專題06 三角形（全等、相似）（2大易錯點分析+19個易錯點+易錯題通關）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學考試易錯題（江蘇專用）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁專題06三角形（全等、相似）三角形（全等、等腰、直角）專題易錯點：1.三角形的概念：對于三角形的定義、性質及分類理解不夠深入，容易混淆等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等概念。2.三角形的邊和角：對于三角形的三邊關系（如任意兩邊之和大于第三邊）和三角形內角和等于180度的性質理解不透徹，導致在解題時出錯。3.三角形的全等：對于三角形全等的判定條件（如SAS、ASA、AAS、SSS等）掌握不熟練，容易在判定過程中出錯。4.三角形的相似：對于三角形相似的判定條件（如AA、SAS、SSS等）理解不夠深入，容易混淆相似和全等的概念。5.三角形的面積：對于三角形面積的計算公式（如底乘高除以2）掌握不熟練，容易在計算過程中出現(xiàn)錯誤。6.三角形的中位線：對于三角形中位線的性質（如中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）理解不夠深入，導致在解題時出錯。7.三角形的角平分線：對于三角形角平分線的性質（如角平分線將相對邊分為兩段，這兩段與該角兩邊的比例相等）掌握不熟練，容易在解題時出錯。易錯點1：三角形的垂心例：在中，是的垂心，若與的面積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查勾股定理，銳角三角形的垂心，解題的關鍵在于根據(jù)題意正確畫圖．根據(jù)三角形的內角和求出，設，通過勾股定理求出，那么面積比即可求出．【詳解】作交于點即設即故選：B．

變式1：如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則．【答案】/42度【分析】本題考查了三角形的三條高交于一點，三角形內角和定理．熟練掌握三角形的三條高交于一點是解題的關鍵．如圖，延長交于，則為邊上的高，即，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于，∵兩條高交于點O，∴為邊上的高，即，∴，故答案為：．變式2：（1）在正方形方格紙中，我們把頂點都在“格點”上的三角形稱為“格點三角形”，如圖，△ABC是一個格點三角形，點A的坐標為（－2，2）．①△ABC的面積為______；②在所給的方格紙中，請你以原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半；（僅用直尺完成作圖）③在（2）中，若P（a，b）為線段AC上的任一點，則縮小后點P的對應點P1的坐標為______．（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：我們知道，三角形具有性質：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高所在直線相交于一點．請運用上述性質，只用直尺（不帶刻度）作圖．①如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F．②如圖2，在由小正方形組成的4×3的網格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH．【答案】（1）①；②見解析；③；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）①直接根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可；②利用位似圖形的性質得出對應點的坐標進而得出答案；③由位似變換的性質可得答案；（2）①根據(jù)平行四邊形的性質，先連接和得到的中點，再連接交于點，則點為的重心，連接并延長交于點，則點即為所求；②先過點作，再平移得到，則，接著作垂直平分線，平移得到，，與的交點為的垂心，所以延長交與，則．【詳解】解：（1）①,故答案為：；②如圖，即為所求，③若P（a，b）為線段AC上的任一點，則縮小后點P的對應點P1的坐標為，故答案為：；（2）①如圖1，點即為所作；②如圖2，即為所作．【點睛】本題考查了作圖－位似變換，重心，平行四邊形的性質，三角形的垂心等知識點，熟練掌握相關的圖形的性質是解本題的關鍵．易錯點2：三角形的重心例：如圖，點G是的重心，過點G作分別交于點M，N，過點N作交于點D，則四邊形與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定和性質、三角形的重心、平行四邊形的判定和性質等知識點，關鍵是掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．如圖：連接，延長交于H，由三角形重心的性質得到，，由，推出，，由，推出，由平行四邊形的性質推出，得到，由，推出，得到即可解答．【詳解】解：如圖：連接，延長交于H，∵點G是的重心，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形與的面積之比是．故選：C．變式1：如圖，在中，，點是的重心，連結，如果，那么的正切值為．【答案】【分析】本題考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，過G作于G，延長交于點，證明，結合G為的重心，可得，根據(jù)，得，進而根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：過G作于G，延長交于點，如圖：∵，∴，，又∵，∴，∴，∵G為的重心，∴，∵，∴，∴，則在直角三角形中，，故答案為：．變式2：【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第78頁的部分內容．例2

