考研數(shù)學(xué)二-273-真題(含答案與解析)-交互

考研數(shù)學(xué)二-273(總分150,做題時(shí)間90分鐘)一、選擇題

下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.

若函數(shù)y=f(x)有，則當(dāng)Δx→0時(shí)，該函數(shù)在x=x0點(diǎn)處的微分dy是______．A

與Δx等價(jià)的無窮小B

與Δx同階的無窮小C

比Δx低階的無窮小D

比Δx高階的無窮小該題您未回答:х

該問題分值:4答案:B[考點(diǎn)]等價(jià)無窮小

[解析]由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系(當(dāng)Δx=dx→0)，dy是與Δx同階且不等價(jià)的無窮?。?.

設(shè)，則存在函數(shù)u=u(x)，使______．A

I1=I2+xB

I1=I2-xC

I2=-I1D

I2=I1該題您未回答:х

該問題分值:4答案:D[考點(diǎn)]不定積分的計(jì)算

[解析]，設(shè)u=xex，則3.

______．A

1B

0C

.aD

不存在該題您未回答:х

該問題分值:4答案:B[考點(diǎn)]極限、夾逼定理

[解析]由函數(shù)性質(zhì)，，使當(dāng)x＞X＞0時(shí)，

有，

應(yīng)用夾逼定理得．4.

設(shè)，其中f為連續(xù)的奇函數(shù)，D是由y=-x3，x=1，y=1所圍成的平面閉域，則k等于______．

A．0

B．

C．

D．2A

B

C

D

該題您未回答:х

該問題分值:4答案:B[考點(diǎn)]二重積分

[解析]如圖：加一條曲線y=x3，將D分為D1和D2，

則

而

因?yàn)閒為奇函數(shù)，所以f(-xy)=-f(xy)，

而D1，D2分別對(duì)稱y軸和x軸，故有，，

從而原積分．

5.

已知，設(shè)，則F(x)為______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

該題您未回答:х

該問題分值:4答案:D[考點(diǎn)]根據(jù)x的取值范圍和積分的可加性，分段討論積分即可

[解析]當(dāng)D≤x＜1時(shí)，；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，，故綜上有．6.

設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量Δx=-0.1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部為0.1，則f"(1)=______．A

-1B

0.1C

1D

0.5該題您未回答:х

該問題分值:4答案:D[考點(diǎn)]增量與微分

[解析]由于增量的線性主部等于函數(shù)的微分，因此由題設(shè)

Δy=Δf(x2)=2xf(x2)Δx+o(Δx)，

將x=-1，Δx=-0．1代入得

Δy|x=-1=-2f"(1)Δx+o(Δx)=0.2f"(1)+o(Δx)=0.1+o(Δx)，

所以0.2f"(1)=0.1，．7.

A是n階矩陣，且A3=0，則______．**不可逆，E-A也不可逆**可逆，E+A也可逆**+E與A2+A+E均可逆**不可逆，且A2必為0A

B

C

D

該題您未回答:х

該問題分值:4答案:C[考點(diǎn)]矩陣的可逆性

[解析]由行列式性質(zhì)|A|3=|A3|=0，可知A必不可逆，但從(E-A)(E+A+A2)=E-A2=E，(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E，知E-A，E+A，E+A+A2，E-A+A2均可逆．

當(dāng)A3=0時(shí)，A2是否為0是不能確定的，

例如：有

但且．8.

已知A=(aij)n×n，B=(bij)n×n且有關(guān)系．則下列關(guān)系式正確的是______．A

A(B+E)=BB

(B+E)A=BC

B(A-E)=AD

(E-A)B=A該題您未回答:х

該問題分值:4答案:B[考點(diǎn)]矩陣的乘法

[解析]由關(guān)系，

得B=A+BA，從而得B=(E+B)A．二、填空題1.

______．該題您未回答:х

該問題分值:4e[考點(diǎn)]數(shù)列的極限

[解析]因?yàn)?，所?.

曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為______．該題您未回答:х

該問題分值:4[考點(diǎn)]參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

[解析]因，故其切線的斜率為法線斜率為3.

______．該題您未回答:х

該問題分值:4-cotxln(sinx)-cotx-x+C[考點(diǎn)]不定積分

[解析]原式=-∫ln(sinx)d(cotx)=-cotxln(sinx)+∫cotxd[ln(sinx)]

=-cotxln(sinx)+∫(csc2x-1)dx=-cotxln(sinx)-cotx-x+C．4.

函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間______．該題您未回答:х

該問題分值:4[考點(diǎn)]導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

[解析]，所以．5.

