第二十七章相似單元測試卷2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十七章相似單元測試卷一、單選題1．下列圖形中，不屬于位似圖形的是（）.A． B．C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3．某天的同一時(shí)刻，甲同學(xué)測得1m的測竿在地面上的影長為0.6m，乙同學(xué)測得國旗旗桿在地面上的影長為9.6m。則國旗旗桿的長為(）A．10m B．12m C．14m D．16m4．下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）A．兩個(gè)菱形 B．兩個(gè)周長相等的直角三角形C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)等腰梯形5．下列說法正確的是（）A．對角線相等且互相平分的四邊形是菱形B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形C．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似D．兩邊成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似6．如圖，已知正方形和正方形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接和，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，正確的有多少個(gè)？（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，在中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，且，連接，，相交于點(diǎn)G，則（）A．6：7 B．7：6 C．3：4 D．4：58．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形，也知道，如果兩個(gè)幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個(gè)正方形，它們的邊長、對角線等所有元素都對應(yīng)成比例，就可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形．現(xiàn)給出下列4對幾何圖形：①兩個(gè)圓；②兩個(gè)菱形；③兩個(gè)長方形；④兩個(gè)正六邊形，是相似圖形的有（）A．①③ B．①② C．①④ D．②③9．如圖，E是的邊的延長線上一點(diǎn)，連接交于F，則圖中共有相似三角形（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對10．如圖是一個(gè)裝置的示意圖，其中圓形吊艙初始位置與水平橫桿、卡槽相切.水平橫桿米，米，吊艙半徑為10米.放開擋板后，吊艙沿著水平橫桿向點(diǎn)A方向勻速平移，平移速度是每秒1米.從放開擋板，直至吊艙觸碰豎直放置的為止（），吊艙平移的時(shí)間為（）A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒二、填空題11．已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=4厘米，則較短線段AP的長是厘米．12．如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相鄰兩條直線的距離相等.若直線l8分別與l1，l2，l5，l7相交于點(diǎn)A，B，C，D，則AB：BC：CD為.13．已知△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4：1，則△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比為．14．如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，－6），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，7），半徑為5，若P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與x軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是．三、解答題15．已知，正方形ABCD，點(diǎn)P在對角線BD上，連接AP、CP(如圖①)

(1)求證：AP＝CP.

(2)將一直角三角板的直角頂點(diǎn)置于點(diǎn)P處并繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)兩直角邊分別交DC、BC于E、F，

a.若旋轉(zhuǎn)到圖②位置，使PE與PA在一直線上，求證：PF＝PA.

b.若旋轉(zhuǎn)到圖③位置且PD∶PB＝2∶3，求PE∶PF的值.16．如圖所示，AB是的直徑.于點(diǎn).求證：.17．如圖，已知，和相交于點(diǎn)，，，是上一點(diǎn)，：：．（1）求的長；（2）如果的面積為，求的面積．18．已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EF∥BD，AE、AF分別交BD于點(diǎn)G和點(diǎn)H，BD=12，EF=8。求：（1）的值。（2）線段GH的長。