如圖，中，D、E分別是邊、的中點，、相交于G．求證：．證明

連結，根據(jù)教材內容，結合圖①，給出例2的完整證明過程．【結論概括】如果在圖①中，取的中點F，假設與交于，如圖②，那么我們同理有，所以有，即兩圖中的點G與是重合的．于是，我們有以下結論：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的_______．【結論應用】如圖③所示，在中，已知點D，E，F(xiàn)分別是，，的中點，、相較于點O，且，則四邊形的面積值為_______．【答案】教材呈現(xiàn)：見解析；結論概括：；結論應用：2【分析】本題考查了相似三角形判定及性質，三角形中位線定理，關鍵是根據(jù)三角形的重心性質：重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的解答．教材呈現(xiàn)：連接，如圖①，先利用三角形中位線的性質得到，，則證明，利用相似三角形的性質得，然后利用比例的性質得到結論；結論概括：根據(jù)，，則，即兩圖中的點與是重合的，即可歸納出結論；結論應用：根據(jù)三角形中線的性質得，，，則，，由題意知為三角形的重心，則，可得，進而根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】解：教材呈現(xiàn)：連接，如圖①，∵、分別為、的中點，∴為的中位線，∴，，∴，∴，∴，即；結論概括：由上可知，，，則，即兩圖中的點與是重合的．則三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的，故答案為：；結論應用：∵，為的中點，∴，∵為的中點，∴，，則，∵為的中點，為的中點，∴，為三角形的重心，則，∴，則四邊形的面積為，故答案為：2．易錯點3：三角形的外心例：如圖，已知是的外心，分別是、的中點，連接、交于點，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性質和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接，，由題意得出，，可證得，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】連接，，如圖，∵是的外心，、分別是、的中點，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，故選：．變式1：如圖，點是的內心，也是的外心．若，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關鍵是掌握內心與外心的區(qū)別．連接，，根據(jù)點是的內心，，可得，再根據(jù)點也是的外心，和圓周角定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，點是的內心，，，是，的平分線，，，，點也是的外心，，則的度數(shù)為．故答案為：變式2：如圖，在銳角三角形中，，是的外接圓，連接，，延長交于點D．(1)求證：平分；(2)若的半徑為5，，求的長．(3)若，求的值（用含m的代數(shù)式表示）．【答案】(1)證明見解析(2)1.5(3)【分析】（1）過點A作于點P，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得出，垂直平分，再點O是的外接圓圓心，則點O在上，即可得結論；（2）證明，得，即，解得，，所以，由即可得到答案．（3）由，則，又由（2）知，所以，則有，所以，即可求解．【詳解】（1）證明：過點A作于點P，，，，∵點O是的外接圓圓心，∴點O在上，∴，平分．（2）解：，，由（1）知，∴，∵，，，即，解得，，∴，∴．（3）解：∵，∴，，∴，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形外接圓，相似三角形的判定與性質，比例的性質等知識．熟練掌握等腰三角形的性質、三角形外接圓的性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．易錯點4：三角形的內心例：如圖，若是的內切圓，且，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了三角形的內切圓的性質和三角形內角和定理．由三角形內切圓定義可知、是、的角平分線，所以可得到關系式，得出，最后利用三角形內角和定理即可求出答案．【詳解】解：∵點O是的內心，∴，∴，∴．故選：C.變式1：如圖，點I是的內心，，，，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，角平分線的性質，解直角三角形，熟練作出輔助線是解題的關鍵，過點B作交延長線于點D，根據(jù)三角形的內心性質可得，進而求得，再利用解直角三角形求出，進而可求解．【詳解】解：過點B作交延長線于點D，點I是的內心，在直角三角形中，，故答案為：．變式2：閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應的任務．在某科技雜志上有這樣一道題：如圖1，在中，三邊分別為是的內切圓，切點分別為．求的半徑．思路分析：如圖1．連接，則存，，設．于是有，∴．（其中S表示的面積，p表示的周長的一半）用語言敘述：三角形的內切圓的半徑．若已知的三邊長，如何求的面積呢？我國南宋時期數(shù)學家秦九韶（約1202～1261），曾提出利用三角形的三邊長求它的面積的秦九韶公式：若則秦九韶公式為．例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面積．解：，……任務：(1)請完成材料中利用秦九韶公式求面積的剩余步驟，并求出的內切圓的半徑．(2)如圖2，在中，為它的內切圓，則的長為______．【答案】(1)剩余步驟見解析，的內切圓的半徑為(2)1【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，三角形的內切圓，正方形的判定和性質，正確運用材料中的公式是解題的關鍵．（1）利用二次根式及有理數(shù)的運算法則計算出，再根據(jù)計算的內切圓的半徑；（2）先利用勾股定理求出，進而求出的周長的一半和，根據(jù)即可求出的內切圓的半徑，再證四邊形是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：，又的周長的一半，的內切圓的半徑．（2）解：如圖，連接和，在中，，，設，p為的周長的一半，則，，的內切圓的半徑．；又為的內切圓，，，，四邊形是正方形，．故答案為：1．易錯點5：倍長中線法例：如圖，在中，已知與的面積相等，如果，，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．根據(jù)三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，構造一個新的三角形．根據(jù)三角形的三邊關系就可以求解．【詳解】解：延長到E，使，，已知與的面積相等，為的底邊的中線，，在和中，，，，，，在中，，，，；故選：B變式1：已知中，，，是的邊上的中線，則中線的范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系．延長至，使，連接．根據(jù)證明，得，再根據(jù)三角形的三邊關系即可求解．【詳解】解：延長至，使，連接．

