點(diǎn)的分類)：設(shè)X。是/(X)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果:

(1)/(x)的左右極限都存在，稱X。為/(%)第一類間斷點(diǎn)，當(dāng)

lim/(x)wlimf(x),則稱x0為/(x)的跳躍間斷點(diǎn)

(2)/(x)的左右極限都存在，稱/為/(x)第一類間斷點(diǎn)，當(dāng)lim/(x)存在，但不

等于/(%)，則稱X。為/(x)的可去間斷點(diǎn)

(3)除(1)(2)以外的，稱/為/(x)的第二類間斷點(diǎn)，當(dāng)lim/(x)=oo,稱X。為

/(X)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。

x~0Vx<1

例24設(shè)/(x)=('一一，討論f(x)在x=l處的連續(xù)性。

x+l,xA1

解：vf(l)=llimf(x)=limx2=Llimf(x)=lim(x+l)=2

X->rXfl+X->1+

即limf(x)不存在，x=l是第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn)。

例25設(shè)/(x)=<三，x*°,討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。

l,x=0

解：???f(O)=llim/(x)^/(O)x=0是第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn)。

x->0

例26/(%)=―二在x=l是什么間斷點(diǎn)。

(-V-1)'

解：函數(shù)/(x)=——!~在x=l處沒(méi)有定義，且lim——!~-=00貝|Jx=l為f(x)的無(wú)

(x-1)2

窮間斷點(diǎn)。

例27求極限lim[ln(sinx)]]

一

2

JlJl

解：In(sinx)在x=一處連續(xù)limfln(sinx)]=ln(sin—)=lnl=O

2—2

2

iln(l+x)

例28求極限lim-----------

x7°x

Infl+X)———

解：lim------------=limln(l+x)v,復(fù)合函數(shù)ln(l+x)”是由Inu和u=(l+x)，組成,

Xf0xXT。

}_

又limln(l+=e,在u=e點(diǎn)Inu連續(xù)。

limln(l+x)*=ln[lim(l+x)x]=Ine=1

x->0.t->0

例29證明方程x5-3x=l至少有一個(gè)根介于1和2之間。

證明：設(shè)f(x)=x5-3x-l,在(一8,+8)連續(xù)，又f(l)=131=-3<0

f(2)=25-3*2-l>0

根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)(1,2),使導(dǎo)/鉉)=0,顯然J即為方程x$-3x=l

的根。

第二講導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在點(diǎn)與處有增量

曲(ACHO),%+Ar仍在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量&>=/(/+Ar)-/卜)，若極

限lim)一小。)存在，則稱/(x)在點(diǎn)與處可導(dǎo)，并稱此極限值為

Av—>0ArAx—>0△

/(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)，記為:Go),若極限不存在，則稱y=/(x)在點(diǎn)X。處不可導(dǎo)。

2、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處的左導(dǎo)數(shù)

/(/+AA)-/(X°)

f'(x)-lim--lim

\aAx八fO-Ax

(2)函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處的右導(dǎo)數(shù)

/(%+AY)-/(X°)

//。)=依4=啊.Ax

定理y=/(x)在點(diǎn)X。可導(dǎo)O￡'(%)=/；(X。)

例1求函數(shù)y=/在任意點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)，并求立l,T

dx

解：在x處給自變量一個(gè)增量Ax,相應(yīng)函數(shù)增量為

Ay=f(x+A^)-/(x)=(x+Ax)-x2=2x/^x+Ax2,

于是lim=lim(2x+Ax)=2x；即(/)’=2彳；則^-|x=|=2*(-1)=-2

一般地(￡'j=ux"-',(u為任意實(shí)數(shù))o

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。的導(dǎo)數(shù)/'(%)在幾何上表示曲線y=/(x)在點(diǎn)(/，/(x0))

