湖南省永州市麻江鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖南省永州市麻江鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.半徑為，中心角為所對(duì)的弧長(zhǎng)是（

） A． B． C．

D．參考答案：D略2.若，且為第四象限角，則的值等于（）A. B. C. D.參考答案：D∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選：D.3.下面四個(gè)命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分條件是“α內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到β的距離相等”．其中正確命題的序號(hào)是()A．①②

B．②③C．②④

D．③④參考答案：C4.，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.三個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系是

A.a<c<b

B.a<b<c

C.

b<a<c

D.

b<c<a參考答案：C略7.設(shè)兩向量，滿足，，，的夾角為60°，+，則在上的投影為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量投影的定義，計(jì)算?、以及||的值，代入投影公式計(jì)算即可．【解答】解：，，，的夾角為60°，∴?=2×1×cos60°=1；又+，，∴=2+5?+2=2×22+5×1+2×12=15，||====2，∴在上的投影為||cosθ===．故選：A．8.已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程為必過點(diǎn)

(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B9.設(shè)f（sinα+cosα）=sinα?cosα，則f（sin）的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，從而可求函數(shù)值．【解答】解：令sinα+cosα=t（t∈[﹣，]），平方后化簡(jiǎn)可得sinαcosα=，再由f（sinα+cosα）=sinαcosα，得f（t）=，所以f（sin）=f（）==﹣．故選：A．10.若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（）＞成立，則稱f（x）是[a，b]上的凸函數(shù)．試問：在下列圖象中，是凸函數(shù)圖象的為（）A．B．αC．D．參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．

專題：新定義．分析：由已知中凸函數(shù)的定義，結(jié)合四個(gè)答案中的圖象，逐一分析任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2時(shí)，f（）與大小關(guān)系，比照定義可得答案．解答：解：∵任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（）＞成立∴函數(shù)f（x）是[a，b]上的凸函數(shù)任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，則A中，f（）=成立，故A不滿足要求；則B中，f（）＜成立，故B不滿足要求；則C中，f（）＞成立，故C滿足要求；則D中，f（）與大小不確定，故D不滿足要求；故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中正確理解已知中凸函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是_________。（用區(qū)間表示）參考答案：(1，11)解：。∴解集是(1，11)。12.如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為

．參考答案：13.已知變量x，y的取值如表所示：x456y867如果y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為=x+2，則的值是

．參考答案：1【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】計(jì)算平均數(shù)、，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)（，）求出的值．【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算=×（4+5+6）=5，=×（8+6+7）=7，且線性回歸方程=x+2過樣本中心點(diǎn)（，），∴7=×5+2，解得=1；故答案為：1．14.已知集合A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，記集合A中元素的個(gè)數(shù)為n（A），定義m（A，B）=，若m（A，B）=1，則正實(shí)數(shù)a的值是．參考答案：

【考點(diǎn)】集合的表示法．【分析】根據(jù)A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且m（A，B）=1，可知集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對(duì)方程|x2+ax+1|=1的根的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，即可求得a的所有可能值，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等價(jià)于x2+ax=0

①或x2+ax+2=0

②，又由A={1，2}，且m（A，B）=1，∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根，②無(wú)實(shí)數(shù)根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，即，解得a=±2，綜上所述a=0或a=±2，∵a＞0，∴a=，故答案為．15.已知是正常數(shù)，，，則有成立，當(dāng)且僅當(dāng)“”取等號(hào)，利用上述結(jié)論求（）的最小值為______.參考答案：2516.參考答案：①②③17.已知函數(shù)f(x)=|lgx|．若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）探究函數(shù)上的最小值，并確定取得最小值時(shí)的值。列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…1475.345.115.0155.015.045.085.6778.612.14…(1)觀察表中值隨值變化趨勢(shì)特點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出當(dāng)取何值時(shí)函數(shù)的最小值為多少；(2)

用單調(diào)性定義證明函數(shù)在（0,2）上的單調(diào)性。參考答案：（1）由表中可知在為減函數(shù)，為增函數(shù)…………3分并且當(dāng)時(shí)……………………3分（2）證明：設(shè)………9分即…………11分在為減函數(shù)…………12分19.已知函數(shù)，x∈R． （1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間； （2）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=3，，若向量與共線，求a、b的值． 參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；余弦函數(shù)的圖象． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；解三角形；平面向量及應(yīng)用． 【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可解得f（x）的遞增區(qū)間． （2）由，解得或，可得C的值，由題意可得sinB﹣2sinA=0，由正弦定理得b=2a，分別由余弦定理，勾股定理即可解得a，b的值． 【解答】解：（1）∵ =2cos（x+﹣+）sin（x+） =﹣2[sin（x+）cos﹣cos（x+）sin]sin（x+）+ =sin2x+cos2x =， ∴2k≤2x≤2k，k∈Z，可得解得：k≤x≤kπ﹣，k∈Z， ∴f（x）的遞增區(qū)間為，k∈Z． （2）∵， ∴或，解得或． ∵與共線， ∴sinB﹣2sinA=0， ∴由正弦定理可得，即b=2a，① 當(dāng)時(shí)， ∵C=3，∴由余弦定理可得，② 聯(lián)立①②解方程組可得 當(dāng)時(shí)， ∵c=3，∴由勾股定理可得9=a2+b2，③ 聯(lián)立①③可得，， 綜上，，或，． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，勾股定理，平面向量共線的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為等邊三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點(diǎn)．（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LS：直線與平面平行的判定；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）連接B1C交BC1于O，連接OD，證明OD∥B1A，由線面平行的判定定理證明AB1∥平面C1BD．（2）由線面垂直的判定定理得出BD⊥平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積．【解答】（1）證明：如圖所示，連接B1C交BC1于O，連接OD，因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是平行四邊形，所以點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)，又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△AB1C的中位線，所以O(shè)D∥B1A，又OD?平面C1BD，AB1?平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，又因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因?yàn)锽D?平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD=×3×3=，∴==??6=9．21.（本題滿分16分）在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．（1）求證：PC⊥AE；（2）求證：CE∥平面PAB；

參考答案：解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．取中點(diǎn)，連AF,EF，∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．……………4分∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，∴，∴，∴．

………6分∴．∴PC⊥．…………………8分（2）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM．則EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．……………………10分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵M(jìn)C平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

…………………12分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．…………………14分∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………16分證法二：延長(zhǎng)DC、AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點(diǎn)．…………10分∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN…………12分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．

…

16分

22.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜邊BC上的高，沿AD將△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如圖2．（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）在圖2中，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與BD所成的角．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出AD⊥CD，AD⊥BD，從而AD⊥平面BCD，由此能證明平面ABD⊥平面BCD．（2）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由EF∥BD，∠AEF是異面直線AE與BD所成角，由此能求出異面直線AE與BD所成的角．【解答】證明：（1）∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，∵A