在和中，，∴（），∴．在中，，即，∴．故答案為：．變式2：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系．（1）由作圖可得，根據(jù)“”證得，得到，在中，根據(jù)三角形的三邊關系有，代入即可求解；（2）延長到M，使得，連接，則，由（1）同理可證，得到，，從而，又，因此，進而得證，故；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，證得得到，證得得到．延長交于F，由三角形的三邊關系得到，即．【詳解】（1）∵，∴∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，即，∴．故答案為：（2），理由：如圖，延長到M，使得，連接，∴，∵是的中線，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點為M，連接并延長至N，使，連接、，∵點M是的中點，∴，在和中，∴，∴∵，∴，即，在和中，∴，∴，延長交于F，則，且，∴，∴，即．易錯點6：等腰三角形的新定義例：經過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形．如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”，如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、相似三角形的性質等知識帶你，由是等腰三角形，，則，即，分和兩種情形，分別根據(jù)等腰三角形的性質、相似三角形的性質求解即可．正確分類是解題的關鍵【詳解】解：∵和相似，∴，∵是等腰三角形，，∴，即，①當時，即，∴，②當時，，∴，故選：C．變式1：定義：如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，則的面積為．【答案】或4【分析】分情況討論，當是（或）2倍時，為等腰直角三角形；當或時，利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可．【詳解】解：當時，則，∴，∵，，∴，∴的面積為；同理，當時，的面積為；當時，∵，則，，∵，∴，，∴的面積為；當時，∵，則，，∵，∴，，∴的面積為；綜上，的面積為或4；故答案為：或4．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，正確理解“倍角三角形”的概念，分類討論是解題的關鍵．變式2：定義：如果三角形中，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，那么這個三角形叫“完美三角形”．(1)下列三角形一定是“完美三角形”的是．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形(2)如圖1，是“完美三角形”，且．若正方形和正方形的面積分別是7和25，則正方形的面積是．(3)如圖2，在四邊形中，，．E是四邊形外一點，且，．求證：是“完美三角形”．(4)若是“完美三角形”，且一條直角邊長為，求斜邊長．【答案】(1)D(2)43(3)見解析(4)或【分析】本題考查了勾股定理、新定義的理解和一元二次方程的應用，解決本題的關鍵是掌握新定義的理解．（1）設等邊三角形的邊長為x，再根據(jù)新定義即可判斷；（2）根據(jù)正方形的性質可求得正方形和正方形兩邊的邊長，再根據(jù)新定義即可求得正方形的邊長，進而即可求得面積；（3）連接，根據(jù)勾股定理和新定義即可求判斷求解；（4）根據(jù)是“完美三角形”進行分類討論求解即可．【詳解】（1）解：設等邊三角形的邊長為x，則，∴等邊三角形是“完美三角形”，故選D；（2）∵正方形和正方形的面積分別是7和25，∴，∵是“完美三角形”，且，∴，∴，∴，故答案為：43；（3）解：連接．∵，∴和均為直角三角形，在中，，在中，，∵，∴，∴是“完美三角形”．（4）解：設斜邊長為x，則另一邊長為，∵是“完美三角形”，∴或，解得（舍去）或（舍去），故答案為：或；易錯點7：兩圓一線畫等腰例：在平面直角坐標系中，已知，在坐標軸上確定一點P使得為等腰三角形，則滿足條件的點可以畫出（

）A．4個 B．6個 C．8個 D．7個【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得出可能為底，可能為腰兩種情況，依此即可得出答案．【詳解】解：如圖：①以A為圓心，以為半徑作圓，此時交坐標軸于兩個點（除外）；②以O為圓心，以為半徑作圓，此時交坐標軸于四個點；③作線段的垂直平分線，此時交坐標軸于兩個點，共有：，故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定的應用，注意有兩邊相等的三角形是等腰三角形，注意要進行分類討論．變式1：在平面直角坐標系中，已知點，點Q在坐標軸上，是等腰三角形，則滿足條件的點Q共有個．【答案】8【分析】此題主要考查等腰三角形的性質，垂直平分線的判定，根據(jù)等腰三角形的性質作出圖形，利用數(shù)形結合的思想是解決問題的關鍵．【詳解】解：由題意可知：是等腰三角形，當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與坐標軸交于，（除點外），當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與坐標軸交于，，，，當時，即點在的垂直平分線，與坐標軸交于，，

結合圖形，綜上，滿足條件的點共有8個，故答案為：8．變式2：如圖，中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，設出發(fā)的時間為秒．(1)出發(fā)2秒后，求線段的長．(2)問為何值時，為等腰三角形？(3)另有一點，從點開始，技的路徑運動，且速度為每秒，若兩點同時出發(fā)，當中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？【答案】(1)厘米(2)3秒、秒、6秒、秒(3)2或6秒【分析】（1）本題考查勾股定理，根據(jù)運動得到結合勾股定理即可得到答案；（2）本題考查動點圍城等腰三角形問題，分類討論等腰三角形的腰，結合勾股定理及動點路程問題根據(jù)腰相等列式求解即可得到答案；（3）本題考查勾股定理及動點三角形周長問題，根據(jù)題意得到動點位置結合運動表示出線段的長度根據(jù)周長相等列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：如圖1，由，，，，動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，出發(fā)2秒后，則，，；（2）解：①如圖2，若在邊上時，，此時用的時間為為等腰三角形；②若在邊上時，有三種情況：ⅰ）如圖3，若使，此時，運動的路程為，∴用的時間為，為等腰三角形；ⅱ）如圖4，若，過作斜邊的高，根據(jù)面積法求得高為，作于點，在中，，所以，所以運動的路程為，則用的時間為，為等腰三角形；ⅲ）如圖5，若，此時應該為斜邊的中點，運動的路程為則所用的時間為，為等腰三角形；綜上所述，當為時，為等腰三角形；（3）解：如圖6，當點在上，在上，則，，直線把的周長分成相等的兩部分，，；如圖7，當點在上，在上，則，，直線把的周長分成相等的兩部分，，，當為2或6秒時，直線把的周長分成相等的兩部分．易錯點8：兩線一圓畫直角例：如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒，連接，當是直角三角形時，t的值最多有（