處切線的斜率。

例2求拋物線y=/在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程。

解：?.?/=(，)/=2x,切線斜率k=y'\x=]=2x\xsi=2

切線方程：y_l=2(x—l)即y=2x—l；法線方程：y—1=—g(x—l)即y=_gx+3。

4、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系：可導(dǎo)一連續(xù)，但反過(guò)來(lái)不一定成立，即在x處連續(xù)的函數(shù)未必在

x可導(dǎo)。

XX〉0

例3y=f(x)=\x\=\\~,雖然在X=0處連續(xù)，但在該點(diǎn)不可導(dǎo)。

[-X.X<0

解：???Ay=/(0+Ax)-/(O)=Ax

二?力(0)=lim—=lim=lim—=1

Ar->o*AvAXT()+AYAx-?o"AY

i-4「IMr-Ar

/_(0)=lim=lim-~L=lim-----=-1

Ai->o-ArAx->o-Ar&tT(rAr

,//：(0)h/2(0)y=k|在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)

例4討論/(x)=]x,sinjXH°在點(diǎn)x=o的連續(xù)性與可導(dǎo)性。

0,x=0

解：vlim/(x)=limx-sin—=0,BPlim/(x)=/(O),

.r->0x->0JQ

y=/(x麻=0連續(xù)

s，nj

又：/CO=-------二=sin-!■當(dāng)x->0時(shí)sin—極限不存在

x-0xxx

.?.y=/(x)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)

5.求導(dǎo)法則

(1)加減乘除的求導(dǎo)法則

例5設(shè)y=Vxcosx+41nx+sin—yr

7

解：yr=(Vxcosx\+(4Inx\+(siny)z

=(y[x)fcosx+Vx(cosx)74-4Inx=C°^-Vxsinx+—

例6求丫=1311*的導(dǎo)數(shù)。

解：y'=(tanx)'=(皿)，=(.x)'cos’—sinx?(cosx)'

cosxcos2X

cos2x+sin2x12

=---------z--------=——z—=sec**x

COSTXCOSX

(tanx)=sec2x;類似可得：(cotx)=-esc2x

例7已知y=secx,求yf.

癡j,/v/1x(cos%)'sinx

解：y=(secx)=(----)=-------------=secx?tanx.

cos%cosXcosx

類似可得:(cscx)'=-cscxcotx

i5xsinx、—/、

例8設(shè)f(x)=-------，求/(x).

1+COSX

(九sinx)'(l+cosx)+xsinx(l+cosx)r

解:-Q)

(l+cosx)2

(sinx+xcosx)(l+cosx)-xsinx(-sinx)

=-------------------------卞---------------

(l+cosx)

_sinx(1+cosx)4-xcosx+xcos2x+xsin2x

(1+cosx)2

_sinx(l+cosx)+x(l+cos)_sinx+x

(1+cosx)2l+cosx

(2)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

定理如果u=0(x)在點(diǎn)X處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)〃處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)

y=〃e(x)]也在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有g(shù)g4或"[/(X)]}'=/'(")”(x)

叁4,dx

例9y=sin4的導(dǎo)數(shù)。

分析：y=sin?可看作y=sinw,w=Vx復(fù)合而成

解：蟲=電.也=(.“)，.(五)，=cos〃.4=9

dxdudx2jx2j2

例10求y=〃7f的導(dǎo)數(shù)。

分析：此函數(shù)可看作由y="與〃=a?-/復(fù)合而成

解:務(wù)務(wù)*而9-3'=擊心2x)X

y[a^-X2

x

例7求y=Intan5的導(dǎo)數(shù)。

x1,2、，19X121

解：yr=(Intan—)z------(tan-)=-----sec"—------sec~—

.x2*x2

t*an一xxtan—tan—

222

x

cos—

2111

---------=———=CSCX

x2x2sinx

sincos-

2

例8設(shè)r(x)存在，求y=lnl/(x)l的導(dǎo)數(shù)(f(x)#0)

解：當(dāng)f(x)>0時(shí)y=lnf(x),y'=[In/(x)]'=

/(x)/(x)

當(dāng)f(x)<0時(shí),y=ln(-f(x)),y'=—^--[-f(x)]'=烏?