19．如圖，△ABC中，DE∥BC，如果AD=2，DB=3，AE=4，求AC的長.四、綜合題20．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB.（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長.21．將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，我們將這種變換記為[α，n]．（1）如圖①，對△ABC作變換[58°，]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC＝；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為度；（直接寫出結(jié)果）（2）如圖②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，對△ABC作變換[α，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為矩形，求α和n的值；（3）如圖③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝2，對△ABC作變換[α，n]得△AB′C′，變換后點(diǎn)B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，則n的值為．（直接寫出結(jié)果）22．銳角中，，，兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊，上滑動(dòng)，且，以為邊向下作正方形，設(shè)其邊長為x，正方形與公共部分的面積為（1）中邊上高；（2）當(dāng)恰好落在邊上時(shí)，求x的值（如圖1）；（3）當(dāng)在外部時(shí)（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)y最大，最大值是多少？23．如圖，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)Q作分別交、于點(diǎn)M、N，連接、.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；（2）求四邊形面積的最大值或最小值；（3）是否存在這樣的直線l，總能平分四邊形的面積？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由；（4）連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)N到的距離.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、屬于位似圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、屬于位似圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、屬于位似圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不屬于位似圖形，故此選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【分析】位似的兩個(gè)圖形，不僅僅是相似圖形，而且對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行，據(jù)此逐項(xiàng)判斷得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】∵DE∥BC、EF∥CD，∴△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，則==、==，故A正確；∴=，即=，故B正確；由=、=知=，即=，故D正確.故答案為：C.【分析】由DE∥BC、EF∥CD得△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，據(jù)此知==、==，利用比例的基本性質(zhì)逐一判斷可得.3．【答案】D【解析】【解答】∵身高與影長成正比例設(shè)國旗旗桿的長為xm.,∴國旗旗桿的長為x=16m.故答案為：D.【分析】利用在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似.4．【答案】C【解析】【解答】A.兩個(gè)菱形，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定成相等，故不符合題意；B.兩個(gè)周長相等的直角三角形，只有一個(gè)直角相同，銳角不一定相等，故不符合題意；C.兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意；D.兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意.故答案為：C.

【分析】根據(jù)相似圖形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：A．：對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形．則A選項(xiàng)不符合題意；B：對角線垂直且相等的平行四邊形四邊形是正方形，則B選項(xiàng)不符合題意；C：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，則C選項(xiàng)符合題意；D：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．則D選項(xiàng)不符合題意．故答案為：C．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得，兩個(gè)角分別相等的三角形相似。6．【答案】C【解析】【解答】解：①∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴①不符合題意；②連接，，如圖，∵四邊形為正方形，∴，∵四邊形是正方形，、分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合題意；③∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴∴，故③符合題意；④∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，故④符合題意；故答案為：C．

【分析】①，得出，可判斷①的正誤；②連接，，證明，可判斷②的正誤；③先證明，得出，再證明，得出，可判斷③的正誤；④證明，得出，可判斷④的正誤。7．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，延長交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：A.【分析】延長CF、DA交于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，證明△FAH∽△FBC，根據(jù)已知條件結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)AH=2a，則BC=AD=3a，由中點(diǎn)的概念可得AE=，則HE=AH+AE=a，證明△GHE∽△GCB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.8．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似形的定義，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案。