）個

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形的性質等知識點，解直角三角形求出，求出，分為兩種情況：①，根據(jù)相似三角形的性質和判定求出，求出，即可求出時間；②，根據(jù)相似三角形的性質和判定求出，求出，再求出時間即可．能求出符合題意的所有情況是解此題的關鍵．【詳解】解：，，，，①當時，，，，

，，，，，，解得：，即，當從到時，時間秒，當從到再到時，時間秒，，此時舍去；②當時，

，，，，，解得：，，當從到時，時間秒，當從到再到時，時間（秒，綜合上述，時間或5或7，故選：C．變式1：如圖，若的頂點在射線上，且，動點從點出發(fā)，以每秒個單位沿射線運動．（1）當運動時間是秒時，是直角三角形．（2）當運動時間的取值范圍是秒時，是鈍角三角形．【答案】或或【分析】本題考查了含度角的直角三角形的性質，三角形的分類；（1）過作于，，交于，根據(jù)含度角的直角三角形的性質求得的長即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論，結合圖形，即可求解．【詳解】解：如圖，過作于，，交于，則，，，，，，，，∴當運動時間為或時，是直角三角形．故答案為：或．（2）由（1）可得，；當運動時間的取值范圍是或秒時，是鈍角三角形．故答案為：．變式2：綜合與探究如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點B的坐標是，點C的坐標是，M是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式．(2)P為線段上的一個動點，過點P作軸于點D，D點坐標為，的面積為S．①求的面積S的最大值．②在上是否存在點P，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①5；②存在，點P的坐標為或【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）①利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，由題意得，運用二次函數(shù)的性質可求得答案；②由于，不可能為直角，故分兩種情況：當時，當時，分別求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點B的坐標是，點C的坐標是，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為．（2）解：①∵，∴拋物線的頂點為設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為由題意得，，其中，∴，，∵，∴當時，S取得最大值為5；②存在，理由如下：∵，∴，不可能為直角；當時，則，∴軸，∴解得：，∴點P的坐標為；當時，過點P作軸于K，如圖，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴∴∴，解得：，，∵，∴，∴綜上所述，當為直角三角形時，點P的坐標為或【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，直角三角形性質，三角形面積公式，相似三角形的判定和性質等；運用分類討論的思想解決數(shù)學問題是解題關鍵．易錯點9：秦九韶——海倫公式例：閱讀材料：希臘幾何學家海倫和我國南宋數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫—秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，，則邊上的高為．

【答案】【分析】根據(jù)材料先求出三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積公式可求出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，設邊上的高為h，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的面積的求法，二次根式的化簡，理解題意是解題的關鍵．變式1：我國南宋時期的數(shù)學家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式，也叫三斜求積公式．即：若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，那么該三角形的面積為，現(xiàn)已知三邊長分別為2，3，，則的面積是．【答案】3【分析】根據(jù)三角形的三邊關系，確定出c的值，然后把a、b、c的值代入三角形的面積公式，結合有理數(shù)的乘方法則和二次根式的性質計算，最后再根據(jù)算術平方根，計算得出答案即可．【詳解】解：∵三邊長分別為2，3，，又∵，∴，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系、有理數(shù)的乘方、二次根式性質、算術平方根，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．變式2：平面幾何圖形的許多問題，如長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉化到三角形中解決古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積具體如下：設一個三角形的三邊長分別為、、，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個三角形邊長依次為、、，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積是______．(2)學完勾股定理，已知任意形狀的三角形三邊長也能求出其面積如圖，在中，，，，求的面積．某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．作于，設，用含的代數(shù)式表示，則______；請根據(jù)勾股定理，利用作為“橋梁”建立方程，并求出的值；求的面積．【答案】(1)(2)①；②；③【分析】本題考查了勾股定理和三角形面積公式，正確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）利用兩個公式分別計算即可；（2）①根據(jù)可得答案；②先利用勾股定理得出方程，解方程求解即可；③根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．故答案為：；（2）解：，，，故答案為：；，，，，解得；由（2）得：，．三角形相似專題易錯點：1.對應邊和對應角的混淆：這是最常見的錯誤。在相似三角形中，對應邊和對應角必須正確配對。例如，如果一個三角形的某個角與另一個三角形的某個角是對應角，那么這兩個角所對的邊也必須是對應邊。2.比例關系的誤解：在相似三角形中，對應邊之間的比例關系是固定的。如果一個三角形的對應邊是另一個三角形的兩倍，那么所有對應邊都是這樣的比例關系。但是，學生們可能會誤解這個比例關系，導致計算錯誤。3.相似與全等的混淆：全等三角形和相似三角形是兩個不同的概念。全等三角形是指兩個三角形能夠完全重合，而相似三角形是指兩個三角形的形狀相同但大小可能不同。學生們可能會混淆這兩個概念，導致解題錯誤。4.判定定理的誤用：在判斷兩個三角形是否相似時，有幾種不同的判定定理可以使用。但是，學生們可能會誤用這些定理，導致判斷錯誤。例如，他們可能會錯誤地認為如果兩個三角形的兩組對應角相等，那么這兩個三角形就是相似的，而實際上這只是一個必要條件，不是充分條件。易錯點1：黃金分割例：如圖，在正方形中，為中點，連結，延長至點，使得，以為邊作正方形，《幾何原本》中按此方法找到線段的黃金分割點．現(xiàn)連結并延長，分別交，于點，，若：的面積與的面積之差為，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質，黃金分割，三角形的面積．連接，設，根據(jù)線段的中點定義可得，再根據(jù)正方形的性質可得，，從而在中，利用勾股定理求出的長，進而求出的長，然后利用線段的和差關系求出的長，再利用正方形的性質可得，，從而可得，進而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性質可得，再根據(jù)已知的面積的面積，可得的面積的面積，從而利用三角形的面積公式進行計算，即可解答．【詳解】解：連接，