/(x)

f'M

[lnl/?I了

/(x)

例9求y=sinIn72x+l的導(dǎo)數(shù).

,/z---r11小〔、，coslnv2x+1

解：y=coslnV2x+l?.---,-(2x+l)=-------------

J2x+12j2x+l2x+l

(3)、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=°(y)在點(diǎn)y處可導(dǎo)，而且9(y)H0,那么它的反函數(shù)

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有/'(%)=〃、o

例10求y=。⑴(〃>0,〃。1)導(dǎo)數(shù)

/V11

解：------丁——-——yIna=Q，Ina

(log/).

yIna

特別：(/)'="

例U設(shè)>=￡'(u為實(shí)數(shù))，求y'.

解：yr=eu(u\nx)r=e"-u?—=u-x"~'

X

X=ux

例12設(shè)〉=02「而16；求丫，

11arctany/x

解：v'=earctan6------2_-------=_￡-----------------

1+(V7)22?2日.(1+x)

(4)、隱函數(shù)求導(dǎo)法：

例13求由方程孫-e'+ev=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)：

y+xyf-ex+e，?y，=0

有<*+/)=/—y,即

V=^^(x+e』)

x+e

注意：y'表達(dá)式允許有含y的式子；

例14求曲線3y2=/(》+1)在點(diǎn)⑵2)處的切線方程；

分析：(1)關(guān)鍵求斜率k；

(2)由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：k=yx'\x=xo可用隱函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)解決:

y=y0

解:方程兩邊對(duì)X求導(dǎo):

6yy'=3x2+2x

,3x2+2.x(

y=T--------(yw°)

6y

,.4

yI—=§

4

所求切線方程：y—2=§(x—2)

/.4x—3y—2=0

(5)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

步驟：(1)兩邊取對(duì)數(shù)；(2)兩邊對(duì)x求導(dǎo)；

它適合于含乘、除、乘方、開(kāi)方的因子所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)。

例15設(shè)y=-l)^/(3x+l)2(x-2)求：y'

解：兩邊先取絕對(duì)值，再取對(duì)數(shù)，得

21

ln|y|=1中-1|+§ln|3x+1|+11中-2|

1,12311

—V=1—---------1

yx-133x+13x-2

y=(x-l)-V(3X+1)2(X-2).------+---------+-----------

x-13x+13(x-2)

例16求丫=--卜>0）的導(dǎo)數(shù)

解：兩邊取對(duì)數(shù)，lny=sinx?Inx

Icinx

等式兩端對(duì)x求導(dǎo)一/=2——+COSX-Inx

/sinx]\sinx.、

/.y----+cosx*lnx=xSinx（z----+cosx*lnx）

IXJX

（6）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法

X—（p（t）

若參數(shù)方程\",確定y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為

J=帕）

由參數(shù)方程所確定的函數(shù).其求導(dǎo)法則是：

dy_dy*dt_dy/dt_/（f）

dxdtdxdx!dt“（f）

A-?（/-sin/）（06f?2〃），（1）在任何點(diǎn)的切線斜率；（2）在f=工

例17求擺線

y-<2（l-cosf）2

處的切線方程.

,、口，dy6f(l-cosr)/〃*sinfsinrt

解：(1)易知k=—=--------=---------=-------=cot-；

dxa(t-sint)ra(l-cosr)1-cosz2

(2)當(dāng)1=工時(shí)，擺線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(3工-1],°),在此點(diǎn)的切線斜率為

212J

dyti

—k=cot—=1

dx得2小

~2

切線方程y-a=x-a(y-l),即y=x+a(2—9)。

(7)高階導(dǎo)數(shù)

例18求函數(shù)y=6一'*cosx的二階及三階導(dǎo)數(shù)。

解：y-e~x*cosx+e-'(-sinx)=e~x(cosx+sinx)

y,r=e^x*cosx+e~x(-sinx+cosx)=2e~xsinx

y,n=-2e~xsinx+2e~x*cosx=2e~x(cosx-sinx)