【解答】①兩個(gè)圓，形狀相同，而大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確；

②兩個(gè)菱形，屬于不唯一確定圖形，不一定相似，故錯(cuò)誤；

③兩個(gè)長方形，屬于不唯一確定圖形，不一定相似，故錯(cuò)誤；

④兩個(gè)正六邊形，形狀相同，而大小不一定相同，符合相似形的定義，故正確。

故選C．

【點(diǎn)評】本題考查的是相似形的識別，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，∴△EAB∽△AFD.故答案為：B.【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠FCE，∠DAF=∠E，由對頂角的性質(zhì)可得∠AFD=∠EFC，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行解答.10．【答案】B【解析】【解答】如圖，圓形吊艙初始位置與水平橫桿、卡槽相切時(shí)的圓心為F，切點(diǎn)分別為P，O，連接FP，F(xiàn)O，CF，延長CF交AB于點(diǎn)G，則∠FPC=∠FOC=90°，∵FP=FO，F(xiàn)C=FC，∴△FPC≌△FOC，∴∠PCF=∠OCF，過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，∵GA⊥AC，∴GA=GH，在直角三角形ABC和直角三角形BGH中，∵AB=60，AC=80，∴tanB=，設(shè)GH=4k，則BH=3k，BG==5k，GA=4k，∴AB=60=BG+GA=4k+5k=9k，∴k=，∴GA=，過點(diǎn)F作FM∥AC，交AB于點(diǎn)M，圓心F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q停止，此時(shí)與AC切于點(diǎn)N，與AB切于點(diǎn)M，連接QN，∵∠A=∠QMA=∠QNA=90°，∴四邊形AMQN是矩形，∵QM=QN，∴四邊形AMQN是正方形，∴MA=MQ=10，MG=GA-MA=-10=，∵FM∥AC，∴△GMF∽△GAC，∴，∴，∴QF=40，∵∠QNP=∠NPF=∠NQF=90°，∴四邊形NQFP是矩形，∴NP=QF=40，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間40÷1=40（秒）故答案為：B.【分析】圓形吊艙初始位置與水平橫桿AC、卡槽BC相切時(shí)的圓心為F，切點(diǎn)分別為P，O，連接FP，F(xiàn)O，CF，延長CF交AB于點(diǎn)G，則∠FPC=∠FOC=90°，證明△FPC≌△FOC，得到∠PCF=∠OCF，過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，得到GA=GH，求出∠B的正弦函數(shù)值，設(shè)GH=4k，則BH=3k，則BG=5k，GA=4k，表示出AB，根據(jù)AB=60可得k的值，得到GA，過點(diǎn)F作FM∥AC，交AB于點(diǎn)M，圓心F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q停止，此時(shí)與AC切于點(diǎn)N，與AB切于點(diǎn)M，連接QN，則四邊形AMQN是正方形，證明△GMF∽△GAC，由相似三角形的性質(zhì)求出QF，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NP=QF=40，據(jù)此解答.11．【答案】6-2【解析】【解答】∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴較長線段BP=×4=2-2（厘米），∴較短線段AP=4-（2-2）=6-2（厘米），故答案為：6-2．

【分析】黃金分割比：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。黃金分割比是一個(gè)定值，即。

12．【答案】1：3：2【解析】【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相鄰兩條直線的距離相等，設(shè)AB=1，

∴BC=3，CD=2

∴AB：BC：CD=1：3：2.

故答案為：1：3：2.

【分析】利用已知每相鄰兩條直線的距離相等，設(shè)AB=1，可得到BC，CD的長，由此可求出AB：BC：CD的比值.13．【答案】4：1【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為4：1，∴△ABC與△DEF對應(yīng)邊上的高之比是4：1，故答案為：4：1．【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比等于相似比得出即可．14．【答案】【解析】【解答】解：當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，切點(diǎn)在軸的右邊，此時(shí)最長，則△ABD的面積最大．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，－6），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，7），半徑為5，連接PC，則∠CPB=90°，在直角△BCP中，．∵為的切線，則∠CPB=90°．∴∠DOB=∠CPB=90°又∵∠DBO=∠CBP，∴△OBD∽△PBC，∴，∴．∴，∴S△ABD=AD?OB=．故答案為：【分析】先根據(jù)題意得到當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，切點(diǎn)在軸的右邊，此時(shí)最長，則△ABD的面積最大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，連接PC，則∠CPB=90°，根據(jù)勾股定理即可求出BP，再結(jié)合切線的性質(zhì)得到∠DOB=∠CPB=90°，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合題意即可得到．從而得到AD，再根據(jù)三角形的面積即可求解。15．【答案】（1）證明：∵BD是正方形ABCD的對角線∴ADB=CDB=45∵在正方形ABCD中，AD=DC，且DP是公共邊∴ADPCDP∴AP=CP（2）a證明：連接PC由題1知AP=CP又∵AB=CB，BP=BP∴ABPCBP∴BAP=BCP①由題意知FPE=FPA=90∴BPA=FPA-FPB=90-FPB又ABD=CBD=45∴BAP=180-ABD-BPA=180-45-(90-FPB)=45+FPB②又∵CFP是BPF的外角∴CFP=CBD+FBP=45+FBPCFP=BAP②由①②知BCP=CFP∴PF=PC∴PF=PAb解：在圖③中過P點(diǎn)分別作BC和CD的垂線，垂足分別為G、H在RTDBC中，BCDC，PGDC則PEBC∴又PG=HC∴又∵HPF=GPE=90-FPG∴HPFGPE∴【解析】【分析】本題難度屬于較易，主要考查了全等三角形和相似三角形的相關(guān)問題16．【答案】證明：如圖所示，連結(jié)是的直徑，.又，