設，為中點，，四邊形是正方形，，，，，，，四邊形是正方形，，，，是等腰直角三角形，，的面積的面積，的面積的面積）的面積的面積），的面積的面積，，，解得：或（舍去），，故選：C．變式1：20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中為邊的黃金分割點，．已知為2米，則線段的長為米．【答案】/【分析】本題考查了黃金分割，數(shù)學常識，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：為邊的黃金分割點，，為2米，米，故答案為：變式2：【綜合與實踐】【認識研究對象】教材121頁給出了如下定義：如圖1，如果點把線段分成兩條線段和，且，則我們稱點為線段的黃金分割點．類似，我們可以定義：如果一個三角形中，其最長邊的長度和最短邊的長度的乘積等于第三邊長度的平方，那么就稱該三角形為“類黃金三角形”．如圖2，已知是“類黃金三角形”，且．若，，求的長．【探索研究方法】如圖3，已知是“類黃金三角形”，且．若，小濱同學過點作于點，發(fā)現(xiàn)了兩個結論：①；②點是邊的黃金分割點；請給出證明．【嘗試問題解決】小濱同學經歷以上探索過程發(fā)現(xiàn)：類似問題，可以通過構造相似三角形等方法解決．于是開展新的探究，請解決以下問題：如圖4，已知是“類黃金三角形”，且．若，，求的長．【答案】【認識研究對象】；【探索研究方法】①證明見解析；②證明見解析；【嘗試問題解決】【分析】本題考查黃金分割，相似圖形的應用，銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是根據(jù)定義理解“類黃金三角形”的特征．【認識研究對象】由“類黃金三角形”的定義得出，代入數(shù)據(jù)計算即可；【探索研究方法】①在直角和中，由銳角三角函數(shù)的定義式得，利用比例的性質證明即可；②由“類黃金三角形”的定義和銳角三角函數(shù)的定義式得到，即可證明；【嘗試問題解決】作的角平分線交于，先證，根據(jù)勾股定理建立方程求解．【詳解】【認識研究對象】解：，是“類黃金三角形”，，，，，．【探索研究方法】證明：①，，，．②是“類黃金三角形”，且，，，，，，，，是邊的黃金分割點．【嘗試問題解決】解：如圖，作的角平分線交于，，，，，，，，，，．易錯點2：平行輔助線例：如圖是的中線，E是上一點，且，的延長線交于點F，若，則的值為（

）A．6 B．5 C．4.5 D．5.5【答案】A【分析】過點D作，交于點M，根據(jù)平行線分線段定理得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質可得，從而可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作，交于點M，∵是的中線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：A．變式1：如圖，的角平分線與中線相交于點，若，，，則的長為．

【答案】【分析】過點作交于點，證明，得出，進而根據(jù)角平分線的性質，等面積法得出，進而得出是的中位線，是的中位線，在中，得出，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作交于點，

∵，∴∵是的角平分線，∴，又∵∴∴，又∵是的中線，∴，則，∵是的角平分線，設到的距離為，設到的距離為，∴∴∵∴∴，∴是的中位線，∴又∵∴∴是的中位線，∵∴，

∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質，中線的性質，中位線的性質，平行線分線段成比例，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．變式2：【教材呈現(xiàn)】華師版九年級上冊63頁例1．如圖，在中，點是邊的三等分點，，，求的長．

【應用拓展】（1）如圖①，在中，點是邊的中點，點為延長線上一點，連接交于點，若，，，則的長為．（2）如圖②，在中，點為邊延長線上一點，點為上一點，連接交于點，若點為的中點，，的面積為4，則（陰影部分）面積為．