例19求n次多項(xiàng)式丁二劭工"+%/1+..…+%的各階導(dǎo)數(shù)。

n}/,-2

解：y'=naQx~+(〃-1**x+.?…+an_j

y"—〃(〃_-+(〃—1)(“—2)6!!Xn+...+2%_2

每經(jīng)過(guò)一次求導(dǎo)運(yùn)算，多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次，繼續(xù)求導(dǎo)得：

y(n]=〃1劭；這是一個(gè)常數(shù)，所以y(n+,)=y[n+2]=….=o

這就是說(shuō)，n次多項(xiàng)式的一切高于n階的導(dǎo)數(shù)都是零。

例20求指數(shù)函數(shù)y=e"*的n階導(dǎo)數(shù)；

解：)，=/*V=a*e"y〃=/**=

依次類推：>")=優(yōu)2球

例21求方程=，(OWf42")所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)也及二階導(dǎo)數(shù)

[y=。sin1dx

d2y

dx2,

…dyb*costb

解：—=---------二一一cotr

dx一。*sinfa

與2

d2y=/駕心=/sc，=b

dx'dt\dx)dt-asin/a2sin51

6.函數(shù)的微分

若函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x處的改變量Ay=/(x+Ax)-/(x),可表示為

Ay=A(AA)+O(AX)O其中A為常數(shù)，則函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處可微，AAx稱為函數(shù)在

點(diǎn)X。的微分，記為dy=AAx且有A=/(x),則力

例22求函數(shù)y=/在x=l,Ax=0.1時(shí)的改變量及微分.

解：Ay=(8+&)2-/=112-12=0.21,在點(diǎn)x=l處，<仁=2乂1=2

所以d)，=y'-Ax=2-0.1=0.2

定理函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可微。f(x)在與處可導(dǎo)

例23設(shè)y=cosVx,求dy

解：dy=f\x)dx=(cos-JxYdx=---sin4xdx

2jx

例24設(shè)〉=”*,求dy

解：dy=(es,nx)'dx=e""-1-cosxdx

例25求方程/+2xy—y2=/確定的隱函數(shù)y=f(x)的微分dy及導(dǎo)數(shù)也

dx

解：對(duì)方程兩邊求微分，得2xdx+2(ydx+xdy)—2)Uy=0,即

(x+y)dx=(y-x)dy

dy=-------dx

y-x

.dy=y+x

dxy-x

第三講中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1.柯西中值定理與洛必達(dá)法則

定理(柯西中值定理)如果函數(shù)滿足下列條件:

(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)；

(3)/(X)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)均不為零，

f⑸-f(a)」隹)

那么，在(a.b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)€,使得g(?一g(。)g'G)

定理(洛必達(dá)法則)若

lim/(x)=0,limg(x)=0

(1)X?OXTX0.

(2)f(x)與g(x)在與的某個(gè)鄰域(點(diǎn)與除外)可導(dǎo)，且g'(x)H0；

f\x)

lim------=AA

(3)i"g'(x)(A為有限數(shù)，也可為+8或—8)

。

則fg(x)XT%g'(x)

,x，—3x+2

hm———----------

例1求*5X，__X+]

Iim---1V+2lim3--3lim6-x^-3

解:xfx—x—x+]=73x-2x-1=6x-2=42

「1+cosx

lim----------

例2求J”tan%

..1+cosx..-sinx八

lim----------=lim——-——=0

ftanxe1

7

解：cosr

71

——arctanx

lim--------------

XT+<?|

例3求工

71-1

----arctanx------不

lim-------------=lim

X—>+001X—>4-00—1

2

解：XX=1

lim(n>0)

求n

例4XT+OOX

1

lim=lim—^—r=lim—^―=0

XT+COnxtrn-\Xf田幾￡

解:xnx

X]

lim(-----------)