又【解析】【分析】連接AD，利用直徑所對圓周角是直角可證得∠ADB=90°，可推出∠ADB=∠CEB，利用有兩組對應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△CBE∽△ABD，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可證得結(jié)論.17．【答案】（1）解：，，和同高，且：：（2）解：，∽，【解析】【分析】（1）先根據(jù)求得再利用：：，得出的值，最后利用平行線分線段成比例定理即可求解；

（2）先根據(jù)，EF//BD，得出EF//AC，進(jìn)一步得出利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.18．【答案】解：（1）∵EF∥BD，

∴CF：CD=EF：BD，

∵BD=12，EF=8，

∴CF：CD=2：3，

∴DF：CD=1：3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，

∴DF：AB=1：3；

（2）∵DF∥AB，

∴FH：AH=DF：AB=1：3，

∴AH：AF=3：4，

∵EF∥BD，

∴GH：EF=AH：AF=3：4，

∴GH：8=3：4，

∴GH=6．【解析】【分析】（1）根據(jù)EF∥BD，則CF：CD=EF：BD，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出DF：AB的值；

（2）利用DF∥AB，則FH：AH=DF：AB=1：3，進(jìn)而得出GH：EF=AH：AF=3：4，求出GH即可．19．【答案】解：∵DE∥BC，∴即．∴EC＝6．∴AC＝AE+EC＝10【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，得出比例式，再將線段的長代入建立關(guān)于EC的方程，求出EC的長，然后根據(jù)AC＝AE+EC，求出AC即可。20．【答案】（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC.∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半徑，∴DC為⊙O的切線；（2）解：連接BC，則∠ACB=90°.∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC2=AD?AB.∵⊙O的半徑為3，AD=4，∴AB=6.∴.【解析】【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAC=∠OCA，由角平分線的概念可得∠DAC=∠OAC，推出∠DAC=∠OCA，則OC∥AD，據(jù)此證明；

（2）連接BC，由圓周角定理可得∠ACB=90°，證明△ADC∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)求解即可.21．【答案】（1）5：1；58（2）解：如圖2中，∵四邊形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′＝90°．∴α＝∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°，∠BAB′＝60°，∴∠AB′B＝30°．∴AB′＝2AB．∴n＝AB（3）【解析】【解答】解：（1）如圖1中，延長BC交AC于點(diǎn)O交B′C′的延長線于K．∵A'C'AC＝A'∴△A′B′C′∽△ABC，∴S△A'B'C'∵∠ACB＝∠A′C′B′，∴∠ACO＝∠OC′K，∵∠AOC＝∠KOC′，∴∠K＝∠CAO＝58°故答案為：5：1，58°

（3）如圖3中，∵∠BAC＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵四邊形AB′C′是平行四邊形，∴AB∥B′C′，∴∠B+∠BB′C′＝108°，∵∠AB′C′＝72°，∴∠AB′B＝36°，∴∠BAB′＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠CAB＝∠CB′A＝36°，∴AB＝AC＝CB′，設(shè)AB＝AC＝CB′＝m，∴B′B＝B′A＝m+2，∵△ABC∽△B′BA，∴BA：B′B＝BC：BA，∴m2＝2（2+m），∴m＝1+或1﹣（舍棄）∴n＝AB'AB＝＝故答案為【分析】（1）如圖1中，延長BC交AC于點(diǎn)O交B′C′的延長線于K，結(jié)合已知條件可證A'C'AC＝A'B'AB＝22．【答案】（1）3（2）解：當(dāng)恰好落在邊上時(shí)，交于G（如圖1）設(shè)，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：設(shè)分別交于E，F(xiàn)，則四邊形為矩形．設(shè)