【答案】[教材呈現(xiàn)]；[應用拓展]（1）16；（2）【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，三角形的中位線，熟練掌握以上知識是解題關鍵．[教材呈現(xiàn)]根據(jù)可得，再利用相似比即可求解．[應用拓展]（1）由得出，由得出，根據(jù)相似比即可求解．（2）過點作，即可得出，結合題意可得，根據(jù)的面積為4可得的面積為1，的面積為2，再利用面積和相似比的關系即可求解．【詳解】解：[教材呈現(xiàn)]點是邊的三等分點，，，，，，；[應用拓展]（1），，，，，即，解得；故答案為：16．（2）過點作，

點為的中點，，，，的面積為4，的面積為1，的面積2，，即，的面積為．故答案為：．易錯點3：相似中的比值例：如圖，四邊形中，、交于點E，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質．正確作輔助線，構造相似三角形與直角三角形是解題的關鍵．過點A作于F，過點C作于G，先由等腰三角形的性質與勾股定理求得，，再證明，利用相似三我的性質求得，，設，則，，然后證明，得，在中，由勾股定理，得，從而得方程，解方程求得，在中，由勾股定理，求得，根據(jù)從而可求得長．【詳解】解：過點A作于F，過點C作于G，如圖，∵，，∴，在中，由勾股定理，得，∵，，∴，∴，∴，即，∴，，設，則，，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，解得：，（舍去），∴，在中，由勾股定理，得，∵，∴，故選：B．變式1：已知：中，是中線，點在上，且，．則=．【答案】/【分析】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形外角與內角的關系等知識點是解決本題的關鍵．先利用等腰三角形的性質及外角與內角的關系說明，再判斷，利用相似三角形的性質用表示出，最后代入比例得結論．【詳解】解：是邊上的中線，．，．．，．又，．．．．．故答案為：變式2：【探究】如圖①，在矩形中，點E在邊上，連接，過點D作于點G，交邊于點F．若，，求的值；【應用】（1）如圖②，在中，，點為邊的中點，連結，過點作于點，交邊于點D．若，則的值為；（2）如圖③，在，點為的中點，連結，過點作于點，交邊于點F，若，則的值為．【答案】【探究】【應用】（1）；（2）【分析】〖探究〗證得，進而得出結果；〖應用〗（1）設，，則，從而，可證得，從而，進而得出結果；（2）作于，設，，則，，進而得出，可推出，從而，設，，則，由得，，求得，進一步得出結果．【詳解】〖探究〗解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；〖應用〗解：（1），設，，，，點是的中點，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖，作于，設，，則，，，，由（1）知：，，設，，，，，由得，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．易錯點4：相似中的動點例：如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點P，Q同時從點出發(fā)，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是秒．設P、Q同時出發(fā)秒時，的面積為．已知與的函數(shù)關系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結論：①；②；③當時，；④當秒時，；其中正確的結論是（

）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．②④【答案】A【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解直角三角形，相似三角形的判定，根據(jù)圖（2）判斷出點到達點時點到達點是解題的關鍵，也是本題的突破口．根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當點到達點時點到達點，從而得到、的長度，再根據(jù)、是從5秒到7秒，可得的長度，然后表示出的長度，根據(jù)勾股定理求出的長度，然后針對各結論分析解答即可．【詳解】解：根據(jù)圖（2）可得，當點到達點時點到達點，點、的運動的速度都是秒，，，故①正確；從到的變化是2，，，在中，，，故②正確；過點作于點，，，，，當時，，故③錯誤；當秒時，點在上，此時，，，，，，又，，故④正確．綜上所述，正確的有①②④．故選：A．變式1：