例5求jxTInA-

解：

,x1...xlnx-(x-l)Xx+'nA1Inx

lim(--------------)=lim------------------=hm—-----------=lim--------------

x

xnx—lInx—I(x-l)lnxinx4,--》--一--1^'1.---1--,r.inx

xx

1

X2X

例6求1°sinx(l-cosx)

AT,廠(，—1)..X"Xc

解:hm------------------=lim——r=2

Ksinx(l-cosx)iox

x一

2

2.拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性

定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)/(x)滿足下列條件:

(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

則在區(qū)間(a,b)上至少存在一點(diǎn)￡，使得于(b)-/(?)=/'OS-。)。

推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足/(x)三0,則在(a,b)內(nèi)f(x)=C(C為常

數(shù))

推論如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意x,均有廣(x)=g<x),則在(a,b)內(nèi)f(x)與g(x)之間只

相差-個(gè)常數(shù)，即f(x)=g(x)+C(C為常數(shù))

定理設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù),在(a,定可導(dǎo),則有

(1)如果在(a,b)內(nèi)尸(x)>0,則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增；

(2)如果在(a,b)內(nèi)尸(x)<0,則函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞減。

例7討論函數(shù)/(x)=3——/的單調(diào)性。

解：因?yàn)?(x)=3--x)所以尸(x)=6x-3x?=3x(2—x)

令//(X)=0得駐點(diǎn)：x,=0,x2=2,將定義域分為三個(gè)部分區(qū)間

(一8,0),(0,2),(2,+8)時(shí)，當(dāng)xe(-8,0)有，有//(x)<0；當(dāng)尤e(0,2)時(shí)，有//(x)>0；

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)有//(x)<0,因此，由定理2知，函數(shù)在區(qū)間(—。。,0)與(2,+8)上單調(diào)減

少，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)增加。

3.函數(shù)的極值與最值

(1)極值的定義設(shè)函數(shù)f(x)在與的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)

x(xxxo),均有/(x)</(x。)，則稱/(4)是函數(shù)/(X)的一個(gè)極大值；同樣，如果對(duì)

此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)x(xwx。)，均有/(x)>/(xo),則稱/(4)是函數(shù)A》)的一個(gè)極小

值。函數(shù)/(X)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

定理1(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處取得極值，則/(x)=0

(2)函數(shù)極值的判別法

定理(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，在點(diǎn)的某一個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，

當(dāng)X由小到大經(jīng)過(guò)點(diǎn)X。時(shí)，如果

1)/'*)由正變負(fù)，那么/是函數(shù)f(x)極大值點(diǎn)；

2)/'(X)由負(fù)變正，那么/是函數(shù)f(x)極小值點(diǎn)；

3)/'(x)不變號(hào)，那么與不是極值點(diǎn)。

定理(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處具有二階導(dǎo)數(shù)且/'(X)=0,/"(X)H0

1)如果/"(x)<0,則/(x)在點(diǎn)與處取得極大值；

2)如果尸'(x)>0,則/(x)在點(diǎn)與處取得極小值。

例7求函數(shù)f(x)=/—6*2+9x的極值。

解法1：因?yàn)閒(x)=》3-6/+9x的定義域?yàn)?一00,+8),

/'(X)=3/—12x+9=3(x-l)(x-3)

令/'(x)=0,得駐點(diǎn)為X］=I,/=3.

在(-00,1)內(nèi),.(x)>0在(1,3)內(nèi),一(x)<0故f⑴=4為函數(shù)f(x)的極大值。

同理知f(3)=0為f(x)極小值。

解法2：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-co,+oo),且/'(x)=3x2-12%+9,/"(x)=6x-12,

令尸(x)=0,得駐點(diǎn)為七=1?2=3。又因?yàn)槭?(1)=—6<0,所以f(1)=4為極大值，

尸'(3)=6>0所以，f(3)=0為極小值。

2

例8求函數(shù)/(x)=2—(x—l)3的極值。