微分方程的通解是______．該題您未回答:х

該問題分值:4y=Cxex，C為任意常數(shù)[考點(diǎn)]一階微分方程的通解

[解析]微分方程是可變量分離的一階方程，分離變量得

積分得ln|y|=ln|x|+x+C1，即|y|=eC1|x|ex，

所以，原方程的通解為y=Cxex，C為任意常數(shù)．6.

設(shè)A=(aij)n×n是正交矩陣，將A以行分塊為A=(α1，α2，…αn)T，則方程組AX=b，b=(b1，…，bn)T的通解為______．該題您未回答:х

該問題分值:4[考點(diǎn)]方程組的通解

[解析]因A為正交矩陣，故A-1=AT，而方程組AX=b的解為：

三、解答題

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)z=f(2x-y，ysinx)，其中f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求．該題您未回答:х

該問題分值:10這是求帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)．先求．

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得

則[考點(diǎn)]復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)2.

已知，求常數(shù)a．該題您未回答:х

該問題分值:10由有2a=ln9，于是a=ln3．[考點(diǎn)]極限中常數(shù)的確定設(shè)a，b為正常系數(shù)，λ為非負(fù)常數(shù)，微分方程3.

求該方程的通解；該題您未回答:х

該問題分值:5.5通解為4.

證明：當(dāng)λ=0時(shí)，；當(dāng)λ＞0時(shí)，．該題您未回答:х

該問題分值:5.5當(dāng)λ=0時(shí)，，

所以，．

當(dāng)x＞0且λ≠a時(shí)，，

當(dāng)x＞0且λ=a時(shí)，y(x)=(bx+c)e-ax，．[解析]微分方程的通解5.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞]上連續(xù)，且f(0)＞0，已知其在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均值，求f(x)．該題您未回答:х

該問題分值:10由題意得，令，

有，兩邊求導(dǎo)，得，

即．令，得，

可求得，即．[考點(diǎn)]平均值的相關(guān)計(jì)算6.

求微分方程y"+5y"+6y=2e-x的通解．該題您未回答:х

該問題分值:10所給微分方程的特征方程為λ2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0，故特征根為-2和-3，于是，對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解為，其中C1，C2為任意常數(shù)．設(shè)所給非齊次方程的特解為y*(x)=Ae-x．將y*(x)代入原方程，可得A=1．

由此得所給非齊次微分方程的一個(gè)特解是y*(x)=e-x，

從而，所給微分方程的通解為y(x)=C1e-2x+C2e-3x+e-x．[考點(diǎn)]微分方程的通解7.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且遞減，證明：當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，該題您未回答:х

該問題分值:10因f(x)在[0，1]上連續(xù)，由定積分的可加性和積分中值定理知

=λ(1-λ)[f(ξ)-f(η)]，其中0＜ξ＜λ＜1．

又0＜λ＜1，f(x)在[0，1]上遞減，則0＜1-λ＜1，f(ξ)＞f(η)，

因此λ(1-λ)[f(ξ)-f(η)]]≥0，故[考點(diǎn)]利用函數(shù)的單調(diào)性及積分中值定理已知曲線L的方程為8.

討論L的凹凸性．該題您未回答:х

該問題分值:3.XX667先求．由已知，

代入y得，于是．

所以曲線L是凸的．9.

過點(diǎn)(-1，0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0，y0)，并寫出切線的方程．該題您未回答:х

該問題分值:3.XX667設(shè)L上切點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程是．

令x=-1，y=0，則有．

再令，得，即．

解得t0=1，t0=-2(不合題意)．所以切點(diǎn)是(2，3)，相應(yīng)的切線方程是

y=3+(x-2)，即y=x+110.

求此切線與L(對(duì)應(yīng)于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積．該題您未回答:х

該問題分值:3.XX667切點(diǎn)為(x0，y0)的切線與L及x軸所圍成的平面圖形如下圖所示，則所求平面圖形的面積為

[解析]切線方程、平面圖形的面積11.

已知4階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組Ax=β的通解．該題您未回答:х

該問題分值:11由α2，α3，α4線性無關(guān)及α1=2α2-α3，知，向量組的秩r(α1，α2，α3，α4)=3，即矩陣A的秩為3，因此Ax=0的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量，

那么由知，Ax=0的基礎(chǔ)解系是(1，-2，1，0)T．

再由知，(1，1，1，1)T是Ax=β的一個(gè)特解．

故Ax=β的通解是，其中k為任意常數(shù)．[考點(diǎn)]線性方程組的通解12.

設(shè)A是n階正定矩陣，E是n階單位陣，證明A+E的行