如圖，中，，，，點、分別為、上的動點，將沿折疊，使點們對應點恰好落在邊上，當與相似時，的長為．

【答案】或【分析】本題考查了直角三角形的性質，相似三角形的判定，折疊的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵，注意與相似要分情況討論．根據(jù)直角三角形的性質可得，當與相似時，設，則，分兩種情況：①，②，分別列方程求解即可．【詳解】解：中，，，，，當與相似時，點始終在邊上，根據(jù)折疊，設，則，分兩種情況：①，此時，，即，解得，，②，此時，，即，解得，，綜上，的長為或，故答案為：或．變式2：如圖，在中，，動點P從點A出發(fā)，以的速度沿方向向終點B運動，當點P不與點A重合時，過點P作于點D，，過點D作，與相交于點E．設點P的運動時間為t．(1)線段的長；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當點E落在邊上時，求t的值；(3)設與重疊部分的面積為．求S關于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】(1)(2)1(3)【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質、解直角三角形、列函數(shù)解析式等知識，數(shù)形結合和分類討論是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案；（2）證明四邊形是平行四邊形，由平行線分線段成比例定理的推論得到，進一步即可得到答案；（3）由（2）可知與重疊部分的圖形有兩種情況，分別畫出相應圖形，逐個進行求解即可．【詳解】（1）解：在中，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）如圖，當點E落在上時，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，解得，∴當點E落在邊上時，t的值為1．（3）由（2）可知，當點落在邊上時，，∴當時，如圖，與重疊部分圖形的面積就是的面積，∵，，∴，∴，當點P與點B重合時，，即，∴當時，如圖，與重疊部分圖形的面積就是四邊形的面積，∵，，，∴四邊形是矩形，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，綜上所述：與的函數(shù)關系式為．易錯點5：相似與反比例函數(shù)例：如圖所示，已知在平面直角坐標系中，的直角頂點B在x軸的正半軸上，點A在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經過的中點C，交于點D，連接．若的面積是2，則k的值是（）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質與判定，連接，過C作，交x軸于E，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到，根據(jù)的中點C，利用得到面積比為，代入可得結論．【詳解】解：連接，過C作，交x軸于E，∵，反比例函數(shù)的圖象經過的中點C，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選B．變式1：如圖，在等腰中，，點為反比例函數(shù)（其中）圖象上的一點，點在軸正半軸上，過點作，交反比例函數(shù)的圖象于點，連接交于，若面積為1，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，等腰三角形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理．過點作軸于點，交于點，證明，得出，設，則，得出，，繼而得出，，由，得出，繼而求出，即可得出值．【詳解】解：過點作軸于點，交于點，，，，，軸，軸，∴，，，，設，則，，，，，，，，，，的面積為1，，，，，，，，，，，，．故答案為：10．變式2：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點．與坐標軸交于C、D兩點，連接、，已知，的面積為1．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)P是線段的中點，直線向上平移個單位長度后，將的面積分成兩部分，求b的值；(3)我們把只有一組鄰邊相等，且只有一組對角為直角的四邊形，叫作“直角等補形”；設M為y軸負半軸上一點，N為平面內一點，當四邊形是直角等補形時，求點M的坐標．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)的解析式為(2)(3)點M的坐標為或【分析】本題考查了反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)的應用，反比例函數(shù)的應用，相似三角形的判定和性質，待定系數(shù)法，勾股定理等，熟練掌握新定義“直角等補形”是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得，設，根據(jù)三角形面積可得，再利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式．（2）聯(lián)立方程組可得，，進而可得，直線的解析式為，將直線向上平移b個單位長度后得到直線，交y軸于F，交于H，交于G，過點A作交y軸于E，則，再由相似三角形性質即可求得答案．（3）運用新定義“直角等補形”，分兩種情況：當，時，當時，分別求得點M的坐標．【詳解】（1）解：∵直線與坐標軸交于C、D兩點，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴一次函數(shù)的解析式為，設，∵，∴，解得：，∴，∵直線經過點，∴，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）聯(lián)立方程組，解得：，，∴，，∵P是線段的中點，∴，∴直線的解析式為，將直線向上平移個單位長度后得到直線，交y軸于F，交于H，交于G，如圖，過點A作交y軸于E，則，∵點P是線段的中點，∴，∵直線向上平移個單位將的面積分成兩部分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，代入，得．（3）根據(jù)“四邊形是直角等補形”可知：四邊形中只有一組鄰邊相等，且只有一組對角為直角，當，時，如圖，過點A、B分別作y軸，x軸的平行線交于點K，交y軸于L，則，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，當時，如圖，過點B作軸于L，則，，，∴，∴，∴．綜上所述，點M的坐標為或．易錯點6：相似與圓例：如圖，在中，，以為直徑作圓，交于點D，延長交圓于點E，連接，交于點F．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進而得到點為的中點，取的中點，連接，得到，進而得到，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：連接，∵為直徑，∴，即：，∵，∴點為的中點，取的中點，連接，則：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是構造三角形的中位線，構造相似三角形．變式1：如圖，是圓內接三角形，點是圓上一點，連結，，與交于點，且滿足，．若，，則．【答案】1【分析】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．由圓周角定理得，利用證明得到，再證明，利用相似三角形對應邊成比例計算即可．【詳解】解：∵，∴，在和中，，，，，，，，，，，，或（舍去）．故答案為：1．變式2：如圖，在中，點在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與、相交于點、，連接，已知．(1)求證：是的切線；(2)若，，求劣弧與弦所圍圖形的面積．(3)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】題是圓的綜合題目，考查了切線的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、扇形面積公式、三角形面積公式等知識；本題綜合性強，證明三角形相似是解決問題（3）的關鍵．（1）連接，由，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到，求出為，即可證是的切線；（2）連接，作于，由直角三角形的性質得出，，得出，由直角三角形的性質得出，，得出，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結果；（3）證明，得出，求出，由勾股定理得出，求出，再由切割線定理即可得出的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：，，，，在中，，，，則為的切線；（2）解：連接，作于，如圖2所示：，，，，，，，，，，，，，劣弧與弦所圍圖形的面積扇形的面積的面積；（3）解：，，，，，即，解得：，或（舍去），，，，，，是的切線，，．易錯點7：相似與三角函數(shù)例：如圖，在矩形中，，，的頂點E在邊上，且，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過F作，交的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質，即可得到，；設，則，，再根據(jù)勾股定理，即可得到，可得，再利用銳角的正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖所示，過F作，交的延長線于G，則，∵四邊形是矩形，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，∴，設，則，，∵中，，，∴，解得，即，∴，∴；故選A【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形和勾股定理的結合，銳角三角函數(shù)的應用，準確分析計算是解題的關鍵．變式1：如圖，在矩形中，，，點是的中點，連接，將沿折疊，點落在點處，連接，則．【答案】/【分析】本題考查了翻折變換，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)等知識，求出的長是本題的關鍵．過作于，通過證明，可得，可求的長，即可求解．【詳解】解：過作于，由折疊的性質得：，，點是的中點，，，，，在矩形中，，，，，，，，，故答案為：．變式2：如圖，在，，，點與在同一個平面內，連接，將繞點逆時針旋轉得到點，連接、．(1)如圖①，當點在邊上時，求證：；(2)如圖②，當點在邊上時，連接，若，，則____________；(3)如圖③，當點在邊的下方時，，交于點，當，時，的面積為____________．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得到，°，由，即可得證，（2）先求出的長，由（1）得，由，，求出、的長，在中應用勾股定理，求出的長，即可求解，（3）過點作于，可證四邊形是正方形，在中，應用勾股定理求出的長，進而求出、，根據(jù)平行線分線段成比例，可得，即可求解，本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，正方形的判定與性質，平行線分線段成比例，解題的關鍵是：證明．【詳解】（1）解：在中，，∴，由旋轉知，，°，∵，∴，∴E，∵，∴，∴，（2）解：在，°，，∴，由（1）知，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴AD＝AD＝2，故答案為：，（3）解：過點作于，將繞點逆時針旋轉°得到點，連接、，同（1）的方法得出，∴，，延長、交于點，∵，∴，由旋轉知，，，∴四邊形是正方形，∴，，在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．易錯點8：相似與二次函數(shù)例：如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，連接、，若平分，則的值為(

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出A(1,0),B(3,0)，C(0,3m)，再證△COB∽△ADB，列比例式求解即可.【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，當y=0時，即，解得，x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),當x=0時，y=3m,∴C(0,3m),過點A作AD⊥BD于點D，如圖，∵平分，∴AD=OA=1,又∵AB=2,∴BD=,∵∠COB=∠ADB,∠B=∠B,∴△COB∽△ADB,∴,即，∴m=,故選D.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質.正確的添加輔助線和證△COB∽△ADB是解決問題的關鍵.變式1：給出定義：拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接、，若滿足，則稱這樣的拋物線稱為“相似拋物線”，如圖，二次函數(shù)的圖象是“相似拋物線”，且，則此拋物線的對稱軸為．【答案】直線【分析】利用“相似拋物線”的定義結合相似三角形的性質列式求得線段，的長度，得到兩點的坐標，即可求解．【詳解】解：在中，令，則，∴，∴，∵，，∴，即，設，則，∵，∴，即，解得，∴，∴，∴，，∴此拋物線的對稱軸為．故答案為：直線．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，相似三角形的性質，勾股定理等知識，正確理解“相似拋物線”的定義，掌握相似三角形的性質，列出比例式是解題的關鍵．變式2：如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A和點，以為邊在x軸上方作正方形，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿勻速運動，設運動時間為t秒，連接，過點P作P的垂線與y軸交于點E．

(1)求二次函數(shù)的解析式及點A的坐標；(2)當點P在線段(點P不與A、O重合)上運動至何處時，的面積的最小值，并求出這個最小值；(3)在P，Q運動過程中，當時，求t的值；(4)在P，Q運動過程中，是否存在t，使度，若存在請求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1),(2)點P運動至線段的中點時，的面積的有最小值(3)(4)存在，使得度【分析】（1）將代入即可求解；（2）由題意得當最大時，點到線段的距離最小，此時的面積的最??；設，證即可求解；（3）由（2）得，結合得，可推出，即可求解；（4）延長至點，使得，連接，證得，再證得即可求解．【詳解】（1）解：將代入得：，∴∴令，即：，解得：∴；（2）解：∵為定值，∴當最大時，點到線段的距離最小，此時的面積最小∵∴∵∴∴設，∵∴得：,∵∴當時，即：，此時點P運動至線段的中點時，，∴點到線段的距離，的面積的最小值為：；（3）解：由（2）得：，∴∵，∴∴∵∴解得：；（4）解：如圖所示：

延長至點，使得，連接，∵，∴∴∵∴∴∴∴∵∴∴解得：（舍）【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的解析式求解、相似三角形的判定與性質、全等三角形的常見模型等知識點，綜合性較強，需要學生具備扎實的函數(shù)和幾何基礎．易錯點9：相似的新定義例：定義：從三角形的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中有一個與原三角形相似，那么我們稱這條線段為原三角形的相似線．在中，，若過頂點B能畫出兩條相似線，則的度數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內角和180度可以得出，三角形中一個角是銳角，若另一個相似角也是銳角，則從此角頂點不能畫出相似線；若另一個角是直角，則從直角頂點只能畫出一條相似線；若另一個角是鈍角則從此角頂點可以畫出兩條相似線．【詳解】解：若是銳角，并且，從頂點B不能畫出相似線，所以A、B排除；若是直角，并且，從頂點